SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS CONSTANTES - CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Medellín, Noviembre 2011

SERIES INFINITAS

Nota 3

SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES QUE CONTIENEN TÉRMINOS NEGATIVOS

Se subdividen en dos:

1. Series alternantes ∑ (-1)ⁿ a_n , ( n = 0 hasta n = ∞) = a₀ – a₁ +a₂ – a₃ +…

Donde a_n > 0

2. Series ∑a_n, donde a_n es un número real

Series alternantes

∑ (-1)ⁿ a_n, ( n = 0 hasta n = ∞) = a₀ – a₁ +a₂ – a₃ +…………, donde a_n > 0

Ej ∑ (-1)ⁿ⁺¹ 1/n,( n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +… Llamada la serie armónica alternante, que contrario a la serie armónica que es divergente, veremos más adelante que se trata de una serie convergente.

Criterio de convergencia de las series alternantes

La serie alternante

∑(-1)ⁿ a_n,( n = 0 hasta n = ∞) = a₀ – a₁ +a₂ – a₃ +…………, donde a_n > 0

Al igual que todas las series infinitas, su convergencia está condicionada a que

Lim a_n cuando n →∞ = 0, lo cual le da la posibilidad de ser convergente, pero no garantiza su convergencia. Esta condición es necesaria pero no suficiente.

Teorema

Si una serie alternante es tal que Lim a_n cuando n →∞ = 0 y además a _n+1 < a_n, para todo n, entonces la serie es convergente

Reescribamos la serie alternante:

∑(-1)ⁿ a_n,( n = 0 hasta n = ∞) = a₀ – a₁ +a₂ – a₃ +…………, donde a_n > 0

De la siguiente manera:

∑ (-1)ⁿ a_n = a₀ – a₁ +a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + a₆ – a₇ + a₈ – a₉ +……..

∑ (-1)ⁿ a_n = (a₀ – a₁₎ + (a₂ – a₃₎ +( a₄ – a₅₎ + (a₆ – a₇₎ + (a₈ – a₉₎ +…hasta infinito

Si esta suma existe, sería positiva, ya que todos los sumandos entre paréntesis lo son (a _n+1 < a_n)

También la podríamos reescribir así:

∑ (-1)ⁿ a_n = a₀ – (a₁ -a₂₎ – (a₃ - a₄₎ –( a₅ - a₆₎ – (a₇ - a₈₎ – (a₉ -……..

Que además de ser positiva, es tal que a0 es una cota positiva. Por tanto como la serie es acotada, es convergente.

La serie:

∑ (-1)ⁿ⁺¹ 1/n, (n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +…

Evidentemente es convergente, ya que lim 1/n, cuando n→∞ = 0 y para todo n

1/n > 1/(n+1), lo cual es suficiente y necesario para confirmar la convergencia de la serie.

SERIES ABSOLUTA Y CONDICIONALMENTE CONVERGENTES

Definición

Para las series de términos positivos y negativos se establece una clasificación. Estas series pueden ser absoluta o condicionalmente convergentes.

Una serie es absolutamente convergente cuando las series ∑an y ∑|an|, las dos son convergentes.

Ejemplo

∑ (-1)ⁿ⁺¹ 1/n² es absolutamente convergente ya que:

Lim 1/n², cuando n →∞ = 0 y además 1/n² > 1(n+1)² y por tanto la serie es convergente.

La serie de los valores absolutos es la serie ∑1/n² y es una serie p con p > 1 y también es convergente. Por tanto ∑a_n y ∑|a_n|, son ambas convergentes y por consiguiente ∑an es absolutamente convergente.

Una serie ∑a_n es condicionalmente convergente, cuando ∑a_n es convergente, pero ∑|a_n| es divergente.

Ejemplo

La serie armónica alternada es condicionalmente convergente, ya que

Hemos demostrado que ∑ (-1)ⁿ⁺¹ 1/ n es una serie convergente

No obstante sabemos que

∑ 1/n que es la serie de los valores absolutos de la serie armónica alternante, es divergente.

Las series mas generales son ∑an, donde an es un número real,que puede ser positivo o negativo, sin importar el orden.

Ejemplo

∑ sen n es una serie general ya que si n representa radianes:

sen 1 + sen 2 + sen 3 + sen 4 + sen 5 + sen 6 +………….

0.8414 + 0.9093 + 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 + 0.6569 +…..

Es imposible saber cuál es el signo de sen n

La serie de términos positivos asociada será:

∑ |sen n|, la cual si es positiva.

Las dos series anteriores son divergentes, porque lim sen n , cuando n →∞ no es 0.

Los criterios siguientes son válidos para todas las series.

Criterio de la razón

i Si lim |a_n+1/a_n|, cuando n→∞ = L < 1, la serie ∑ an es absolutamente convergente.

ii Si lim |a _n+1/a_n|, cuando n→∞ = L > 1 o lim |a _n+1/a_n|, cuando n→∞ = + ∞ (un número positivo tan grande como queramos, no un indeterminado), entonces la serie ∑ a_n es divergente.

iii Si lim |a _n+1/a_n|, cuando n→∞ = L = 1, el Criterio no sirve para determinar la convergencia o divergencia de la serie.

Criterio de la raíz

i Si lim √|a_n|, cuando n→∞ = L < 1, la serie ∑ a_n es absolutamente convergente.

ii Si lim √|a_n|,, cuando n→∞ = L > 1, o lim √|a_n|, cuando n→∞ = + ∞ (un número positivo tan grande como queramos, no un indeterminado), entonces la serie ∑ an es divergente.

iii Si lim √|a_n|,, cuando n→∞ = L = 1 , el Criterio no sirve para determinar la convergencia o divergencia de la serie.

Ejemplo

Determinar la convergencia o divergencia de la serie:

∑ (-1)ⁿ n/2ⁿ

Ante la dificultad de encontrar una serie conocida para compararla, recurrimos al criterio de la razón.

|(n+1)/2⁽ⁿ⁺¹) / n/2ⁿ| = |(n+1)/n / 2|

Llevando esta expresión al límite cuando n →∞, vemos que el lim de |(n+1) / n |

es 1 y por tanto el límite completo es ½,

Por consiguiente la serie es absolutamente convergente, lo cual implica que la serie en si es convergente, como también la serie ∑ n/2ⁿ

Ejemplo

Investigar si la serie ∑ 3ⁿ/ nⁿ

Cuando hay posibilidad de sacar raíz n en el término general, el criterio de la raíz podría ser el mas adecuado, como es en este caso.

√ⁿ 3ⁿ/ nⁿ = 3/n

Y lim 3/n cuando n →∞ = 0 < 1 y por tanto la serie es absolutamente convergente y por consiguiente convergente.

Que hacer cuando tengamos una serie de términos constantes desconocida, antes de aplicar criterios como comparación o el de las series alternantes, según el caso?

Recomendaciones:

1. Encontrar el lim a_n cuando n → ∞. Si este límite es diferente de 0 o no existe, podemos concluir de una que la serie investigada es divergente.
2. En caso de que el límite anterior haya dado 0, eso no garantiza la convergencia de la serie. En ese caso buscamos la serie asociada de los valores absolutos │a_n│ y le aplicamos bien sea el criterio de la razón o el de la raíz.
3. Si el resultado al aplicar uno de los criterios anteriores es un 0 1, la respuesta es inmediata.
4. Si el resultado hubiese sido 1, entonces comienzan nuestros problemas. Si la serie es de términos positivos, se aplican los criterios de comparación o de la integral. Si es alternante, el criterio general de las series alternantes y si es una serie general, nos ayudamos con los conceptos de convergencia absoluta y convergencia condicional.

Juan Fernando Sanin

SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS CONSTANTES NOTA 2

Medellín, Octubre de 2011

Nota 2

SERIES INFINITAS

SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES

∑an = a₁ + a₂ + a₃ +……..+ a_n +………….. hasta infinito

Por la dificultad de escribir en el blogger algunas notaciones matemáticas, que son universales, vamos a introducir unos pequeños cambios.

∑a_n es la suma infinita de los términos an, desde n=1 hasta infinito (∞)

Cuando el contador n no inicie en 1 lo escribiremos explícitamente.

a_n es una fórmula que nos permite encontrar el enésimo sumando de la serie. Por ejemplo:

∑(2/(1+n²)

El termino para n= 3 será 2/(1+ 9) = 2/10

El termino PARA n =10 será 2/(101)

El término M será 2/(2+M²)

Se les llama series de términos constantes, no porque los sumandos sean constantes (de hecho son una función de n), sino porque no tienen la variable real x. Las series que tienen la variable real x, se denominan series de potencias.

Lo normal de una serie infinita es que su suma no se pueda hacer. No obstante hay dos conceptos asociados al concepto de serie que son de gran utilidad en las matemáticas.

∑a_{n ................}una serie infinita de n= 1 a infinito

S_n = a₁ + a₂ + a₃ +……..+ a_n ...............Es la suma parcial hasta el sumando n

Una serie infinita ∑a_n es convergente, cuando lim S_n, cuando n →∞ existe (Aunque en muchos casos no podremos identificar el valor de este límite).

Si {S_n} es la sucesión de las Sn, entonces la serie infinita ∑a_n es convergente, cuando la sucesión {S_n} es acotada, es decir

Lim S_n cuando n → ∞ < k y k es un número real.

Como hemos dicho, en la mayoría de los casos no podremos saber el valor exacto de Lim S_n cuando n → ∞

Pero podremos identificar si se trata de una serie convergente o no.

La importancia de las series convergentes ∑a_n es que se pueden estimar con S_n, aunque se cometa un error. Mientras mas grande sea n, mas aproximado es el resultado al evaluar ∑a_{n por medio de} S_n

Las series que no son convergentes, son divergentes.

Las series divergentes se caracterizan porque Lim S_n cuando n → ∞ no existe y por tanto la serie infinita no es estimable con base en las sumas parciales S_n.

Teorema

Si ∑a_n es convergente, entonces Lim an cuando n → ∞ = 0

Demostración

a_n= S_n– S_n-1

lim a_n= lim (S_n– S _n-1) ......cuando n→∞

lim a_n = (lim S_n – lim S _n-1 )......cuando n→∞

En el infinito n y n+1 es lo mismo, y como la serie es convergente

Lim S_n cuando n→∞ = Lim S _n-1 cuando n→∞= S

Y por tanto

lim a_n cuando n→∞ = 0

Proposición directa y contra reciproca. Una proposición directa H →T (Hipótesis implica Tesis) tiene un valor de verdad que puede ser Verdadero V o Falso V.

La contrarecíproca de la proposición directa es otra proposición en la cual la nueva hipótesis es la negación de la tesis y la nueva tesis es la negación de la hipótesis.

Por tanto

Si H →T es la proposición directa

No T →No H es la contra recíproca

Lo importante de estas dos proposiciones es que siempre tienen el mismo valor de verdad. Cuando la directa es verdadera, la contra recíproca también lo es.

Para el caso del teorema que demostramos, su contrarecíproca será:

Si una serie infinita es tal que lim a_n cuando n→∞ ≠0 entonces la serie es divergente.

Que por tanto es una proposición verdadera.

Como lo importante de las series es saber si son convergentes o divergentes, lo que estudiaremos en seguida son los criterios de convergencia y divergencia de las series infinitas.

Antes de iniciar el análisis de una serie infinita, lo primero que debemos hacer es:

lim a_n ....cuando n→∞

Si este límite no existe o es diferente de 0, el problema se acabó. La conclusión tajante y categórica es : La serie ∑a_n es divergente.

Si

lim a_n cuando n→∞= 0

La serie podría ser convergente o divergente y el camino a recorrer será largo.

Ejemplo

La serie ∑1/n², (mas adelante veremos que es una serie convergente) vemos como:

lim 1/n^2....cuando n→∞= 0

La serie ∑1/n = 1 +1/2 + 1/3 + ¼………….., llamada serie armónica, es divergente (Mas adelante lo demostraremos) y vemos como:

lim 1/n cuando n→∞= 0

Por tanto las series cuyo término general no tienda a 0 son tajante e irremediablemente divergentes, mientras que aquellas cuyo término general tienda a 0, pueden ser convergentes o divergentes.

Por lo anterior, todo este tratado (que va a excluir algunas demostraciones). Está orientado a conocer unos criterios que nos permitan establecer, cuales de las series cuyo término general tienda a 0 son convergentes y cuales no.

Para establecer criterios de convergencia, se acostumbra clasificar las series así:

Términos positivos ∑a_n , donde a_n> 0

Alternantes ∑(-1) ⁿ⁺¹ a_n , donde a_n> 0

Generales ∑a_n , donde a_n es un número real.

SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS.

Criterio de la integral

a_n es una fórmula que nos entrega un valor, para cada valor de n entero positivo. Si cambiamos n por x, la misma fórmula nos entregará un valor, pero esta vez en forma continua y no discreta. Cuando x tome los valores de los enteros positivos, el valor entregado será el mismo.

El criterio dice que si la integral impropia entre 1 e ∞ de ∫a(x)dx es convergente, entonces la serie infinita ∑a_n también lo es. (Sólo para series de términos positivos)

Serie p

La serie ∑1/n^p = 1+1/2^p + 1/3^p + 1/4^p …….+ 1/n^p +…….es llamada la serie p.

Evidentemente se trata de una serie de términos positivos y los valores de p están restringidos a:

(0, 1] ......Valores reales mayores que 0 e iguales o menores que 1

y

(1, ∞) .....Valores reales mayores que 1

El criterio de la integral no lo vamos a demostrar. Su demostración es muy sencilla y se encuentra en cualquier libro de cálculo. Si aplicamos el criterio de la integral impropia para la serie p. (Se sugiere como ejercicio) obtenemos el siguiente resultado.

Cuando p está en el intervalo (0, 1] la serie es divergente.

Ejemplo:

∑1/n ^0.9 Divergente , ∑10/n^0.999999 =10∑1/n^0.999999 Divergente

∑1/n = 1+ ½ + 1/3 + ¼ +….+ 1/n +……..Serie armónica, divergente.

Cuando p está en el intervalo (1, ∞) la serie es convergente.

∑1/n^1.0000001 Convergente

∑k/n³ =k∑1/n ³ Convergente

∑1/n² Convergente

Otra serie de términos positivos que es importante reconocer es la serie geométrica.

∑arⁿ de r= 0 a r= ∞ = a + ar + ar² + …… + arⁿ +………

S_n = a + ar + ar² +…….. + arⁿ

rS_n = ar + ar² + ar³ +…….. +ar ⁿ⁺¹

rS_n - S_n =ar ⁿ⁺¹ –a

S_n = a( r ⁿ⁺¹ -1)/ (r – 1) = a (1 – r ⁿ⁺¹)/ (1 –r)

De la teoría de límites sabemos que si r está en el intervalo (0, 1)

Lim r ⁿ cuando n→∞ = 0

Por tanto cuando n→∞ = 0, S_n tiende a : a/(1 – r) y ese es el valor al cual converge la serie.

Si r <1

Lim rⁿ cuando n →∞ = ∞

Por tanto S_n tiende a infinito y la serie es divergente.

Cuando r = 1

∑a = a + a +a + a+ a+…………., que evidentemente es una serie divergente, ya que hay infinitos sumandos iguales a a

Cómo identificamos las series geométricas?

∑(1/3 ⁿ de n= 0 a infinito = (1/3)⁰ + (1/3)¹ + (1/3)² + (1/3)³ + (1/3 ⁴+…….

= 1 + 1 (1/3) + 1 (1/3 ² + 1 (1/3 ³ + 1 ( 1/3 )⁴ +……….

a = 1, r = 1/3 por tanto la serie es convergente y converge a

1/(1 – 1/3) = 3/2

∑(4/3)ⁿ de n = 0 a infinito = (4/3)⁰ + (4/3)¹ + (4/3)² + (4/3)³ + (4/3)⁴+…….

= 1 + 1 (4/3) + 1 (4/3)² + 1 (4/3 ³ + 1 ( 4/3 )⁴ +……….

a= 1 , r = 4/3 por tanto la serie es divergente.

CRITERIOS DE COMPARACIÓN (SÓLO VÁLIDOS PARA SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES POSITIVOS)

1. Si estamos investigando la convergencia o no de una serie b_n, buscamos la serie apropiada a_n, conocida y hacemos el siguiente razonamiento.

Si comparadas a_n y b_n se observa que para toda n, o al menos para valores de n mayores M, se da que b_n < a_n y a_n es convergente, entonces con mayor razón, la serie b_n es convergente.

La razón de esto es que si la suma de los a_n es un número real, la suma de los b_n, será un número real menor.

Si comparadas a_n y b_n se observa que para toda n, o al menos para valores de n mayores M, se da que b_n >a_n y a_n es divergente, entonces con mayor razón, la serie b_n es divergente.

La razón de esto es que si la suma de los a_n es infinito positivo, la suma de los bn, que todos son mayores que los a_n, con mayor razón es divergente.

La comparación se puede hacer por paso al límite de la siguiente manera:

Si lim a_n/b_n, cuando n tienda a infinito es k, un número real diferente de 0, ambas series convergen o divergen.

Si lim a_n/b_n, cuando n tienda infinito es 0, y a_n es convergente, entonces b_n también será convergente.

Si lim a_n/b_n, cuando n tienda a infinito es infinito y a_n es divergente, b_n también lo será.

La comparación con paso al límite, obviamente, no es algo evidente y es necesario probar las tres proposiciones que estoy mencionando. No obstante, no lo vamos a hacer, pero le vamos a dar crédito, ya que han sido ampliamente demostradas y son universalmente aceptadas.

Ejemplo

Determinar si ∑1/ln n es convergente o divergente.

b_n = 1/ln n , escogemos a_n = 1/n (La serie armónica) y observamos que

ln2= 0.693147

ln3= 1,0986

ln 4 = 1,38629

Es posible que lnx < x ...para todo x

Como vemos, la función y= ln x, al menos en estos valores, está por debajo de y= x, y como la segunda derivada de y = ln x , y” = -1/x², es negativa para todo x, entonces su concavidad es hacia abajo y lnx nunca podrá alcanzar a y = x.

Por tanto, 1/ln x > 1/x, por consiguiente 1/ln n >1/n y como 1/n es una serie divergente, con mayor razón lo será 1/ln n

Ejemplo

Investiguemos la serie ∑1/n!, n= 1 hasta infinito. Sea esta serie b_n

∑1/n! = 1+1/(1x2) + 1/(1x2x3) + 1/(1x2x3x4) +1/(1x2x3x4x5) + 1/(1x2x3x4x5x6)+……….

Comparemos con la serie ∑(1/2)ⁿ , n = 1 hasta infinito. Sea esta serie a_n

∑(1/2)ⁿ = ½ + ½ ½ + ½(1/2)2 + ½ (1/2)3 + ½ (1/2)4 +1/2(1/2)5 + ½(1/2)6+…

Esta serie es convergente, ya que a= ½ y r= ½ (r=1/2 es la condición necesaria y suficiente para declarar la convergencia de a_n.

Vemos como b_n es igual o mayor que an, desde n = 1 hasta n = 3, de ahí en adelante, b_n < a_n

n ............a_{n.............} b_n

1 ............1/2 ............1

2 ............1/4 ............½

3 ............1/8 ...........1/6

4 ............1/16........ 1/24

5 ............1/32........ 1/120

Vemos como desde n= 4 en adelante, b_n < a_n y como a_n es convergente, también lo será b_n

Ejemplo

b_n = (n+3)(/ n³ + n² +n)

Miramos que el mayor exponente de n en el numerador es 1 y en el denominador es 3, hacemos la diferencia y comparamos con la serie p=2 , a_n = 1/n² y aplicamos el criterio de comparación por paso al límite.

Lim (1/n²)/( (n+3)(/ n³ + n² +n)) cuando n tienda a ∞

Lim (n³ + n² + n)/((n²(n+3) cuando n tiende a ∞ = 1, por tanto, como a_n es convergente, b_n también lo será.

Ejemplo

Establecer si la serie ∑ne^-n , es convergente o divergente

He querido poner este ejemplo, ya que es difícil encontrar una serie de comparación apropiada y por tanto, el criterio de la integral es el procedimiento mas adecuado.

Integral impropia desde x= 1 hasta ∞ de ∫x e ^–x dx

La integral se resuelve por partes:

u= x.............. dv = e ^{– x} dx

du = dx ...........v = -e ^-x

∫x e ^–x dx = -x e^-x +∫e ^–x dx

= -x e^-x –e ^–x

Resolvemos la integral definida entre 1 y h y luego hacemos el límite cuando h tienda a infinito.

El resultado es: 2/e

Por tanto, como la integral es convergente, la serie también lo será.

La nota 3 será sobre series alternantes y series generales. Las notas 4 y 5 sobre series de potencias.

Juan Fernando Sanin