Medellín,
Enero 2014
Teorema
de Pitágoras
El teorema de Pitagoras es uno
de los más importantes de la geometría y de la ciencia en general. Es
utilizado por los más calificados matemáticos en proyectos muy complejos y hasta los albañiles, en las
construcciones complicadas y también en las sencillas.
Se
comenta que hay más de doscientas demostraciones del mismo. Vamos a presentar
algunas de ellas.
Teorema
de Pitágoras
En
todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa.
Demostración
1.
Figura
1
El
triángulo rectángulo en consideración es el ABC. Sus ángulos agudos son α en el
vértice A y β en el vértice B. Los catetos son a y b y la hipotenusa la
llamamos c.
Tal
como se ve en la figura, sobre cada cateto construimos los cuadrados que se
indican.
Igualmente
construimos otro cuadrado sobre la hipotenusa.
Prolongamos
las líneas RP y SQ, las cuales se cortan en el punto M.
Trazamos
la línea recta MC y la prolongamos hasta encontrar los puntos H y D.
Los
triángulos PMC y MCQ son rectángulos en P y Q y sus catetos son a y b. Por lo
anterior, estos triángulos son iguales al triángulo ABC y por tanto sus ángulos
internos son iguales a los del triángulo ABC.
<
PCM = < CMQ = α, lo que nos indica que el triángulo CHB tiene que ser
rectángulo, pues dos de sus ángulos son α y β cuya suma es 90 grados.
Siendo
este triángulo CHB rectángulo, la línea MD es perpendicular a AB en H
Por
paralelismo de las rectas RM y AC se concluye que el cuadrado ARPC y el
paralelogramo ANMC tienen la misma área y es igual b2
Ahora
por paralelismo entre las rectas TN y MD, y teniendo en cuenta que CM = c,
entonces el área del paralelogramo ANMC = área del rectángulo AHDT = b2
Con
un razonamiento similar, concluiremos que el rectángulo HBUD = a2
De
lo anterior concluimos que área de ABUT = área AHDT + área HBUD
c2
= b2 + a2
Con
lo cual queda demostrado el teorema.
Se cree que esta fue
la demostración original del teorema, hecha por Pitágoras o por Griegos
contemporáneos a él.
Demostración
2
Figura
2
Consideramos
el triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos son a y b y cuya hipotenusa es c.
Construimos
un cuadrado de lado a + b
Tomamos
un punto que nos divida cada lado de este cuadrado en a y b, (lo hacemos en sentido de las
agujas del reloj en todos los lados del cuadrado).
Se
nos forman 4 triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC y un cuadrado interior
de lado igual a c.
(Lo
anterior porque se trata de un cuadrilátero que tiene los 4 lados iguales a la
hipotenusa c (lo cual nos daría un rombo), además, si vemos que α + β = 90, y
eso ocurre en cada vértice del rombo, entonces el rombo es un cuadrado.)
Área
del cuadrado grande = 4 área del triángulo ABC + área del cuadrado de lado c.
(a + b)2 =
4 (ab/2) + c2
a2 + 2ab +
b2 = 2 ab + c2
a2
+ b2 = c2
Con
lo cual queda demostrado el teorema.
Demostración
3
Construimos
un cuadrado cuyo lado sea igual a la hipotenusa c y construimos el triángulo
rectángulo dado sobre cada hipotenusa. El resultado se ve en la figura 3
Figura
3
Se
nos forman 4 triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC y un cuadrado central cuyo lado es
b
– a
Área
del cuadrado de lado c = 4 área del triángulo ABC + área del cuadrado interno.
c2 =
4(ab/2) + (b – a)2
c2 = 2 ab
+ b2 – 2ab + a2
c2
= b2 + a2
Con
lo cual queda demostrado.
Demostración
4
En
la siguiente figura, establezcamos la semejanza de triángulos entre el
triángulo rectángulo grande ABC y el triángulo pequeño CHB.
Estableciendo
las relaciones entre los lados homólogos:
Figura
4
a/n
(opuestos al ángulo α en los triángulos grande y pequeño, en ese orden)
c/a
(hipotenusas en los triángulos grande y pequeño, en ese orden)
a/n
= c/a
a2
= cn
Igualmente
podríamos probar que
b2
= cm
(Cada
cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella)
a2
+ b2 = cn + cm = c(m + n) = c2
Con
lo cual queda demostrado. (Tal vez esta es la demostración mas fácil)
Demostración
5
Ahora
vamos a utilizar propiedades de la circunferencia.
Figura
5
En
el triángulo ABC, construimos una circunferencia con centro en B y radio = a.
La
recta AC será tangente a la circunferencia.
De
las propiedades de la circunferencia sabemos que:
AC2 = AC x
AD
b2 = (c
–a) (c +a)
b2
= c2 – a2
a2
+ b2 = c2
Con
lo cual queda demostrado.
Demostración
6
Utilizamos
propiedades de la circunferencia.
Figura
6
Construimos
dos circunferencias, cuyo diámetro es el respectivo cateto, tal como se indica en la figura 6..
El
punto D pertenece simultáneamente a las dos circunferencias y al triángulo.
CD
es la altura del triángulo trazada desde el punto C.
Es
la altura porque cualquier ángulo que subtienda un diámetro es de 90 grados.
AC
es tangente a la circunferencia cuyo diámetro es CB.
BC
es tangente a la circunferencia cuyo diámetro es CA.
De
las propiedades de las cuerdas y las tangentes sabemos que:
AC2 = AD x
AB
BC2 = DB x
AB
Sumando
AC2 + BC2
= AD x AB + DB x AB
Agrupando
AC2 + BC2
= AB(AD + DB) = ABxAB
b2
+ a2 = c2
Con
lo cual queda demostrado el teorema.
Demostración
7
De
nuevo utilizamos propiedades de la circunferencia.
Figura
7
En
el triángulo rectángulo ABC, construimos una circunferencia con centro en B y
radio igual a la hipotenusa. Figura 7
Por
las propiedades de las cuerdas que se cortan en el interior de una
circunferencia:
ACxCD = EC x CF
bb = (c + a)(c – a)
b2 = c2
– a2
a2
+ b2 = c2
Con
lo cual queda demostrado.
Resumen.
El
teorema de Pitágoras es una de las propiedades geométricas de mayor utilidad en
la vida cotidiana. Si hiciéramos un balance relacionada con su importancia en el mundo práctico, podríamos decir que es un
descubrimiento cuyo impacto sobre la civilización es equiparable a la invención
de la rueda.
Juan
Fernando Sanin Echeverri
