Medellín, Septiembre 2011
SERIES INFINITAS
Nota 1. Qué son, para qué sirven?
Una persona desprevenida podría creer que estudiar el comportamiento de una suma infinita, definida por una regla, es algo inocuo, incluso algo para locos. Nada más equivocado. Se puede afirmar que su descubrimiento y estudio han ayudado al desarrollo de la vida cotidiana moderna y están utilizadas en todo lo que vemos en nuestra civilización: casas, edificios, carreteras, puentes, astronomía, física, biología y muchas otras ciencias.
Una serie infinita es algo como
Σ an= a1 + a2+ a3+…………+an+……………… hasta que n sea tan grande como
queramos.
Por ejemplo
Para valores de n entre 0 e infinito:
Σ1x(1/2)n = 1 + ½+ ¼ + 1/8 + ………………hasta que n sea tan grande como
queramos.
Imaginemos un perro que está persiguiendo a un conejo y que inicialmente se encuentran a 2 metros de distancia. En el primer salto, el perro le descuenta un metro al conejo. En la medida que el perro se acerca al conejo, se va agotando, de tal manera que cuando está a 1m, en el próximo salto queda a ½ m, en el próximo queda a ¼ m, en el próximo quedará a 1/8 m y así sucesivamente.
Sorpresa, aunque el conejo se quedase quieto, el perro jamás lo alcanzará.
La distancia que separa al perro y al conejo en el momento inicial es de 2 m y la suma de las distancias recorridas por el perro serán:
1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1x(1/2)n <2
Esta suma siempre será menor que 2
Si n es 10 S10 = 1,998046875000000000000000000000
Si n= 30 S30 =1,999999998137350000000000000000
Si n= 40 S40 = 1,999999999998180000000000000000
Si resolvemos este problema en Excel, para n= 50 obtendríamos S = 2. Esto no será cierto. Lo que ocurre es que Excel trabaja con 30 cifras decimales y aproxima por exceso cuando se sobrepasan estas 30 cifras decimales
La suma, no importa cuán grande sea n, jamás llegará a 2, pero, si tomamos n= 10 tenemos una buena aproximación: 2 milésimas.
Si n= 30 la aproximación es mejor, S30 nos da 8 cifras decimales exactas del valor verdadero de la suma infinita (a partir de la cifra 9 ya se presenta un leve error).
Si n= 40, S40= nos proporciona 11 cifras decimales exactas; a partir de la 12 ya hay un pequeño error.
Si n= 50, el Excel nos entrega S50 = 2. La razón es que Excel sólo es capaz de trabajar con 30 cifras decimales exactas. Esto significa que hace sus cuentas y obtiene 29 cifras con 9 y la 30 debe ser mayor o igual a 5 y por tanto nos entrega el valor aproximado de 2.0.
SERIES DE POTENCIAS
La otra aplicación de las series infinitas es el cálculo de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. En topografía, que es una ciencia básica de la construcción, se relacionan ángulos y distancias. Por las propiedades de los triángulos podemos obtener el valor de las funciones trigonométricas para ángulos como 0o, 30º, 45º, 60º y 90º. Por propiedades de la trigonometría podemos encontrar ángulos medios, suma de ángulos, ángulos dobles etc. No obstante si en el campo midiéramos un ángulo de 33º 22’ 43.46”, la geometría y la trigonometría nunca nos podrían dar el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo, necesarias para realizar todos los cálculos prácticos.
Afortunadamente, esos “locos” que estudiaban las matemáticas inocuas, descubrieron que las funciones que tienen infinitas derivadas, como es el caso de las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, podían ser representadas por series de potencias. A manera de ejemplo la función senx se puede representar por la serie infinita:
Senx =Σ (-1)n+1 x 2n-1/(2n-1)! = x - x3/3! + x5/5! – x7/7!+……. Hasta infinito. (1)
Descubrieron además los matemáticos, que la función senx puede ser representada por la serie infinita para cualquier valor real de x, siempre y cuando se utilizara la medida natural de los ángulos: el radián. En la serie anterior, para un valor de x (en radianes), mientras más pequeño sea x, y más grande sea n, más preciso es el valor de la función, obtenido por medio de la serie.
Veamos que pasa para x=31º 12’ 14.43”
Este valor en grados es: 31.20400833º
En radianes será: 0.544612685 rad
Ni la geometría, ni la trigonometría son capaces de entregarnos el valor del seno de este ángulo, no así la serie infinita (1)
Veamos los términos de la serie para senx
1---------- + x = 0.544612685
2--------- - x3/3! = -0.026922291
3-------- + x5/5! = 0.000399262
4-------- - x7/7! =.-0.000002820
5---------+x9/9! = + 000000012
De acuerdo con la teoría (que se explicará más adelante), si sumamos los primeros 4 términos, el error cometido al calcular sen 31º 12’ 14.43” es menor que el quinto término, es decir menor que 0.000000012, es decir las primeras 7 cifras son exactas.
Encontremos sen 31º 12’ 14.43 como S4 (la suma de los primeros 4 términos de la serie que representa a senx)
S4 = 0.518086836, un valor aproximado de sen 31º 12’ 14.43 = 0.518086836
Hasta la 7a cifra, el dato obtenido es exacto. Puede haber un error de + o – 0.00000001,
en la aproximación que se consiguió.
Si utilizamos la calculadora para calcular el sen 31º 12’ 14.43
Obtenemos: 0.518086848 (Vemos que las primeras 7 cifras decimales son iguales.
Cómo hizo eso la calculadora?
Antes de la existencia de las calculadoras científicas, se utilizaban tablas de logaritmos, para realizar cálculos que tuvieran involucradas funciones de senx, cosx, tanx, invsenx, invcosx, invtanx, logx, lnx, ex y ax. Estas tablas, que aun se encuentran en las bibliotecas y que son ya curiosidades del pasado, permitieron, hasta bien avanzados los años 70s del siglo XX, realizar todo tipo de cálculos, necesarios para trazar carreteras, medir terrenos, resolver problemas hidráulicos, de suelos y para la física en general, incluyendo la astronomía. No tuviéramos la civilización de hoy si no hubieran existido esas famosas tablas. Y cómo se elaboraron esas tablas?
La respuesta es clara: gracias a las series de potencias que permitían representar estas funciones trascendentes. No hay otra forma.
Con series de potencias se ha calculado los números más famosos como π y e.
Que hace una calculadora cuando le solicitamos calcular el sen 31º 12’ 14.43”?
Primero convierte el valor del ángulo a su medida natural: radianes. Luego, utiliza la serie (1), que la tiene incrustada y hace lo que hicimos nosotros. Internamente decide la precisión. Las más costosas y las graficables tienen mejor precisión, probablemente unas 9cifras exactas. Las tablas de logaritmos, elaboradas con las uñas, llegaban a tener precisiones de 6 cifras decimales como máximo.
En la notas siguientes haremos un estudio un poco más a fondo de este tema tan interesante y sobretodo “útil”, a cuyo descubrimiento debemos reconocer, como uno de los soportes de la civilización actual, al menos de la infraestructura.
Juan Fernando Sanin E
Juanfernando.sanin@gmail.com
