El número e y el logaritmo natural

Medellín, noviembre 2023

Blog funciones: ln(x), e^x  -  y determinación del número e

 

 Generalidades

Consideremos la función y = 1/t, y su gráfica, para valores de t>0 

Fig 1 definición de la función ln(x) 

 

Si encontramos el área debajo de la curva y = 1/t, entre t=1 y un valor arbitrario de t, t=x, x>0, esa área es creciente, en la medida que, cuando vamos aumentando el valor de x ,hasta el valor que queramos, el área continuará creciendo. Por lo tanto, podemos afirmar que la función definida como:

Es creciente en todo su dominio t>0

Esta función tiene unas propiedades interesantes:

Es creciente en todo su dominio t>0

1.)  ln(xy) = ln(x)+ln(y)

Esta propiedad es común con la función logaritmo, cualquiera sea su base. Se extiende también al ln (xyz) , a ln(x₁x₂x₃…….x_n)

 2.)  ln(xⁿ) = nln(x)            para n entero positivo

                           

ln(xⁿ)= n*ln(x)                        que, también es otra propiedad de los logaritmos, en cualquier base. Podemos extender esta propiedad para cualquier n que sea Real. (La demostración no es fácil)

 

3.)  ln(x/y)  ln(x) -ln(y)                                                               (5)

ln(x/y) = ln((x)(y^-1))= ln(x) + ln(y^-1) = ln(x) - ln(y)

 

Recordemos que, cualquiera sea la base de los logaritmos log_aa = 1

 

Aquí hemos definido un valor e, tal que, ln(e)= 1, nos autoriza a afirmar que log_e(e)= ln(e) =1

 

Y la función que estamos estudiando ln(x) es igual a log_e(x) y la llamaremos logaritmo natural o Neperiano de x y la escribiremos ln(x)

y = ln(x) implica que:                          e^y=x      o       e ^ln(x) = x

Fig 2 ln(x) = log_e(x)

Derivada de ln(x)

Sea y = ln(x)
equivalente a:
e^y = x
Diferenciando implícitamente a ambos lados obtenemos:
e^yy’ = 1    de donde:        y’ = 1/e^y = 1/x
ln’(x) = 1/x                                                                                                    (6)
B.   El número e
Por integración aproximada podemos encontrar ln2,5 y ln3
ln(2) =0,69
ln(3) =1,09
El número e es un número real entre 2 y 3, ya que la función ln(x) es monótonamente creciente.  
Pero ese no es e.           e es un irracional de infinitas cifras, similar a p

Euler resolvió el problema, por medio de este límite:

 Si hacemos x= 10 y calculamos (1+1/10)¹⁰ encontramos un valor aproximado de e

 Si hacemos x= 100 y calculamos (1+1/100)¹⁰⁰ encontramos un valor mejor que el anterior.

 Con la paciencia del caso, esta fue una de las formas de calcular e

 Con 10 cifras exactas, el valor de e es igual a e = 2,7182818284

 Con la serie de Taylor para e^x, también podemos calcular el valor de e. 

Esta suma la podemos calcular con 10, 11, 100 sumandos y más. Y Ahora con las computadoras podemos usar 1000 sumandos o más.

 

Función exponencial natural y = e^x

El dominio es (-∞, ∞)

El rango es (0, ∞)

La derivada es y’ = e^x >0; para todo x real, por lo que la función es monótonamente creciente en todo su dominio.

Veamos este ejemplo:

ln3,5 = 1,2527629684953679956881206

e ^{1,2527629684953679956881206} = 3,5

Claramente vemos que e ^ln(x) = x y que, las funciones lnx y ex , son mutuamente inversa. Sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x

Equivalencia de un logaritmo en una base e, ln(x) a un logaritmo en una base cualquiera a

Sea                                y= log_ax                                        y₁ = log_b x

Por tanto,                        x = a ^y                                          x = b ^y1

Se concluye que,  a ^y = b ^y1

Tomando logaritmo en base a de la igualdad anterior:

ylog_aa = y₁log_ab                            como log_aa = 1               y = y₁log_ab

Reemplazando                                    log_ax = log_bx*log_ab       y

log_bx = log_ax/log_ab                                                                                                      (9)

si b =10            base de los logaritmos vulgares             a = e base logaritmos naturales

log10x = log(x) = loge(x)/loge(10)

 

log(x) = ln(x)/ln10                                                                     (10)

¿Cómo calculamos el lnx?

Hay varias series infinitas de Taylor y Maclaurin que, nos permiten calcular el ln(a) para cualquier valor de a real.

Ln[(1+x)/(1-x)] = 2[x + x³/5+ x⁵/5+………………….+x ^2n-1/(2n-1) +….]     -1<x<1    (11)

Ejemplo

ln12,3          12,3 =(1+x)/(1-x)

12,3-12,3x =1+x                                                 x=11,3/13,3 =0,849624

Vemos que este valor está en el intervalo de convergencia, (-1, 1), por tanto, aplicamos la fórmula (11) con x = 0,849624 y utilizamos la serie (11), con suficientes términos  para garantizar una precisión determinada y eso lo enseña el conocimiento de las series deTaylor y Maclaurin y el teorema del residuo.

 

Ejercicios:

1.    Hallar la función inversa de y = ln(x-4)

Vemos que el dominio de la función es el intervalo (4, ∞) y el rango (-∞, ∞)

Despejamos x     e^y = x-4         x=e^y+4                       ahora intercambiamos x e y

 La función inversa será y = e^x+4          Cuyo dominio son todos los Reales y cuyo rango es:

 (0, ∞)

1.    

Ejercicio 2

Simplificar ln25+ln40-3ln10

=2ln5+ln5+ ln8 - 3ln2-3ln5

=0 +3ln2-3ln2 = 0

El valor absoluto de x, nos asegura la existencia de la integral para todos los reales.

Aplicaciones de la función exponencial natural

La función exponencial neperiana y =e^x, tiene aplicaciones en la estadística y en la ciencia.

Sea y  una variable que crece o decrece con el tiempo. Además, la tasa de variación de la variable y es proporcional al valor de la función y en el tiempo t.

y crece con el tiempo y además, dy/dt = ky

dy/y = kt

Integrando, obtenemos la fórmula y = Ce^kt        t= 0 y = y_o y por tanto C = y_o

y = y_oe^kt                                                                                                            (12)

Conocido yo, debemos obtener el valor de k, el cual se consigue con otro dato conocido de la variable y.

 Ejercicio

 El 30% de una sustancia radioactiva, se desintegra en 15 años, después de que la sustancia se saque del laboratorio. Determinar la semivida de la sustancia.

y = porcentaje de la sustancia que no se ha descompuesto en el tiempo t (años)

y=y_o e^kt                                    k es la constante de decrecimiento.

En el tiempo t= 0 años, y es igual a 100%, mejor digamos que es igual a 100

En el tiempo t= 15 años, y es igual a 70%, mejor dicho y = 70

La vida media, es el tiempo en el cual la sustancia se ha reducido a la mitad. y= 50% , y=50

70=100e^15k

15k = ln0,7                       k = -0,023778

Ahora

50 = 100e^{(-0,023778*t)}     y el t de esta ecuación es la vida media del elemento.

-0,023778t =ln(1/2) = -0,693147                    t = 29,15 años

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com