Función de Lambert II

Medellín, julio 2020

La función W de Lambert

Dibujar la gráfica de:

y=f(x)=xe^x                                                              (1)

1º) Dominio: la x puede tomar cualquier valor en los números reales. Reales

2º) Interceptos. Hay uno obvio, para x=0; y=0

3r) Asíntotas:

Lim f(x) cuando x tiende a infinito es infinito.

Lim f(x) cuando x tiende a menos infinito. Aquí si hay más problemas.

4º) Puntos críticos.

f’(x)=x(e^x)+(e^x)*1 =e^x(x+1) = 0                             (2)

Esta derivada sólo puede ser 0 cuando x=-1

Cuando x es cercano a -1 por la izquierda, la f’(x) es negativa.

Cuando x es cercano a -1 por la derecha, la f(x) es positiva.

Por tanto, se trata de un mínimo relativo.

Cuando x=-1, y=-1e^(-1)=-1/e,  el punto crítico es (-1,-1/e) y es un mínimo relativo.

5º) Curvatura.

f’’(x)=(e^x)*1+(x+1)(e^x)=( e^x)(x+2)

f”(x)=0, para x=-2. Para valores de x=-2 por la izquierda, f” <0, f(x) tiene concavidad hacia abajo. Para x=-2 por la derecha, f”>0, f tiene concavidad hacia arriba.

Con estos elementos podemos armar el rompecabezas. El resultado es una curva como la que se indica:

Fig 1

Concluimos, además:  Dominio de f = Los reales

Rango de f = (-1/e, ∞)

Estrictamente, la función x(e^x) no debe tener inversa. No obstante, si limitamos su dominio si puede tener.

Entre (-1, ∞) la rama de f es ascendente, (este sector es inyectivo o uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, ∞); por tanto, f puede tener una función inversa Wo, cuyo dominio es (-1/e, ∞) y cuyo rango es el conjunto (-1, ∞).

Entre (-∞, -1), la rama de f es descendente, (este sector es inyectivo o uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, 0); por tanto, f puede tener una función inversa W^-1, cuyo dominio es (-1/e, 0); y cuyo rango es el conjunto (-∞, -1).

Wo y W^-1 son las inversas de f en dominios excluyentes, son las funciones de Lambert, siendo Wo, la más representativa.

El gráfico de Wo y W^-1, se puede obtener a partir del gráfico de f, y de la recta y=x. Wo y W^-1 son simétricas de f respecto de la recta y=x.

Gráfica 2

Las funciones Wo(x) y W-1(x), se muestran en forma aislada en la gráfica 3

Gráfica 3

Ahora tiene sentido las respuestas de los ejercicios 1 y 2, del blog anterior, en donde las soluciones para la x eran

x=e^(W(ln5))         y

x=2 W(3/2)

Cálculo del valor de W(k)

k está en el intervalo (-1/e, ∞), y vamos a utilizar la rama Wo

Buscamos un valor aproximado para W(k), para el valor de k, en la gráfica 3.

En la gráfica W tenemos el punto (k, W(k)), o para mayor claridad el punto (k, W)

En la gráfica f tenemos el punto (W, k).

f(W)=W(e^W)

Creamos la función g(w)=f(W)-k

La solución a la ecuación g(W)=f(W)-k=0         o         g(W)=W(e^W )– k =0      (3)

la hallamos por el método iterativo aproximado de Newton.

g(W) = W(e^W) – k

Derivada de g con respecto a W;   g’(W)=W(e^W)+1*(e^W) = (e^W)(W+1)       (4)

Se realiza por tanteo iterativo. Escogemos un valor Wo, cercano al que nos entrega la gráfica 3.

Luego calculamos un valor W1 así:

W1=Wo-g(Wo)/g’(Wo) =Wo-((Wo(e^Wo)-k)/((Wo+1)(e^Wo))                           (5)

Determinamos la precisión con la cual queremos obtener el resultado, digamos 6 cifras decimales.

Si Abs(W1 – Wo)<0,000001, el valor W1 es suficiente. En caso contrario encontramos W2 con la misma fórmula.

En general obtenemos

Wn+1 = Wn -((Wn(e^Wn)-k)/((Wn+1)(e^Wn)                                                    (6)

Hasta que Abs(Wn+1 – Wn) sea menor que la precisión establecida, en ese caso

Abs(Wn+1 – Wn)<0,000001 y ahí damos por terminado la búsqueda del valor de W(k)

Diagrama de flujo para la calculadora programable, de cualquier marca.

Nota: Si queremos que el proceso iterativo se pegue de Wo, el valor inicial Wn debe ser >0. Para que se el proceso se agarre de la rama W-1, debemos iniciar con W=-2 o menores.

Juan Fernando Sanín E