Diseño y replanteo de curvas de carreteras Espiral – Circular – Espiral

Medellín, Octubre 2013

Diseño y replanteo de curvas de carreteras Espiral – Circular – Espiral

1.     Curvas de transición en carreteras

Con el fin de pasar de la sección transversal con bombeo. (Correspondiente a los tramos en tangente), a la sección de los tramos en curva provistos de peralte y sobreancho, es necesario intercalar un elemento de diseño, con una longitud en la que se realice el cambio gradual a la que se conoce con el nombre de longitud de

transición.

Cuando el radio de las curvas horizontales sea inferior al señalado en el cuadro Nº 1, se recomienda usar curvas de transición. Cuando se usen curvas de transición, se recomienda el empleo de espirales que se aproximen a la curva de Euler o Clotoide.

Cuadro 1 Necesidad de curvas de transición para diferentes velocidades de diseño.

Cuando se use curva de transición la longitud de la curva de transición no será menor que Lmin, ni mayor que Lmax, según las siguientes expresiones:

L min. = 0.0178 V³/R

L máx. = (24R)^0.5

R = Radio de la curvatura circular horizontal.

L min. = Longitud mínima de la curva de transición.

L máx. = Longitud máxima de la curva de transición en metros.

V = Velocidad directriz en Km. /h.

Cuadro No 2, Longitud deseable de la curva de transición.

El trazo de accesos a puentes, pontones y túneles, ubicadas en curvas horizontales debe ser proyectado considerando radios mínimos que garanticen la seguridad a los usuarios, la transitabilidad en forma continua y la visibilidad.

Peralte

Se denomina peralte a la sobre elevación de la parte exterior de un tramo de la carretera en curva con relación a la parte interior del mismo. Con el fin de contrarrestar la acción de la fuerza centrífuga, Las curvas horizontales deben ser peraltadas.

El peralte máximo tendrá como valor máximo normal 8% y para velocidades directrices iguales o mayores a 40 Km./h como valor excepcional 10%. En casos extremos podría justificarse en peralte máximo alrededor de 12% en cuyo caso deberá considerarse un incremento en el ancho de cada carril para evitar que los camiones que circulan en un sentido invadan el carril de sentido contrario.

El mínimo radio (Rmin) de curvatura es un valor límite que está dado en función del valor máximo del peralte (emax) y el factor máximo de fricción (fmax ) seleccionados para una velocidad directriz (V). El valor del radio mínimo puede ser calculado por la expresión:

Rmin = V²/(127(0.01 emax + fmax))

Cuadro No 3. Valor del factor fmax para diferentes velocidades de diseño.

Cuadro 4 Peraltes e – Velocidad - longitud de transición del bombeo y longitud de transición del peralte.

Cuadro 5 Radios mínimos - Peraltes máximos

Cuadro 6 Radios y peraltes para un peralte máximo de 4%

Cuadro 7 Radios y peraltes para un peralte máximo de 6%

Cuadro 8 Radios y peraltes para un peralte máximo de 8%

Cuadro 9 Radios y peraltes para un peralte máximo de 10%

Valores Radios y Peraltes

Peralte max 10%

Cuadro 10 Radios y peraltes para un peralte máximo de 12%

2.     θ en términos de L y ecuaciones paramétricas de la clotoide, en términos del parámetro θ

En primer lugar consideremos la figura 1

Sea el punto P(x, y), sobre la clotoide. En este punto la clotoide ha avanzado una longitud L, el radio de curvatura es R y el ángulo que hace este radio de curvatura con la perpendicular a la tangente en TE (eje y) es θ.

Sabemos que las variables L y R, están relacionadas por la fórmula  LR = A²

Donde A es la constante de la clotoide.

Además sabemos del cálculo  que dθ = dL/R       (1)  y que

Si L = A²/R    dl =( -A²/R²) dR                                (2)

dθ= =( -A²/R³) dR                                                  (3)

θ= A²/2R²                                                               (4) que debemos integrar así:

θ = θ1, cuando R = h

θ = θ   Cuando R= R

Luego llevamos la expresión (4) al límite, cuando R tiende a infinito y obtenemos el valor de θ

θ = A²/(2R²)                           θ así encontrado está en radianes            (5)

Cambiando A² por LR, la fórmula (5) se transforma en

θ = LR/(2R2) = L/2R  y        θe = LeRc/ (2Rc²)= Le/2Rc      θ en radianes          (6)

Para obtener θ en grados la fórmula (6) se transforma en θ=90L/πR

Vamos a calcular las coordenadas (x, y) de un punto P, sobre la clotoide.

Volvemos a la figura 1, especialmente al detalle que está a la derecha.

Significado de las letras

TE: Tangente – Espiral

EC : Espiral – Circular

CE : Circular – Espiral

ET : Espiral - Tangente

Recordemos la expansión de las funciones sen y cos en series de potencias.

cosθ = 1 – θ²/2! + θ⁴/4! –θ⁶/6!                   (-1)ⁿ θ²ⁿ/(2n)! +…

senθ = θ – θ³/3! + θ⁵/5!                              (-1)ⁿ θ^(2n+1)/(2n+1)!+….

θ obligatoriamente en radianes, cuando se utilizan estas fórmulas. Estas series son convergentes para todo θ

dx= cosθ dL                  (7)

dy = senθ dL                 (8)

dx= cosθ dL= (1 – θ²/2! + θ⁴/4! –θ⁶/6!+..)dL      (9)

Cambiamos θ por L²/2A²      (fórmula 6)

dx= ( 1 – L⁴/8A⁴ + L⁸/(24x16A⁸)+   )dL

x=(L – L⁵/40A⁴ + L⁹/9x384A⁸ -       )

x = L( 1 – (L²/2A²)^2/10 + (L²/2A²)^4/216 -..  

Como θ = (L²/2A²)^2

x = L( 1 – θ²/10 + θ⁴/216 -   )      (10)   θ en radianes

De igual forma hallamos y

y= L(θ/3 – θ³/42 + θ⁵/1320+…)    (11)  θ en radianes

Como las series infinitas para sen y cos son convergentes para todo θ, pero convergen más rápidamente para valores de θ pequeños < 1radian, la experiencia ha mostrado que las fórmulas 10 y 11 requieren pocos términos para obtener muy buenas aproximaciones en el caso de las clotoides en las carreteras.

La fórmula (10) se debe trabajar con 3 términos, mientras que la (11) es suficiente con 2 términos.

3.  Determinación de k y p

En primer lugar, para una velocidad dada, es necesario determinar primero que peralte vamos a utilizar. Para encontrar R, vamos a los cuadros 6 a 10, emax vs R y encontramos R para el peralte que se ha seleccionado.

Con este valor calculamos Lmin y Lmax,. Observamos luego el cuadro 2, de las transiciones aconsejables y confrontamos los resultados anteriore. Si la transición aconsejable está entre Lmin y Lmax, y las condiciones lo permiten, utilizamos la transición aconsejable del cuadro 2.

Si ya conocemos el valor de la transición Le, encontramos A² = Le Rc. De la ecuación (6) y calculamos el valor de θe.  θe es el ángulo total para la longitud Le sobre la clotoide, de la figura 1

Sea k la distancia, sobre la tangente, entre él TE y el PC, Siendo PC un punto ficticio, donde iniciaría la curva circular, si no se hubiera utilizado la clotoide.

En la gráfica 2, analicemos el triángulo rectángulo sombreado en verde. El ángulo θe, es el ángulo total de la espiral.

θe es también el ángulo que hace el radio de curva circular Rc en EC, con la recta que va desde C, el centro de la curva circular y el ficticio PC

Figura 2

senθe=(Xc – k)/Rc                (12)

Despejamos k y obtenemos   k = xc – Rc senθe            (13)

cos θe = (Rc + p – yc)/Rc     (14)

A partir de PC, sobre la recta que va desde el PC hasta C, tomamos la distancia p, que se llama disloque y ubicamos el PC’.

Despejamos p   y obtenemos     p = yc – Rc(1 – cosθe)  (15)

Las ecuaciones (10) y (11) nos permiten deflectar la clotoide, con longitudes de cuerdas L de 10, 20, 30m , hasta llegar a Le. Para el valor L = Le encontramos EC(xc ,yc) y que más adelante, cuando tengamos ubicado el punto TE, podremos encontrar punto EC, que es donde inicia la curva circular.

Hay dos valores que son muy importantes para poder deflectar las curvas Espiral – Circular – Espiral, estos son Tl tangente larga y Tc tangente corta, tal cual se ven en la figura 2.

Por trigonometría obtenemos:

Tl = xc – yc/tanθe                      (16)

Tc= yc/senθe                            (17)

4    Cálculo de la tangente máxima y de la externa.

Lo único que nos queda faltando para tener la curva espiralizada completa, es averiguar el valor de la externa Ext y la Tangente máxima Te = TE - PI

Veamos la figura 3

∆ es el ángulo que hacen las tangentes (ángulo de deflexión), ∆c es el ángulo al centro de la curva circular, de la curva espiralizada.

Te la tangente máxima de la curva espiralizada

Ext la externa de la curva espiralizada.

Figura 3

Te = k + PC-PI

Te = k + (Rc + p)tan(∆/2)       (18)

Además:

Cos(∆/2) = (Rc + p)/Rc + Ext)

Ext = (Rc + p)/cos(∆/2) – Rc       (19)

5     Cómo deflectamos la curva espiral circular espiral?

Procedimiento.

1.     Con base en el emax que vamos a utilizar, escogemos el Radio de la curva circular, con base en el cuadro apropiado del 6 al 10.

2.     Calculamos Lmin y L max con base en la velocidad de diseño V y el radio R y confrontamos estos valores con el Le deseable, que obtenemos del cuadro 2. Si podemos utilizar el Le deseable es lo mejor.

3.     Calculamos A el valor de la constante de la clotoide A = LeRc

4.     Calculamos el valor de θe. θe = LeRc/ (2Rc²)= Le/2Rc en Radianes o θ= 90Le/πRc en grados

5.     Calculamos las coordenadas de EC (xc, yc), ecuaciones (10) y (11)

6.     Calculamos k y p ,  k= xc – Rc senθe, p = yc – Rc(1 – cosθe)

7.     Ahora podemos calcular Te = k + (Rc + p)tan(∆/2) y esto nos permite devolvernos desde el PI y ubicar el punto TE.

8.     Ubicado TE, conocidos θe y Le, podemos deflectar la espiral y ubicar físicamente el punto EC.

9.     Se calcula Tl=xc – yc/tanθe y eso nos permite ubicar el punto A, donde se cortan las tangentes larga y corta.

10. Con la estación ubicada en EC, ubicamos la tangente de la curva circular mirando hacia el punto A. Luego deflectamos la curva circular, cuyo radio es Rc; el ángulo a deflectar es Δc= Δ-2θe. Se utilizan cuerdas de 5 o 10 metros y se busca el grado de la cuerda escogida para el radio que tenemos Rc.

11. Así llegamos hasta CE. Luego, nos paramos en ET y deflactamos la espiral hacia atrás, hasta volver al CE.

Juan Fernando Sanin E

Juanfernando.sanin@gmail.com