Blog solución de ecuaciones de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, para ecuaciones diferenciales exactas, convertibles a exactas y homogéneas

 Medellín, diciembre de 2025

1.    1.Ecuaciones diferenciales exactas

 

Sea la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, tal que My = Nx

La solución a esta ecuación diferencial exacta es f (x, y) = C

Si la solución a la ecuación diferencial es f (x, y) = C, el diferencial exacto de f (x, y) es:

Veamos cómo funciona esto en la práctica.

 

Ejemplo 1

(2x - 1) dx + (3y + 7) dy = 0

M = 2x – 1

N = 3y + 7

My = 0

Nx = 0     Como My = Nx la ecuación diferencial es exacta y tiene solución

f (x, y) = C

utilizamos M = fx          para encontrar una f apropiada, hacemos lo siguiente:

f (x, y) = ∫Mdx = ∫ (2x – 1) dx = x² –x +g(y)

Derivemos la función f parcialmente respecto a y, e igualemos a N(x,y)

fy = g’(y) = N(x, y) = 3y +7                 dg(y) = (3y + 7) dy

g(y) = (3/2) y² + 7y

f (x, y) = C      es        x² – x + (3/2) y² + 7 = C

 

Solución final

x² – x + (3/2) y² = C                  ya que C – 7 es una constante

Ejemplo 2

(x + y)² dx + (2xy + x² -1) dy = 0         y     y(1) = 1

M = (x + y)²

N = (2xy + x² – 1)

My = 2(x + y) *1 = 2(x + y)

Nx = 2y + 2x = 2(x + y)                                  My = Nx          Es exacta.

f (x, y) = C                  fy = N = (2xy + x2 – 1)         f (x, y) = ∫ (2xy + x² – 1) dy

f (x, y) = 2xy²/2 + x² y – y + g(x) = xy²/ + x² y – y + g(x)

fx = y² + 2xy + g’(x) = M = (x + y)² = x² +2xy + y²

fx = y² + 2xy + g’(x) = = x² +2xy + y²

g’(x) = x²

dg =x² dx       Integrando obtenemos                                         g(x) = x³/3

La solución es:

xy² + x² y – y + x³/x = C

Haciendo y (1) = 1

y = 1

x + x² – 1 + x³/3 = C                                    x + x² + x³/3 = C                                   

 

1.    2.Ecuaciones transformables a exactas

Muchas ED que no son exactas, pueden transformarse en exactas, utilizando un factor integrante FI

Supongamos que ese factor es u (x, y) y convierte la ecuación inexacta en una exacta.

Hemos utilizado y seguiremos utilizando la siguiente notación.

Teniendo en cuenta la notación anterior, la ecuación diferencial

Mdx + Ndy = 0                                               (1)

inexacta, se convierte en exacta si se hace lo siguiente:

u (x, y) M (x, y) dx + u (x, y) N (x, y) dy = 0            (2)   

(2) es exacta. Simplificando la notación, lo que tenemos es:

uMdx + uNdx = 0   y, por tanto

uM = M1           uN = N1                                (3)

Tomando las derivadas parciales con respecto a y, y a x, respectivamente de M1 y N1:

d(uM)/dy          y       d(uN)/dx

uMy + u_yM = uNx + u_xN             u (My – Nx) = u_xN - u_yM           (4)

Que implica que:

u (My – Nx) = u_xN - u_yM                                                            (5)

Normalmente es muy difícil encontrar esa función u (x, y) para halla el FI, pero los matemáticos han determinado que, si eventualmente u (x, y) es función de una sola variable u(x) o u(y), la cuestión, aunque se des universaliza, es de gran utilidad y permite ser encontrado fácilmente.

Supongamos que u = u(x)                                                       (6)

La ecuación (5) se convierte en

u (My – Nx) = u_xN               ya que u_y = 0      además u_x = du/dx

du/u = [(My – Nx) /N]dx e integrando a ambos lados obtenemos

ln(u) = ∫ [(My – Nx) /N]dx

u(x) = FI = e^{∫(My – Nx) /N]dx}

Lo cual implica que (My – Nx) /N es sólo función de x           (7)

Si hubiéramos partido de u (x, y) = u(y) y siguiéramos el mismo procedimiento, obtendríamos lo siguiente

u(y) = FI = e^{∫ (Nx - My) /M]dy}

Lo cual implica que (Nx – My) /M es sólo función de y         (8)

Ejemplo

(2x³ + y) dx – xdy = 0

M = 2x³ +y

My = 1

N = -x

Nx = -1

La ecuación no es exacta

Simplifiquemos las expresiones:

(My – Nx) /N = (1 –(-1)) /(-x) = -2/x

(Nx – My) /M = 2/ (2x3 + y)         tiene x e y, y no se puede utilizar como FI; utilizaremos

(My – Nx) / N= -2/x para obtener u

u = e ^∫(-2/x)dx = e ^-2lnx = x ^-2 = 1/x²

M1 = (1/x²) (2x3 + y) = 2x + y/x²

N1 = (-x) /x² = -1/x

Voy a encontrar f (x, y) partiendo de N1 (Trato de comenzar la solución con la integral más directa y sencilla.

f (x, y) = ∫(-1/x) dy = -y/x + g(x)    porque integré respecto a y 

fx = y/x² + g’(x) y la igualamos a M1 = 2x + y/x²    

y/x² + g’(x) = 2x + y/x²     g’(x) = 2x         dg = 2xdx       e integrando obtenemos

g(x) = x²

f (x, y) = -y/x + x² = C 

-y +x³ = Cx                                    y la solución es         y = x3 +Cx     

 

Ejercicio 2 de ecuaciones de la forma Mdx + Ndy= 0, que no son exactas.

(recordar M = M (x, y)         N = N (x, y)

y²cos(x)+(4+5ysen(x)) dy = 0

M = y²cos(x)

My = 2ycos(x)

N = 4 + 5ysen(x)

Nx = 5ycos(x)

My diferente a Nx, luego no es exacta, pero podría ser transformable en exacta.

(My – Nx) /N =(2ycos(x) – 5ycos(x)/ (4 + 5ysen(x)) = - 3ycos(x)/ (4 + 5ysen(x) no es función de 

una sola variable y por tanto no sirve para este problema.

(Nx – My) / M = 3ycos(x)/(y²cos(x)) = 3/y     función sólo de y, y sirve para transformar la 

ecuación diferencial no exacta, en exacta

FI = e ^∫(3/y)dy= e ^3lny= y³

M1 = y⁵cos(x)

N1 = (4+ 5ysen(x)) y³ = 4y³ + 5y⁴sen(x)

 Obtenemos f (x, y) = C a partir deM1

f (x, y) = C= ∫ y⁵cos(x)dx = y⁵sen(x) + g(y)    La constante es una función de y

fy = N1

5y⁴sen(x) + g’(y) = 4y³ + 5y⁴sen(x)

g’(y) = 4y³               dg = 4y³dy          integrando        g(y) = y⁴

f (x, y) = C = y⁵sen(x) + y⁴   

La solución de la ecuación será:           y⁵sen(x) + y⁴ = C

Ejercicios propuestos:

Resolver

x(dx/dy) = 2xe^x – y + 6x²

(4xy³ + 3y²) dx + (6x²y² + 6xy) dy

(x² - y²) dx + (x² – 2xy) dy

6xydx + (4y + 9x²)dy

(x + y +2) dx + dy

(5x² - xy + x³sen(x)) dx + (x² + x³y) dy

3.    Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx +N (x, y) dy= 0   (1)

(o simplemente Mdx + Ndy = 0 )

Es homogénea si y solo si:

M (tx, ty) = tⁿ M (x, y)

Y

N (tx, ty) = tⁿ N (x, y)

Para cualquier n real.

La solución, normalmente, se logra haciendo el cambio de variable

y = u (x, y) x        o simplemente y = ux y la ecuación diferencial original se resuelve por separación de variables.

Si los integrales resultantes, del cambio de variable anterior, son muy laboriosos o difíciles, 

se intenta el cambio

x = u (x, y) y

 

Ejemplo

x(dy/dx) = (y + xe ^(y/x))

Solución

Le damos la forma a ecuación diferencial

(y + xe ^(y/x)) dx – xdy = 0

M (x, y) = (y + xe ^(y/x))

M (xt, yt) = (yt + xte ^(y/x) = t (y + xe ^(y/x) = tM (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = tN (x, y)

Se cumple la definición con n= 1

Cambiemos x por xt          y      y por yt

(yt + xte ^(yt/xt)) dx – xtdy = 0

t ((y + xe ^(yt/xt)) dx – xdy) = 0

Eliminamos t y nos queda la ecuación diferencial original y hacemos el cambio

y = ux;                    dy = udx + xdu

y = ux                     u = y/x

(ux + xe ^u)) dx – x (udx + xdu) = 0

Podemos cancelar la x

(u + e ^u) dx – (udx + xdu) = 0

e^udx = xdu                                                   du/e^u = dx/x

∫e^-u du = ∫dx/x                -e ^-u = ln(x) + C

La solución será:

-e -^y/x = ln(x) + C

Ejemplo 2

(2√(xy) - y) dx -xdy = 0

Solución

M (x, y) = (2√(xy) - y)

M (xt, yt) = (2t√(xy) - yt) = = t(2√(xy) – y) = t M (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = t(-x) = t N (x, y)

Por tanto se trata de una ecuación diferencial homogénea, para n = 1

y = ux

(2√(xux) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

(2x√(u) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

Podemos eliminar x

(2√(u) – u) dx –(xdu + udx) = 0         podemos agrupar por dx y du    

(2√(u) – u - u) dx – xdu = 0                     du/ (2√(u) – 2u) = dx/x

(1/2) du/(√(u) – u) = dx/x

Resolviendo las integrales a cada lado. (Se propone como ejercicio)

-ln (√u -1) = ln(x) + lnC

ln ((√u -1) + lnCx = 0

ln ((√u -1)Cx) = 0

(√u - 1) Cx = 1

(√(y/x) -1)Cx = 1

√(y/x) = 1/Cx +1            elevando al cuadrado

y/x = 1/C²x² +2/(Cx) +1

y = x +x/(C²x²) + 2/C              C = 1/C₁

 

                                        y = x + 2C₁ + C₁²/x

 

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas

(x – y) dx + xdy = 0

dy/dx = y/x + x/y

(y² + xy) dx + x²dy = 0

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Problema de Basilea e integral de Gauss

 Jardín,diciembre2025

1.    Problema de Basilea

 

No siempre se ha sabido cuando vale la suma infinita:

∑1/n²           n en el intervalo [0, ∞)

Durante muchos años los matemáticos trabajaron en este problema. Primero se logró demostrar que era una serie convergente, luego fueron encontrando valores aproximados y cotas superiores, pero el primero en encontrar el valor exacto fue Gauss, a finales del siglo XVIII

El método que vamos a mostrar fue el primero, de los muchos que Gauss, logró.

Sea lal serie de Maclaurin para sen(x):

sen(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +……………………………….hasta infinito     (1)

Ya en la época de Gauss se sabía que la serie anterior representaba a sen(x) y que era convergente.

(De hecho, todas las tablas de las funciones trigonométricas, se sacaron de las series que representaban a sen(x), cos(x) y tan(x)     con x en radianes-

La serie (1) es igual a 0 para x en los siguientes valores: {0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π,     ±nπ, ….(2)

 

Recorderis:

Sea la ecuación de segundo grado          x² – x -6 = 0

La resolvemos con la ecuación general de segundo grado:

x = (-(-1) ± √ ((-1)² – 4*1*(-6))/(2*1)= (1 ± √(1 +24))/2 = (1 ± 5)/2         x1= 3    x2 = -2

La ecuación de segundo grado presentada, se puede factorizar:     (x –(-2)) (x – 3)

(x + 2) (x – 3)

Por lo anterior y teniendo en cuenta (2)     sen(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…… se puede factorizar así:

Cx (x - π) (x + π) (x - 2π) (x + 2π) (x - 3π) (x + 3π) (x - 4π) (x + 4π) (x - 5π) (x + 5π)**……….

Cx (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*………………

x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +………. =Cx (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²) *

Podemos cancelar x

1 – x²/3! + x⁴/5! – x⁶/7! +………. =C (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²) *…(3)

Para x = 0

1 = C (– π²) (– 4π²) (– 9π²) (– 16π²) (– 25π²)*……                                     (4)

Dividamos la (3) por 1. De acuerdo con la igualdad (4)

[C (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*…]/ [C(– π²) (– 4π²) (– 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*……]

Cancelamos C y dividimos ordenadamente por (– π²) (– 4π²) (– 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*……

Obtenemos

(1 – x²/ π²) (1 – x²/ (4π²)) (1 – x²/ (9π²)) (1 – x²/ (16π²)) (1 – x²/ (25π²)) ********

La expresión anterior es sen(x)/x = 1 – x²/3! + x⁴/5! – x⁶/7! +……

= (1 – x²/ π²) (1 – x²/ (4π²)) (1 – x²/ (9π²)) (1 – x²/ (16π²)) (1 – x²/ (25π²)) ********        (5)

La igualdad (5) nos presenta el mismo polinomio, expresado de manera diferente:

En la (5), igualemos los coeficientes de x²

–1/3! = - (1/ π²) - (1/ (4π²)) - (1/ (9π²⁾) - (1/ (16π²⁾) - (1/ (25π²⁾) - (1/ (36π²⁾) -……….

-1/3! = ⁽1/ π²⁾ ( -1 – ¼ - 1/9 – 1/16 – 1/25 – 1/36-……………..

π²/6 = 1 + 1/2² +1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² ………

Con lo cual queda demostrado que:

∑1/n²                    n en el intervalo [0, ∞) = π²/6

Esta demostración no es muy rigurosa, inclusive hay partes contradictorias:

C debería ser 1 y no lo es

En la (4) se ve que C debe ser algo que tiende a 0, para que 0x∞ tenga límite real y no se demuestra.

Euler encontró otras soluciones, también con deficiencia en el rigor. Matemáticos de los siglos XIX y XX ya si resolvieron el problema con un rigor acorde al siglo XX.

Otra solución de Euler fue la siguiente:

sen(πx) = πx – (πx) ³/3! +(πx) ⁵/5! - (πx) ⁷/7! + (πx)⁹/9! ……..     (1)

Vemos que las soluciones x, de este polinomio son las x que pertenecen al conjunto:

{0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,…..}                                                              (2)

La (1) se puede factorizar así:

sen(πx) = πx (x +1) (x - 1) (x/2 + 1) (x/2 - 1) (x/3 + 1) (x/3 - 3) (x /4+ 4) (x/4 +1) **********

sen(πx) = πx (1 - x²) (1 - x²/4) (1 - x²/9) (1 - x²/16) (1 - x²/25) (1 - x²/36) ******        (3)

Vemos que, para todas las x del conjunto, que hemos llamado (2), el lado derecho es igual a 0.

Si los polinomios (1) y (3) son iguales, los coeficientes de las diferentes potencias de x, también lo serán:

Coeficiente de x³

De la (1)                – (π) ³/3!                                                                                     (4)

De la (3)      Tomemos el primer factor y lo multiplicamos por el resto de los factores uno a uno:

π [-1 – 1/4 -1/9 – 1/16 – 1/25 ......]                                             (5)

Igualando los coeficientes de x3 obtenemos:

(π) ³/3! = π [1 + 1/4 +1/9 + 1/16 + 1/25+...... ]

Simplificando:

π ²/6 = 1 + 1/4 +1/9 + 1/16 + 1/25                                

Con lo cual queda demostrado.

2.Integral de Gauss

 

Fig. 1, dA en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares

Antes de iniciar el proceso de integración, observemos lo: siguiente: En el lado izquierdo de la figura 1 tengo una superficie z = f(x, y), cuya proyección en el plano xy se muestra. A la derecha, tenemos la misma superficie, en el triedro xyz, pero la tenemos escrita en coordenadas cilíndricas, lo cual se consigue cambiando x e y por x = Rcosθ            y = Rsenθ

El volumen debajo de la superficie, hasta el plano xy, se obtiene integrando las expresiones

dv = zdA = zdxdy    en los límites apropiados x e y

dv = zRdθdR             en los límites apropiados

Figura 2 de z = e ^{–(x2 + y2})   Campana de Gauss en 3D

La ecuación (4) en coordenadas polares (Cilíndricas), queda así:

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com