Cómo llegaron los griegos a la fórmula del área del círculo y 3 problemas adicionales

 

Medellín, marzo 2022

 

 

 

1.    El triángulo rectángulo de la figura tiene catetos que miden 5 y 12 m. Es posible inscribir un cuadrado, tal cual se muestra en la figura. Calcular el área de ese cuadrado.

 

Fig 1

 

Primero definamos las variables.

x lado del cuadrado

y Longitud AE

 

AD=√(x²+y²)

DC=5-√(x²+y²)

Los triángulos: original ABC, el verde AED y el café DCF son rectángulos y semejantes, ya que tienen los ángulos agudos iguales.                       (1)

 

Triángulos ABC y AED

x/12 =y/5                                                                      (2)

Triángulos ABC DCF

x/13 = (5-√(x²+y²))/5                                                    (3)

De (2)  y=(5/12)x       y la llevamos a la (3)

 

x/13=(5-√(x²+y²))/5

 

x/13 =(5-√(x²+(25/144)x²)/5

 

x/13=(60-13x)/60

 

(60+169)x=780                                    x=3,4061      y el área pedida es 11,60 U2

 

1.  Porqué los antiguos supieron que el área del circulo era πR²

 

Primero, advierto que, no entiendo cómo los antiguos griegos y romanos podían hacer operaciones aritméticas, utilizando números romanos u otros glifos.

 

De Wikipedia saco esta nota:

“Los números que todos usamos habitualmente (1, 2, 3, 4,…etc) son llamados “números arábigos” para distinguirlos de los “números romanos” (I. II, II, IV,V…). Los árabes popularizaron estos números, tomados de los persas, indios, aunque se piensa que su origen se remonta a los comerciantes fenicios, que los usaban, para contar y llevar la contabilidad comercial.”

 

Para saber que el área del círculo es πR2, partimos de que conocemos que los antiguos descubrieron que en cualquier circunferencia la relación entre el perímetro y el radio era una constante y que esta era el número π.

 

Supongamos que tenemos un círculo de radio R partido en 8 sectores, como muestra la figura

 

Fig 2

 

Supongamos que podemos poner los 4 sectores superiores (rojos) como se muestra en la parte superior de la figura y los sectores inferiores (azules), encajados en los huecos que dejan los sectores rojos.

 

La longitud de la parte superior roja vale πR y la altura es h, que es inferior a R.

Una aproximación al área sería πRh       y h no es muy diferente a R.

 

En la figura 3, hemos dividido el círculo en 32 sectores, 16 superiores (rojos) y 16 inferiores (azules) y los colocamos ambos como en el caso anterior. De manera igual, vemos que la parte roja sigue siendo πR y que la altura, ahora es más cercana a R, aunque sigue siendo inferior.

Fig 3

 

La intuición de los griegos los llevó a pensar que, si en vez de 32 sectores, fueran 64, la aproximación sería mejor y más aún, si pudiéramos repetir este proceso, hasta divisiones muy grandes, el resultado ya no sería aproximado, sino exacto

 

A=πR²

 

Lo anterior es una especie de integración intuitiva, que pudo servir de apoyo para que Leibniz y Newton descubrieran el cálculo diferencial e integral.

 

1.    Hallar el valor de x

Vemos ahora que x=2√x                                x²=4x    y       x=4

 

 

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Potencia de una matriz diagonalizable

 

Medellín, marzo 2022

 

Potencias de una matriz diagonalizable

 

Sea A∈Rn×n;

A∈Rn×n es diagonalizable si existe P∈Rn×n, donde P∈Rn×n es invertible, tal que:

P^–1AP=D

Donde D es una matriz diagonal.

 

Recordemos de la entrada anterior del blog que:

 

Si la matriz P es la matriz cuyas columnas son los eigenvectores de A

 

P^-1AD=D

 

D será la matriz diagonal, que se obtiene con los autovalores; estos están ordenados de acuerdo con el orden de los auto vectores, en las columnas de P

 

P^–1AP=D                  P(P^-1AP) P^-1= PD                AP=PD        A=PDP^-1

         

Las tres últimas expresiones son bastante útiles.

 

Cómo veremos a continuación, esta relación permite calcular fácilmente potencias de matrices diagonalizables.

 

A=PDP^–1                                                 (1)

 

Ahora, calculemosA²:

 

A²=PDP^–1.PDP^–1

El producto de matrices es asociativo, entonces:

A²=PDIDP^–1

A²=PD²P^–1

 

En general, en términos prácticos, es mucho más sencillo calcular D² que A², y más aún en caso de que los exponentes sean mayores.

Las potencias de una matriz diagonal se obtienen calculando las potencias de los elementos que están en la diagonal principal:

Ensayar con matrices diagonales 3x3 y potencias 2 y 3)

Para calcular Aⁿ, observar que A = PDP ¹. Por lo tanto:

Aⁿ= (PDP^-1) ⁿ

= (PDP^-1) (PDP^-1) ... (PDP^-1)

= PDⁿP^-1                                                               (3)

Veamos esto con ejemplos

Ejemplo 1

Si fuera A¹⁰⁰ no hay duda que, la única manera de hacer este trabajo es por el método:

A¹⁰⁰ = PD¹⁰⁰P^-1

Ejemplo 2

Sea la matriz A

Hallar A⁵

Con una matriz 3x3, la multiplicación directa, hasta llegar a A⁵, sería muy engorrosa.

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com