Medellín, julio 2020
La función W de Lambert
Dibujar la gráfica de:
y=f(x)=xe^x
(1)
1º) Dominio: la x puede tomar cualquier valor en los números reales.
Reales
2º) Interceptos. Hay uno obvio, para x=0; y=0
3r) Asíntotas:
Lim f(x) cuando x tiende a infinito es infinito.
Lim f(x) cuando x tiende a menos infinito. Aquí si hay más problemas.
4º)
Puntos críticos.
f’(x)=x(e^x)+(e^x)*1
=e^x(x+1) = 0
(2)
Esta
derivada sólo puede ser 0 cuando x=-1
Cuando
x es cercano a -1 por la izquierda, la f’(x) es negativa.
Cuando
x es cercano a -1 por la derecha, la f(x) es positiva.
Por
tanto, se trata de un mínimo relativo.
Cuando
x=-1, y=-1e^(-1)=-1/e, el punto crítico
es (-1,-1/e) y es un mínimo relativo.
5º)
Curvatura.
f’’(x)=(e^x)*1+(x+1)(e^x)=( e^x)(x+2)
f”(x)=0,
para x=-2. Para valores de x=-2 por la izquierda, f” <0, f(x) tiene
concavidad hacia abajo. Para x=-2 por la derecha, f”>0, f tiene concavidad
hacia arriba.
Con
estos elementos podemos armar el rompecabezas. El resultado es una curva como
la que se indica:
Fig
1
Concluimos,
además: Dominio de f = Los reales
Rango
de f = (-1/e, ∞)
Estrictamente, la función x(e^x) no debe tener inversa. No obstante, si
limitamos su dominio si puede tener.
Entre (-1, ∞) la rama de f es ascendente, (este sector es inyectivo o
uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, ∞); por tanto, f puede tener una
función inversa Wo, cuyo dominio es (-1/e, ∞) y cuyo rango es el conjunto (-1,
∞).
Entre (-∞, -1), la rama de f es descendente, (este sector es inyectivo o
uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, 0); por tanto, f puede tener una
función inversa W-1, cuyo dominio es (-1/e, 0); y cuyo rango es el
conjunto (-∞, -1).
Wo y W-1 son las inversas de f en dominios excluyentes, son las
funciones de Lambert, siendo Wo, la más representativa.
El gráfico de Wo y W-1, se puede obtener a partir del gráfico
de f, y de la recta y=x. Wo y W-1 son simétricas de f respecto de la
recta y=x.
Gráfica 2
Las funciones Wo(x) y W-1(x), se muestran en forma aislada en la gráfica
3
Gráfica 3
Ahora tiene sentido las respuestas de los ejercicios 1 y 2, del blog
anterior, en donde las soluciones para la x eran
x=e^(W(ln5)) y
x=2 W(3/2)
Cálculo del valor de W(k)
k está en el intervalo (-1/e, ∞), y vamos a utilizar la rama Wo
Buscamos un valor aproximado para W(k), para el valor de k, en la
gráfica 3.
En la gráfica W tenemos el punto (k, W(k)), o para mayor claridad el
punto (k, W)
En la gráfica f tenemos el punto (W, k).
f(W)=W(e^W)
Creamos la función g(w)=f(W)-k
La solución a la ecuación g(W)=f(W)-k=0 o g(W)=W(e^W )– k =0 (3)
la hallamos por el método iterativo aproximado de Newton.
g(W) = W(e^W) – k
Derivada de g con respecto a W; g’(W)=W(e^W)+1*(e^W) = (e^W)(W+1) (4)
Se realiza por tanteo iterativo. Escogemos un valor Wo, cercano al que
nos entrega la gráfica 3.
Luego calculamos un valor W1 así:
W1=Wo-g(Wo)/g’(Wo)
=Wo-((Wo(e^Wo)-k)/((Wo+1)(e^Wo)) (5)
Determinamos la precisión con la cual queremos obtener el resultado,
digamos 6 cifras decimales.
Si Abs(W1 – Wo)<0,000001, el valor W1 es suficiente. En caso
contrario encontramos W2 con la misma fórmula.
En general obtenemos
Wn+1 = Wn -((Wn(e^Wn)-k)/((Wn+1)(e^Wn) (6)
Hasta que Abs(Wn+1 – Wn) sea menor que la precisión establecida, en ese
caso
Abs(Wn+1 – Wn)<0,000001 y ahí damos por terminado la búsqueda del
valor de W(k)
Diagrama de flujo para la calculadora programable, de cualquier marca.
Nota: Si queremos que el proceso iterativo se pegue de Wo, el valor
inicial Wn debe ser >0. Para que se el proceso se agarre de la rama W-1, debemos
iniciar con W=-2 o menores.
Juan Fernando Sanín E
