Función Gamma de Euler I

Medellín 2 de Junio de 2020

Una aproximación a la función Gamma de Euler z Γ(z)

Teorema de Fubini

(Guido Fubini 1879 – 1943)

H) sea f(x,y)=g(x)h(y)                                                     (1)

La integral doble

Donde H es la anti derivada de h evaluada entre c y d y G es la anti derivada de g, evaluada entre a y b. 

Demostración

Integrando la (2) respecto de y, g(x) se considera constante y se puede sacar de la integral interior.

Corolario

Si f(x,y)=g(x)h(y)

Si integramos la integral interior, respecto a y, consideraremos  que la x es constante. No obstante, se presenta el mismo problema del problema inicial, lo cual trataremos de solucionar con un nuevo cambio de variable (recordando que para esta integral interior x es constante)

El cambio de variable es y=xu             u una nueva variable (7)

Hagamos el cambio de variable

y=ux            dy=xdu   (ya que x se considera constante en este punto de la integral.)

Cambiemos el límite inferior de ambas integrales:

  

A manera de ejemplo:

t=u²  

dt=2udu

Reemplazando

En donde el numerador es un número real y los dos factores del denominador tienden a ∞ cuando b tiende a ∞, por lo cual el resultado del límite en ∞ es igual a 0.

Evaluado la integral en t=0, nos daría 0/1 = 0 , por tanto,, después del cambio de variable, la integral definitiva queda así:

Son muchas las propiedades de la función Gamma, pero este blog se extendió mucho. En futuros blogs profundizaremos las propiedades de esta función.

Juan Fernando Sanin Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com