Potencia de una matriz diagonalizable

 

Medellín, marzo 2022

 

Potencias de una matriz diagonalizable

 

Sea A∈Rn×n;

A∈Rn×n es diagonalizable si existe P∈Rn×n, donde P∈Rn×n es invertible, tal que:

P^–1AP=D

Donde D es una matriz diagonal.

 

Recordemos de la entrada anterior del blog que:

 

Si la matriz P es la matriz cuyas columnas son los eigenvectores de A

 

P^-1AD=D

 

D será la matriz diagonal, que se obtiene con los autovalores; estos están ordenados de acuerdo con el orden de los auto vectores, en las columnas de P

 

P^–1AP=D                  P(P^-1AP) P^-1= PD                AP=PD        A=PDP^-1

         

Las tres últimas expresiones son bastante útiles.

 

Cómo veremos a continuación, esta relación permite calcular fácilmente potencias de matrices diagonalizables.

 

A=PDP^–1                                                 (1)

 

Ahora, calculemosA²:

 

A²=PDP^–1.PDP^–1

El producto de matrices es asociativo, entonces:

A²=PDIDP^–1

A²=PD²P^–1

 

En general, en términos prácticos, es mucho más sencillo calcular D² que A², y más aún en caso de que los exponentes sean mayores.

Las potencias de una matriz diagonal se obtienen calculando las potencias de los elementos que están en la diagonal principal:

Ensayar con matrices diagonales 3x3 y potencias 2 y 3)

Para calcular Aⁿ, observar que A = PDP ¹. Por lo tanto:

Aⁿ= (PDP^-1) ⁿ

= (PDP^-1) (PDP^-1) ... (PDP^-1)

= PDⁿP^-1                                                               (3)

Veamos esto con ejemplos

Ejemplo 1

Si fuera A¹⁰⁰ no hay duda que, la única manera de hacer este trabajo es por el método:

A¹⁰⁰ = PD¹⁰⁰P^-1

Ejemplo 2

Sea la matriz A

Hallar A⁵

Con una matriz 3x3, la multiplicación directa, hasta llegar a A⁵, sería muy engorrosa.

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com