Medellín, Octubre 2013
Diseño y replanteo de curvas de
carreteras Espiral – Circular – Espiral
1.
Curvas de transición en carreteras
Con el fin
de pasar de la sección transversal con bombeo. (Correspondiente a los tramos en
tangente), a la sección de los tramos en curva provistos de peralte y
sobreancho, es necesario intercalar un elemento de diseño, con una longitud en
la que se realice el cambio gradual a la que se conoce con el nombre de
longitud de
transición.
Cuando el
radio de las curvas horizontales sea inferior al señalado en el cuadro Nº 1, se
recomienda usar curvas de transición. Cuando se usen curvas de transición, se
recomienda el empleo de espirales que se aproximen a la curva de Euler o
Clotoide.
Cuadro 1 Necesidad de curvas de transición para diferentes velocidades de
diseño.
Cuando se
use curva de transición la longitud de la curva de transición no será menor que
Lmin, ni mayor que Lmax, según las siguientes expresiones:
L min. =
0.0178 V3/R
L máx. =
(24R)0.5
R = Radio
de la curvatura circular horizontal.
L min. =
Longitud mínima de la curva de transición.
L máx. =
Longitud máxima de la curva de transición en metros.
V = Velocidad directriz en Km. /h.
Cuadro No 2, Longitud deseable de la curva de transición.
El trazo de
accesos a puentes, pontones y túneles, ubicadas en curvas horizontales debe ser
proyectado considerando radios mínimos que garanticen la seguridad a los
usuarios, la transitabilidad en forma continua y la visibilidad.
Peralte
Se denomina
peralte a la sobre elevación de la parte exterior de un tramo de la carretera
en curva con relación a la parte interior del mismo. Con el fin de
contrarrestar la acción de la fuerza centrífuga, Las curvas horizontales deben
ser peraltadas.
El peralte
máximo tendrá como valor máximo normal 8% y para velocidades directrices
iguales o mayores a 40 Km./h como valor excepcional 10%. En casos extremos
podría justificarse en peralte máximo alrededor de 12% en cuyo caso deberá
considerarse un incremento en el ancho de cada carril para evitar que los
camiones que circulan en un sentido invadan el carril de sentido contrario.
El mínimo
radio (Rmin) de curvatura es un valor límite que está dado en función del valor
máximo del peralte (emax) y el factor máximo de fricción (fmax ) seleccionados
para una velocidad directriz (V). El valor del radio mínimo puede ser calculado
por la expresión:
Rmin = V2/(127(0.01 emax + fmax))
Cuadro No 3. Valor del factor fmax para diferentes velocidades de diseño.
Cuadro 4 Peraltes e – Velocidad - longitud de transición del bombeo y longitud de transición del peralte.
Cuadro 5 Radios mínimos - Peraltes máximos
Cuadro 6 Radios y peraltes para un peralte máximo de 4%
Cuadro 7 Radios y peraltes para un peralte máximo de 6%
Cuadro 8 Radios y peraltes para un peralte máximo de 8%
Cuadro 9 Radios y peraltes para un peralte máximo de 10%
Valores Radios y Peraltes
Peralte max 10%
Cuadro 10 Radios y peraltes para un peralte máximo de 12%
2. θ en términos de L y ecuaciones paramétricas de la
clotoide, en términos del parámetro θ
En primer lugar consideremos la figura 1
Sea el punto P(x, y), sobre la clotoide. En este punto la clotoide ha
avanzado una longitud L, el radio de curvatura es R y el ángulo que hace este
radio de curvatura con la perpendicular a la tangente en TE (eje y) es θ.
Sabemos que las variables L y R, están relacionadas por la fórmula LR = A2
Donde A es la constante de la clotoide.
Además sabemos del cálculo que dθ =
dL/R (1) y
que
Si L = A2/R dl =( -A2/R2)
dR (2)
dθ= =( -A2/R3) dR
(3)
θ= A2/2R2 (4)
que debemos integrar así:
θ = θ1, cuando R = h
θ = θ Cuando R= R
Luego llevamos la expresión (4) al límite, cuando R tiende a infinito y
obtenemos el valor de θ
θ = A2/(2R2) θ así encontrado está
en radianes (5)
Cambiando A2 por LR, la fórmula (5) se transforma en
θ = LR/(2R2) = L/2R
y θe = LeRc/ (2Rc2)=
Le/2Rc θ en radianes (6)
Para obtener θ en grados la fórmula (6) se transforma en θ=90L/πR
Vamos a calcular las coordenadas (x, y) de un punto P, sobre la clotoide.
Volvemos a la figura 1, especialmente al detalle que está a la derecha.
Significado de las letras
TE: Tangente – Espiral
EC : Espiral – Circular
CE : Circular – Espiral
ET : Espiral - Tangente
Recordemos la expansión de las funciones sen y cos en series de potencias.
cosθ = 1 – θ2/2! + θ4/4! –θ6/6! (-1)n θ2n/(2n)!
+…
senθ = θ – θ3/3! + θ5/5! (-1)n
θ(2n+1)/(2n+1)!+….
θ obligatoriamente en radianes, cuando se utilizan estas
fórmulas. Estas series son convergentes para todo θ
dx= cosθ dL
(7)
dy = senθ dL
(8)
dx= cosθ dL= (1 – θ2/2! + θ4/4! –θ6/6!+..)dL
(9)
Cambiamos θ por L2/2A2 (fórmula 6)
dx= ( 1 – L4/8A4 + L8/(24x16A8)+ )dL
x=(L – L5/40A4 + L9/9x384A8
- )
x = L( 1 – (L2/2A2)^2/10 + (L2/2A2)^4/216
-..
Como θ = (L2/2A2)^2
x = L( 1 – θ2/10 + θ4/216
- )
(10) θ en radianes
De igual forma hallamos y
y= L(θ/3 – θ3/42 + θ5/1320+…) (11)
θ en radianes
Como las series infinitas para sen y cos son convergentes para todo θ, pero
convergen más rápidamente para valores de θ
pequeños < 1radian, la experiencia ha mostrado que las fórmulas 10 y
11 requieren pocos términos para obtener muy buenas aproximaciones en el caso
de las clotoides en las carreteras.
La fórmula (10) se debe trabajar con 3 términos, mientras que la (11) es
suficiente con 2 términos.
3. Determinación de k y p
En primer lugar, para una velocidad dada, es necesario determinar primero
que peralte vamos a utilizar. Para encontrar R, vamos a los cuadros 6 a 10, emax vs R y encontramos R para el
peralte que se ha seleccionado.
Con este valor calculamos Lmin y Lmax,. Observamos luego el cuadro 2, de
las transiciones aconsejables y confrontamos los resultados anteriore. Si la
transición aconsejable está entre Lmin y Lmax, y las condiciones lo permiten,
utilizamos la transición aconsejable del cuadro 2.
Si ya conocemos el valor de la transición Le, encontramos
A2 = Le Rc. De la ecuación (6) y calculamos el valor de θe. θe es el ángulo total para la longitud Le
sobre la clotoide, de la figura 1
Sea k la distancia, sobre la tangente, entre él TE y el PC, Siendo PC un
punto ficticio, donde iniciaría la curva circular, si no se hubiera utilizado
la clotoide.
En la gráfica 2, analicemos el triángulo rectángulo sombreado en verde. El ángulo θe, es el ángulo total de la
espiral.
θe es también el ángulo que hace el radio de curva
circular Rc en EC, con la recta que va desde C, el centro de la curva circular
y el ficticio PC
Figura 2
senθe=(Xc – k)/Rc (12)
Despejamos k y obtenemos k = xc – Rc senθe (13)
cos θe = (Rc + p – yc)/Rc (14)
A partir de PC, sobre la recta que va desde el PC hasta C, tomamos la
distancia p, que se llama disloque y ubicamos el PC’.
Despejamos p y obtenemos p = yc –
Rc(1 – cosθe) (15)
Las ecuaciones (10) y (11) nos permiten deflectar la clotoide, con
longitudes de cuerdas L de 10, 20, 30m , hasta llegar a Le. Para el valor L = Le
encontramos EC(xc ,yc) y que más adelante, cuando tengamos ubicado el punto TE,
podremos encontrar punto EC, que es donde inicia la curva circular.
Hay dos valores que son muy importantes para poder deflectar las curvas
Espiral – Circular – Espiral, estos son Tl tangente larga y Tc tangente corta,
tal cual se ven en la figura 2.
Por trigonometría obtenemos:
Tl = xc – yc/tanθe (16)
Tc= yc/senθe (17)
4 Cálculo de la tangente máxima y de la externa.
Lo único que nos queda faltando para tener la curva espiralizada completa,
es averiguar el valor de la externa Ext y la Tangente máxima Te = TE - PI
Veamos la figura 3
∆ es el ángulo que hacen las tangentes (ángulo de deflexión), ∆c es el
ángulo al centro de la curva circular, de la curva espiralizada.
Te la tangente máxima de la curva espiralizada
Ext la externa de la curva espiralizada.
Figura 3
Te = k + PC-PI
Te = k + (Rc + p)tan(∆/2) (18)
Además:
Cos(∆/2) = (Rc + p)/Rc + Ext)
Ext = (Rc + p)/cos(∆/2) – Rc (19)
5 Cómo deflectamos la curva espiral circular espiral?
Procedimiento.
1. Con base en el emax que vamos a utilizar, escogemos el
Radio de la curva circular, con base en el cuadro apropiado del 6 al 10.
2. Calculamos Lmin y L max con base en la velocidad de
diseño V y el radio R y confrontamos estos valores con el Le deseable, que
obtenemos del cuadro 2. Si podemos utilizar el Le deseable es lo mejor.
3. Calculamos A el valor de la constante de la clotoide A =
LeRc
4. Calculamos el valor de θe. θe = LeRc/ (2Rc2)=
Le/2Rc en Radianes o θ= 90Le/πRc en grados
5. Calculamos las coordenadas de EC (xc, yc), ecuaciones
(10) y (11)
6. Calculamos k y p ,
k= xc
– Rc senθe, p = yc – Rc(1 – cosθe)
7. Ahora podemos calcular Te = k + (Rc + p)tan(∆/2) y esto
nos permite devolvernos desde el PI y ubicar el punto TE.
8. Ubicado TE, conocidos θe y Le, podemos deflectar la
espiral y ubicar físicamente el punto EC.
9. Se calcula Tl=xc – yc/tanθe y eso nos permite ubicar el
punto A, donde se cortan las tangentes larga y corta.
10. Con la estación ubicada en EC, ubicamos la tangente de la
curva circular mirando hacia el punto A. Luego deflectamos la curva circular,
cuyo radio es Rc; el ángulo a deflectar es Δc= Δ-2θe. Se utilizan cuerdas de 5
o 10 metros y se busca el grado de la cuerda escogida para el radio que tenemos
Rc.
11. Así llegamos hasta CE. Luego, nos paramos en ET y
deflactamos la espiral hacia atrás, hasta volver al CE.
Juan Fernando Sanin E
Juanfernando.sanin@gmail.com
