Medellín , febrero de 2022
Vectores propios o Eigenvectores de una matriz - Eigen
Valores o valores característicos de una matriz
Los vectores propios o eigen
vectores o auto vectores son los vectores no nulos de una
aplicación lineal que, cuando son transformados por ella, dan lugar a un
múltiplo escalar de ellos (no cambian de dirección). Este escalar es el valor propio o auto valor o
eigenvalor.
Anxnvnx1 = λvnx1
Donde A es la matriz de la aplicación lineal, v es el vector propio y “λ”el valor propio o eigenvaor.
Calcular
los valores propios (o autovalores) y los vectores propios (o autovectores) de
una matriz
Para
hallar los valores propios y los vectores propios de una matriz se debe seguir
todo un procedimiento:
1.Se
calcula la ecuación característica de la matriz resolviendo el siguiente
determinante:
Det(A-λI)
2.Se hallan las raíces del polinomio característico obtenido en el paso 1. Estas raíces son los valores propios de la matriz.
Det(A-λI)=0 nos da los valores de λ1, λ2, λ3, λn
3.Se calcula el vector propio de cada valor propio. Para ello, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para cada autovalor:
(A-λI)v = 0
Este es el método para encontrar los autovalores y los autovectores de una matriz, Auto vectores, vectores propios, vectores característicos o eigenvalues son sinónimos, al igual que auto valores, valores característicos, valores propios o eigenvalues.
Ejemplos 1
Sea la matriz
Se plantean tres
ecuaciones
-x+2y+3z=0
-2y+2y=0
z –z =0
En este sistema
podemos darle valores arbitrarios a y. También a z y=z=1, de la primera x=5
Un vector característico
será (5, 1, 1)T
Con λ2=1
(A-λI)v = 0
Y el sistema de
ecuaciones para hallar v2 será
2x+2y+3z=0
y+2z=0
y+2z=0
Si hacemos z=1, y
=-2 x será 2x=-2y-3z = -2(-2)-3(1)
= 1 y x= ½
El vector será: (1/2, -2, 1) u otro colineal sin fraccionarios (1, -4, 2)T
No es difícil ver que los vectores v1, v2 y v3 no son dependientes
Matrices semejantes o similares.
Definición:
Anxn es similar o semejante a B nxn, si existe una matriz P tal que B = PAP^-1
P es una matriz de paso, que sólamente es importante saber cómo se encuentra, cuando la matriz B es la
matriz diagonal, cuyos elementos son los eigen valores.
Teorema:
Si dos matrices A y B nxn son semejantes,
los valores característicos de ambas matrices son iguales.
Demostración:
Consideremos una matriz Pnxn desconocida pero que cumple con lo
siguiente:
A=P-1BP
PolA(λ) polinomio de λ de A, que nos permite hallar los valores de λ de la matriz
A, ese
polinomio es = Det (A - λI);
PolB(λ) Polinomio de λ de B,
que nos permite hallar los valores de λ de la matriz B,
Ese polinomio es igual a Det (B - λI)
Veamos que ambos polinomios son iguales: PolA(λ)
Consideremos la matriz P desconocida que mencionamos al principio
PolA(λ) = Det[P-1BP -λI] recordar que P-1BP=A
PolA(λ) = Det[P-1BP - P-1λIP] P-1λIP = λP-1IP
Por la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices:
=Det[P-1[BP -λIP]] =DetP-1[B-λI]P
El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|
DetP-1 Det[B-λI] DetP
Recordemos que el producto del determinante de una matriz por el determinante de su inversa es igual a 1.
Cuando una matriz tiene inversa, su
determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una
matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa. ... El determinante de la
inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.
Lo anterior implica que
DetP-1 Det[B-[B-λI]]DetP = Det [B-λI]
Con lo cual queda demostrado.
Ejemplo
Matriz diagonal Dnxn de Anxn
Matriz diagonal D de A, es una matriz cuyos elementos de diagonal son los valores λ1, λ2, λ3,…… λn, eigenvalores de la matriz A.
La matriz D de A es semejante a la matriz A y la matriz de paso P es una matriz nxn cuyas columnas son los eigenvectores de A
Demostremos esto: (En abstracto y suponemos que la matriz de paso P existe y tiene inversa.)
Hemos demostrado que AP = PD
Veamos la definición de semejanza
P-1AP=D Si multiplicamos por P ambos lados, encontramos una expresión equivalente para definir la semejanza de matrices.
AP=PD Esto fue exactamente lo que
demostramos. 
Por tanto A y D son semejantes y la matriz de paso P es una matriz nxn, cuyas columnas son los eigen vectores 1, 2, ,n correspondientes a los eigenvalores λ1, λ2, λn
Esta propiedad es muy importante para el próximo blog.
Como se ve si conocemos una matriz A y conocemos la matriz de sus eigen
vectores, podemos encontrar la matriz diagonal D cuyos elementos de diagonal son sus eigen valores. Lo que
realmente nos comprueba que las matrices A
y D con los eigen valores de A, son
semejantes.
Realmente, si necesitáramos la matriz Diagonal D de la matriz A, es más fácil hallar los eigen values y construir la matriz diagonal correspondiente, con esos valores.
Juan Fernando Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com
