Arco capaz - Construir un triángulo ABC, del cual se conoce: ángulo A y medianas que parten de B y C

 

Jardín, septiembre de 2021

 

Concepto de Arco Capaz

 

1.    “El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano, que unidos con los extremos de un segmento AB forman siempre, desde cada uno de esos puntos, un mismo ángulo.”

Fig 1 - 1

Se conoce el ángulo A (rojo) y la cuerda BC (azul).

·         Se colocan en un mismo plano el ángulo <A y la cuerda BC,          No importa su posición relativa.

·         Por B se traza una paralela a uno de los lados del ángulo conocido y por C se traza otra paralela al otro lado del ángulo. En la figura 1 estas paralelas (verde) se cortan en A y con toda seguridad el ángulo BAC = <A (por lados paralelos)

·         Hacemos pasar una circunferencia por los puntos A, B y C. Por M, punto medio de BC trazamos la mediatriz. Por N, punto medio de AC, trazamos la mediatriz. Estas mediatrices se cortan en el punto O, que equidista de los puntos ABC. Trazamos la circunferencia circunscrita. Cualquier ángulo cuyo vértice esté en el arco <DEA, subtendido por la cuerda BC, tiene como medida la mitad el arco de esa circunferencia  (en radianes)o, debajo de la curda BC, que en la figura Fig 1 – 1, se ha borrado.

 

1.   2. Construir un triángulo ABC, del cual se conoce: El ángulo interno A y las medianas que parten de B y C

Fig2 -1

Suponemos el problema resuelto.

Miremos la figura 2 – 2 (es la misma fig 2 – 1), con algunas líneas auxiliares.

Fig 2 - 2

El triángulo a construir es el triángulo ABC. Llamamos BM2 = m2, mediana trazada desde B. Llamamos CM3 = m3, la mediana trazada desde C.

Sabemos que las medianas se cortan a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. En la figura 2 -2, hemos hecho hincapié en esta propiedad. Las medianas se cortan en el punto G.

Lo primero que observamos es que es posible construir el arco capaz del ángulo A (conocido) y la cuerda BM2 (conocida). Se hace con el procedimiento indicado en el punto 1 del blog. Nótese que no se ha determinado el punto A.

Prolongamos la mediana BM2, una longitud (1/3)m2 y llegamos al punto D.

Ahora observamos que la figura ADCG es un paralelogramo, (ya que es un cuadrilátero, cuyas diagonales se cortan en su punto medio. M2 es el punto medio de AC e igualmente el punto medio de GD.)

La distancia DA = (2/3)m3.

La construcción del triángulo ya está completada, porque tenemos el punto D y trazamos, desde D, una circunferencia cuyo radio sea (2/3)m3 y donde esta nueva circunferencia, corte el arco capaz de <A y BC, estará ubicado el punto A.

Sigue prolongar la línea AM2 una distancia igual y estaremos sobre el punto C.

El procedimiento es el siguiente:

Se construye la mediana m2 = BM2 (que es un dato del problema)

Se construye el arco capaz de BM2 y el ángulo <A conocido.

Se prolonga la mediana BM2 una distancia igual a (1/3)m2 y obtenemos el punto D.

Por D trazamos una circunferencia de radio igual a (2/3)m3, que cortará, en el punto A, el arco capaz que hemos construido.

Prolongamos la línea AM2 una distancia igual y llegamos al punto C.

El triángulo pedido se ha construido.

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Cuatro problemas de geometría Euclidiana Plana

 

Jardín, septiembre 2021

 

 

Cuatro problemas de geometría

 

1.    Construcción de una circunferencia.

Se sabe que los puntos A, B y D están sobre una circunferencia. Lo único que le entregan a uno es la parte del dibujo que está en rojo. Hallar el radio de esa circunferencia.

Fig 1 -1

Cuando me presentaron el problema, se me ocurrió una solución obvia. La de la figura B. Se escoge un sistema de coordenadas y se conocen 3 puntos de la misma. La ecuación de esa circunferencia es       (x – h)² + (y – k)² = R²          donde (h, k) es el centro de la misma y R el radio.

A (0,0)

h² + k² = R²                                                                                 (1)

B (0,4)

h² + (4 – k)² = R²                                                                        (2)

C (6, 6)

(6 – h)² + (6 -k)² = R²                                                                     (3)

 Desarrollemos la (2)          h² + 16 - 8k + k² = R²                         k =2

Desarrollemos la (3)         36 – 12h + h² + 36 – 12k + k² = R²

72 – 12h – 12k = 0                                                                        h =4

R = √ (2² + 4²) = 2√5

El problema, es que lo presentaron para resolverlo por geometría Euclidiana y haber encontrado primero la solución por geometría analítica, lo que me quitó espacio para maniobrar, ya que cualquier solución que encontraba, trataba de que fuera similar a esta solución.

Por geometría Euclidiana.

Fig 1 - 2

Trazamos la recta auxiliar AH, paralela a BC. Construimos la línea auxiliar DG.

Trazamos la recta auxiliar AH, paralela a BC. Construimos la línea auxiliar DG.

Si trazamos la línea MJ, paralela a BE y AH; (M punto medio de AB); Observando la figura, vemos que la línea MJ es parte de un diámetro. Concluimos que FG = 2.

 

Recordemos la propiedad de las rectas secantes de una circunferencia:

BCxCE = GCxCD

6xCE = 6x2

Por lo que CE = 2

La recta AE es el diámetro de la circunferencia, debido al ángulo recto en B.

(2R)² = 4² + 8²

 2R = √80 = 4√5                                          y    R = 2√5

2.  Encontrar el área en verde, en el triángulo ABC

Fig 2 - 1

Cualquiera sea el triángulo, conocidos los tres lados, siempre es posible encontrar el área, bien sea utilizando la ley del coseno, que nos permite encontrar un ángulo y una altura respecto de uno de los lados o por el método de Herón

A= √ (s (s – a) (s – b) (s – c))                                      s= (a + b + c)/2

No obstante, podemos sospechar que se trata de un triángulo rectángulo.

√ (28² + 21²) = √1225 = 35

Recordemos la propiedad, de que las tangentes trazadas a una circunferencia, son iguales.

Planteamos 3 ecuaciones con 3 incógnitas x, y, r

x + 2r + y = 35                                                                        (1)

Veamos la figura de otra manera:

Fig 2 - 2

Recordemos las fórmulas de trigonometría

cos A/2 = √ ((1 + cosA) /2)

sen A/2 = √ ((1 - cosA) /2)

En la figura 2 – 2                       cos A/2 = √ ((1 + 28/35) /2) = x/√ (x² + r²)

√ (63/70) = x/√ (x² + r²)            x = (3/√10) √ (x² + r²)                                      (2)

cos B/2 = √ ((1 + 21/35) /2) = y/√ (y² + r²)            y = (2/√5) √ (y² + r²)              (3)

La (2) la convertimos en 10x² = 9x² + 9r²                x² = 9r²         x = 3r

La (3) la convertimos en 5y² = 4y² + 4r²                   y² = 4r²        y = 2r

x + y = 5r

La (1) se convierte en 5r + 2r = 35                               r = 5

El área verde es igual a 21x28/2 - 2p (25) = 294 – 157,08 = 136,92 m2

3. Encontrar el área que está sombreada en rojo.

Fig 3 - 1

El área solicitada es igual a la mitad del rectángulo – área sector B - área sector D

Veamos la figura Fig 3 -2

Fig 3 -2

En la figura 3 – 2 está claro que el área solicitada es igual al área del triángulo rectángulo inferior – área del círculo de radio 1

= 4 – p (1)² = 0,858 unidades de área

 

1.   4.  Construir un triángulo del cual se conocen.

La altura, la bisectriz y la mediana que parten de un mismo vértice.

Fig 4 - 1

Altura, bisectriz y mediana, trazadas desde un mismo vértice.

Suponemos el problema resuelto.

Las tres líneas que conocemos tienen el pie, sobre el lado a, que no conocemos.

Construcción:

Trazamos una línea horizontal. (De esta recta va a salir la base a)

Trazamos una perpendicular a la línea anterior, con una longitud igual a la altura. Aquí obtenemos el vértice A y el pie H de la altura.

Con centro en A y longitudes iguales a la bisectriz y a la mediana, ubicamos los puntos I y M

(I pie de la bisectriz y M pie de la mediana.)

Si miramos la figura 4 – 2, la prolongación de la bisectriz corta la mediatriz trazada desde M en un punto P. (La mediatriz referida es la perpendicular a la recta que contiene el lado a, en el punto M).

Si volvemos a mirar la figura 4 – 2, también conocemos la cuerda AP y el centro del círculo circunscrito se encuentra donde se cortan dos mediatrices. Trazamos una perpendicular a AP por su punto medio N y esta se intercepta con la primera mediatriz que trazamos por M.

Fig 4 - 2

En este momento tenemos el vértice A y el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Simplemente trazamos esta circunferencia y así obtenemos los puntos B y C.

 Atentamente,

 

 Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com