Gráfica de y = x^(1/x) y aplicaciones de esta función.

Medellín. Julio 2023

 

 

Blog gráfica y aplicación de la función y = 1^(1/x). para x>= 0

 

 

1.    1. Primero

Veamos una aproximación al límite de sen(x)/x cuando x→0

Figura 1

x≥0 en radianes

Construyamos la figura que se muestra en la fig 1, con base en una circunferencia de radio = 1

Área triángulo OAB = 1*h/2 = 1*sen(x)/2

Área sector circular OAB = x*(1²) /2 = x/2                         x en radianes

Área triángulo OCB = 1*BC/2 = 1*tan(x)/2

Se plantea la desigualdad

sen(x) ≤ x ≤ tan(x)                                                            (1) Dividimos por sen(x)

1 ≤ x/sen(x) ≤ 1/cos(x)                                                     (2), transformamos la desigualdad en:

cos(x) ≤ sen(x)/x ≤ 1                                                       (3)

cuando x →0     la desigualdad se transforma en:

cos(x) ≤ sen(x)/x ≤ 1        cuando x→0

Y la única respuesta lógica es que lim (sen(x)/x), cuando x→0 es igual a 1

2.   Segundo.

Gráfica de y = x^(1/x)

Busquemos los interceptos de y, sobre el eje x.

Si límite de ln(x^(1/x)) = -∞, cuando x tiende a o⁺, x^(1/x) tenderá a 0⁺, ya que ln(0⁺) = -∞

El punto (0, 0) pertenece a la gráfica.

Qué pasa cuando x →∞        lim(x^(1/x)) cuando x tiende a ∞, es igual a = ∞⁰, que es indeterminado.

Si lny tiende a o, y= x^(1/x) tenderá a 1 y por tanto la recta horizontal y = 1 es una asíntota horizontal de la función.

Por tanto, el eje x es una asíntota horizontal del gráfico de y = x^(1/x)

Veamos si tiene puntos críticos

Para encontrar la derivada de y = x^(1/x) debemos ayudarnos con el logaritmo natural

lny = (1/x) ln(x)                               derivando a ambos lados

(1/y)(dy/dx) = (1 – ln(x))/x²

dy/dx = y(1 – ln(x))/x²= x^(1/x)⁾ (1 – ln(x))/x²

Esta derivada es igual a 0 cuando 1 – ln(x) = 0, o sea cuando x = e

x<e    dy/dx >0

x>e     dy/dx >0

O sea que en (e, e^(1/e)) la gráfica tiene un máximo relativo. Para todos los valores de x mayores de e, la curva es decreciente.

Gráfica 2                y = x^(1/x)       para todos los reales, tales que x>0

3.   Aplicación.

Sin encontrar el valor con una calculadora y usando el gráfico de y = x^(1/x) determinar cuál de estas dos expresiones es mayor

4.    Cuarto

 Encontrar la derivada de la función:.     

 

 

        5. Quinto: Integrar

Integremos y derivemos de una manera más digerible

En el caso de la derivada, también podemos utilizar este truco

Derivando la expresión que relaciona a y a x, obtenemos:

dy/dx = 0 - (1/2) (x+1/4) ^-1/2= - (1/2) (x+1/4) ^-1/2

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Integral de la función x^x, entre x=0 y x=1

 

Medellín, julio 2023

 

 Resolver la integral:

Para n igual a 0 nos da una interminación en el numerador 0*ln0, que realmente es limite cuando x tiende a o⁺ de xlnx, que sabemos que es 0 (Lo demostraremos al final)

Hagamos un nuevo cambio de variable en la ecuación (4a)

V = (n+1)u                  (5)

u =V/(n+1)                                                    du = dv/(n+1)

Cambiamos V=(n+1)u            u = V/(n+1)        y          du = dV/(n+1)

Desarrollemos esta serie, para los diferentes valores de n

 

1 – 1/2² +1/3³ – 1/4⁴ + 1/5⁵ -……….

 

Esta serie es alternada, el término general tiende a 0 cuando n tiende a ∞

 y siempre el u_n+1 < u_n       y por tanto la serie es convergente.

En Excel calculemos la suma para n=10 y n= 11

S10 = 0,78343051071224

S11 = 0,78343051071213

Solo hay una pequeña diferencia en la posición 12 decimal

Si hacemos el ejercicio en DERIVE el resultado es 0.7834305114

 Juan Fernando Sanin Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com