Agosto
23 de 2012
CURVAS DE CARRETERAS: ESPIRAL – CIRCULAR - ESPIRAL
(Aplicación
de la espiral de Euler)
Los
ferrocarriles existieron mucho antes que los automóviles y por tanto, los
rieles fueron primero que las carreteras modernas. (Antes existían caminos
empedrados para diligencias y coches, que también requerían algo de
ingeniería).
Las
curvas circulares en los ferrocarriles, muy probablemente fueron las primeras
que se ensayaron. Pronto, se dieron cuenta los ingenieros, de que las curvas
circulares, no sólo hacían vibrar mucho el ferrocarril, sino que era la causa
de muchos descarrilamientos. Desde esa época, existen las curvas espirales de
transición para dar un peralte en forma progresiva y suave.
La
curva de transición usada más frecuentemente para dar la transición en el
peralte es la clotoide de Euler, cuya fórmula es:
A2
= RL
Donde
A es una constante, R es el radio de curvatura de un punto cualquiera (x, y)
y L
es la longitud de la curva, medida desde el origen de coordenadas (0, 0), en donde
se supone que para L= 0 el radio es
infinito.
La constante A se
denomina parámetro de la espiral y
permite hallar el radio de la curva en un punto cualquiera de esta con la
expresión:
R = A2/L
Por ejemplo en una curva
espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la longitud final L = Le = 40, el valor de A2 es 3600 se tienen los
siguientes valores de R a lo largo de la curva:
Figura 1 Valores de L y R para A = 3600
En el caso de la
clotoide, los centros de curvatura de los radios, no coinciden en un punto o
una recta, sino que describen una curva, llamada la evoluta de la clotoide.
Figura 2, Evoluta de la clotoide.
Lugar geométrico de los centros de curvatura de la clotoide de Euler.
Para un valor L
(medido desde 0, 0 ), el ángulo θ, que hacen el radio infinito Ro y el radio en
el punto (x, y) viene dado por la fórmula:
θ =l2/2A2 (1)
(Lo demostraremos
en el siguiente blog)
El ángulo θe,
total de la espiral, será por consiguiente:
θe= le2/2A2
=le2/2leRc = le/2Rc..... θe = El
ángulo de la espiral en radianes
Las coordenadas,
medidas desde el inicio de la clotoide (0,0), eje x sobre la tangente que va al
PI y eje y la dirección de Ro, perpendicular a la tangente, vienen dadas por las fórmulas:
x=l(1 – θ2/10
+ θ4/216 – θ6/9360 +...) (2)
l es la longitud
de la espiral hasta el punto P(x, y)
y=l(θ/3 – θ3/42
+ θ5/1320 -…)
(3)
La demostración
la haremos en el siguiente blog
Las coordenadas
del punto donde termina la espiral y comienza la curva circular (xc, yc), se
obtienen:
xc=l(1 – θe2/10
+ θe4/216 – θe6/9360 +...) (4)
yc=l(θe/3 – θe3/42
+ θe5/1320 -…)
(5)
Basta con los dos primeros sumandos para obtener una buena aproximación.
Utilizaremos la
siguiente notación sobre los puntos principales:
De las curvas
circulares rescatamos los conceptos de:
PI punto donde se encuentran las tangente
∆ Deflexión,
derecha o izquierda que hacen las rectas tangentes en el PI
PC punto donde
comenzaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.
PT punto donde
terminaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.
El PC y PT no aparecen en la curva espiral – circular – espiral,
pero son referentes importantes y absolutamente necesarios para determinar:
TE punto donde inicia la espiral de entrada
EC punto donde
inicia la curva circular.
CT punto donde
inicia la espiral de salida.
ET punto donde
vuelve la carretera a estar en tangente.
El disloque p es
la distancia en la dirección perpendicular a la tangente entre el PC teórico y el PC' que se obtendría al prolongar la curva circular, que realmente se construirá. Es la distancia entre las dos circunferencias. En el próximo blog se explicará mejor.
p = yc –Rc(1 –
cosθe) (6)
De hecho, si p es muy pequeño, es posible que no tenga
mucho sentido hacer la curva espiral y bastaría con conocer el valor de Le, y
ubicar el punto de inicio de la transición del peralte, antes del PC, que se
encontraría con el valor de k, medido desde el PC (teórico de la curva
circular)
Para ubicar él
TE, ubicamos el PC y nos vamos hacia atrás una distancia k, calculada con la
expresión:
k= xc – Rc sen
θe (7)
En el próximo
blog veremos cómo se deducen las fórmulas (6) y (7)
De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al
aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes
no requiere de espirales de transición. El valor límite del disloque fue inicialmente 0.30 m y luego 0.09 m, por debajo de estos valores se recomienda no usar transiciones; los diseños actuales contemplan el
uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del
disloque.
Cómo se trabaja en la práctica una curva espiral – circular – espiral?
Los datos son:
∆ Ángulo de deflexión de las tangentes.
Vd : velocidad de diseño
Hay que escoger una Le para la clotoide. Hay fórmulas y recomendaciones
par le, de acuerdo con la velocidad de diseño.
Le> = Vd/1,8 Vd km/h y
le en m AASHTO (8)
Otras fórmulas
Le>= V/1,8(V2/Rc – 127e)
Smirnoff (9)
e= peralte máximo
Le>=V3/46,66CR Shortt (10)
C factor de comodidad
entre 0,3 y 0,9, Preferiblemente C=0,6)
Le>= V3/28Rc Barneett (11)
Es bueno escoger un valor redondo, múltiplo de 10 para le
Las abscisas de los puntos de la curva espiral circular espiral se pueden obtener así:
TE = PC – k
EC = TE + Le
CE = CE + Lc ,…………………….Lc es
la longitud de la curva circular.
ET = CE + k
k distancia desde TE hasta el PC, sobre la
tangente principal que va al PI
Figura 3
Gráfica de una
curva espiral – circular - espiral
Con el dato de la
velocidad de diseño encontramos dos valores básicos: el Rc radio de la curva
circular, que es el mismo que se utilizaría, en caso de no utilizar
transiciones en espiral y con las fórmulas el de Le (longitud de la espiral),
con las tablas que se indicarán mas adelante, o de acuerdo con el manual del INVÏAS.
Fig 4
Peralte máximo y
radio Rc redondeado, para diferentes tipos de Vd y uso de la carretera.
De todas formas, utilícese o no la curva circular, es
necesario encontrar el PC y el PT de ésta. Se calcula k y ubicamos él TE (punto
donde inicia la curva clotoide).
Figura 5
Tabla para la
longitud mínima de la espiral en función de la velocidad de diseño en km/h
Ejemplo de cálculo
Vd= 80km/h
Rc= 230 m
∆=63º 12’ 15” =
63,204167º
Le = 80/1,8 =
44m, con la fórmula de Barnet obtenemos 79m y conla tabla de la figura 5,
obtenemos le= 45.
Si fuera un
problema de medicina, deberíamos escoger 80m, pero teniendo en cuenta que las
fórmulas no arrojan los mismos resultados, vamos a escoger Le= 50m.
A2
= 50x230 = 11500
θe =50 2/(2x11500) = 0,108696 rad = 6,227802º
∆c= ∆-2θe = 50,7485730º = 0,885730 rad
PI = km 2+
316,20
e max= peralte
máximo = 8%
Lc , longitud de
la curva circular interior = Rc θe, pero θe tiene que estar expresado en
radianes. En este caso: 230mx0,885730 rad = 203,7179m
Hallamos xc y yc
con las fórmulas
xc=Le(1 –θe2/10
+ θe4/216)
yc=Le(θe/3 – θe3/42)
En estas fórmulas
hay que utilizar el ángulo θe en radianes. Remplazando por
θe = 0,108696 rad y Le = 50m
obtenemos xc = 49,940959 y yc = 1,810071
Calculamos k= xc – Rc sen θe = 49,940959 – 230sen
6,227802º (Nos tenemos que asegurar que
la calculadora este en el modo deg y no en el modo rad, porque si está en el
modo rad la operación correcta sería k
= 49,940959 – 230sen 0,108696)
El resultado es k = 24,990078
(Normalmente da
un valor muy cercano a xc/2 y para efectos prácticos siempre será posible
utilizar k = xc/2
p es el disloque,
es decir lo que se desplaza la curva circular hacia atrás.
p = yc –Rc(1 –
cos θe)
Remplazando
apropiadamente (teniendo certeza si utilizamos grados o radianes en la
calculadora) obtenemos:
p= 1,810071 – 230
(1 - cos 6,227802º ) = 0,4527m
Ahora ubiquemos
los puntos TE, EC, CE y ET
La tangente de la
curva circular sería 230 tan ∆/2 = 141,5085,
por tanto el PC teórico, estaría ubicado
en: 2316,20 – 141,5084 = 2174,6916
Él TE estará
ubicado en PC – k = 2174,6916 - 24,990078=
2149,70
El EC estará en
la abscisa de la carretera 2149,70 + 50 = 2199,70
El CE estará en
la abscisa EC + Lc = 2199,70 + 203,7179 = 2403.4194
El ET estará a CE
+ 50 =2453,42
Detalle del
desarrollo del peralte, desde -2% en ambos carriles en el TE, hasta 8% en el
carril izquierdo y – 8% en el derecho en el EC
El ancho de la vía es de 8m y cada carril mide 4m. Hacemos el ejercicio manteniendo fijo el eje de la vía. La curva es derecha, por tanto el borde izquierdo va subiendo y el derecho va bajando (figura).
Para replantear
la clotoide, basta encontrar las coordenadas x e y, en las longitudes 10, 20,
30m 40 y 50m, con las fórmulas (2) y (3)
L(m)
|
θ(radianes)
|
x(m)
|
y(m)
|
10
|
0,004347826
|
9,9999811
|
0,01449273
|
20
|
0,017391304
|
19,9993951
|
0,11593952
|
20
|
0,017391304
|
19,9993951
|
0,11593952
|
40
|
0,069565217
|
39,9806471
|
0,92721561
|
50
|
0,108695652
|
49,9409586
|
1,81006538
|
Figura 6
Detalle del
desarrollo del peralte en toda la curva. Abscisas en m y peraltes en % y cm.
Conclusiones
La obligatoriedad de utilizar curvas de transición para el desarrollo del peralte, es una moda. Se argumenta que se mejora la comodidad y la seguridad al utilizar las vías, especialmente por el aumento en la potencia en los camiones y en la velocidad en los automóviles. No obstante, si el disloque es pequeño, el esfuerzo adicional que hay que hacer, que vale dinero, podría ser inocuo, sobretodo, porque la precisión de la topografía de campo y replanteo, no siempre es la mejor y porque en muchos casos está influenciada por fenómenos climáticos. Esa es mi opinión pero mientras sea norma del INVIAS, hay que cumplir con este requisito y por consiguiente los ingenieros de vías, tanto los de diseño como los interventores deben conocer el tema y no dejarlo bajo la responsabilidad exclusiva de los topógrafos.
El Excel, es una herramienta magnífica, que facilita la realización de los cálculos. Por otra parte, el diseñador, sea ingeniero o topógrafo debe tener muy buen manejo de los conceptos de radian y grado.
Finalmente, mi blog está orientado a las matemáticas y lo expuesto arriba está mas en el que hacer de los ingenieros de vías. En el próximo blog haré las demostraciones del caso, que implican la utilización de series infinitas de potencias y un manejo familiar de los conceptos de derivación e integración.
Juan Fernando Sanin
juanfernando.sanin@gmail.com
