Medellín, Noviembre 2011
SERIES INFINITAS
Nota 3
SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES QUE CONTIENEN TÉRMINOS NEGATIVOS
Se subdividen en dos:
1. Series alternantes ∑ (-1)n an , ( n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…
Donde an > 0
2. Series ∑an, donde an es un número real
Series alternantes
∑ (-1)n an, ( n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0
Ej ∑ (-1)n+1 1/n,( n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +… Llamada la serie armónica alternante, que contrario a la serie armónica que es divergente, veremos más adelante que se trata de una serie convergente.
Criterio de convergencia de las series alternantes
La serie alternante
∑(-1)n an,( n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0
Al igual que todas las series infinitas, su convergencia está condicionada a que
Lim an cuando n →∞ = 0, lo cual le da la posibilidad de ser convergente, pero no garantiza su convergencia. Esta condición es necesaria pero no suficiente.
Teorema
Si una serie alternante es tal que Lim an cuando n →∞ = 0 y además a n+1 < an, para todo n, entonces la serie es convergente
Reescribamos la serie alternante:
∑(-1)n an,( n = 0 hasta n = ∞) = a0 – a1 +a2 – a3 +…………, donde an > 0
De la siguiente manera:
∑ (-1)n an = a0 – a1 +a2 – a3 + a4 – a5 + a6 – a7 + a8 – a9 +……..
∑ (-1)n an = (a0 – a1) + (a2 – a3) +( a4 – a5) + (a6 – a7) + (a8 – a9) +…hasta infinito
Si esta suma existe, sería positiva, ya que todos los sumandos entre paréntesis lo son (a n+1 < an)
También la podríamos reescribir así:
∑ (-1)n an = a0 – (a1 -a2) – (a3 - a4) –( a5 - a6) – (a7 - a8) – (a9 -……..
Que además de ser positiva, es tal que a0 es una cota positiva. Por tanto como la serie es acotada, es convergente.
∑ (-1)n+1 1/n, (n = 1 hasta n = ∞) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 –1/a6 + 1/7 – 1/8 +…
Evidentemente es convergente, ya que lim 1/n, cuando n→∞ = 0 y para todo n
1/n > 1/(n+1), lo cual es suficiente y necesario para confirmar la convergencia de la serie.
Definición
Para las series de términos positivos y negativos se establece una clasificación. Estas series pueden ser absoluta o condicionalmente convergentes.
Una serie es absolutamente convergente cuando las series ∑an y ∑|an|, las dos son convergentes.
Ejemplo
∑ (-1)n+1 1/n2 es absolutamente convergente ya que:
Lim 1/n2, cuando n →∞ = 0 y además 1/n2 > 1(n+1)2 y por tanto la serie es convergente.
La serie de los valores absolutos es la serie ∑1/n2 y es una serie p con p > 1 y también es convergente. Por tanto ∑an y ∑|an|, son ambas convergentes y por consiguiente ∑an es absolutamente convergente.
Una serie ∑an es condicionalmente convergente, cuando ∑an es convergente, pero ∑|an| es divergente.
Ejemplo
La serie armónica alternada es condicionalmente convergente, ya que
Hemos demostrado que ∑ (-1)n+1 1/ n es una serie convergente
No obstante sabemos que
∑ 1/n que es la serie de los valores absolutos de la serie armónica alternante, es divergente.
Las series mas generales son ∑an, donde an es un número real,que puede ser positivo o negativo, sin importar el orden.
Ejemplo
∑ sen n es una serie general ya que si n representa radianes:
sen 1 + sen 2 + sen 3 + sen 4 + sen 5 + sen 6 +………….
0.8414 + 0.9093 + 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 + 0.6569 +…..
Es imposible saber cuál es el signo de sen n
La serie de términos positivos asociada será:
∑ |sen n|, la cual si es positiva.
Las dos series anteriores son divergentes, porque lim sen n , cuando n →∞ no es 0.
Los criterios siguientes son válidos para todas las series.
Criterio de la razón
i Si lim |an+1/an|, cuando n→∞ = L < 1, la serie ∑ an es absolutamente convergente.
ii Si lim |a n+1/an|, cuando n→∞ = L > 1 o lim |a n+1/an|, cuando n→∞ = + ∞ (un número positivo tan grande como queramos, no un indeterminado), entonces la serie ∑ an es divergente.
iii Si lim |a n+1/an|, cuando n→∞ = L = 1, el Criterio no sirve para determinar la convergencia o divergencia de la serie.
Criterio de la raíz
i Si lim √|an|, cuando n→∞ = L < 1, la serie ∑ an es absolutamente convergente.
ii Si lim √|an|,, cuando n→∞ = L > 1, o lim √|an|, cuando n→∞ = + ∞ (un número positivo tan grande como queramos, no un indeterminado), entonces la serie ∑ an es divergente.
iii Si lim √|an|,, cuando n→∞ = L = 1 , el Criterio no sirve para determinar la convergencia o divergencia de la serie.
Ejemplo
Determinar la convergencia o divergencia de la serie:
∑ (-1)n n/2n
Ante la dificultad de encontrar una serie conocida para compararla, recurrimos al criterio de la razón.
|(n+1)/2(n+1) / n/2n| = |(n+1)/n / 2|
Llevando esta expresión al límite cuando n →∞, vemos que el lim de |(n+1) / n |
es 1 y por tanto el límite completo es ½,
Por consiguiente la serie es absolutamente convergente, lo cual implica que la serie en si es convergente, como también la serie ∑ n/2n
Investigar si la serie ∑ 3n/ nn
Cuando hay posibilidad de sacar raíz n en el término general, el criterio de la raíz podría ser el mas adecuado, como es en este caso.
√n 3n/ nn = 3/n
Y lim 3/n cuando n →∞ = 0 < 1 y por tanto la serie es absolutamente convergente y por consiguiente convergente.
Que hacer cuando tengamos una serie de términos constantes desconocida, antes de aplicar criterios como comparación o el de las series alternantes, según el caso?
Recomendaciones:
- Encontrar el lim an cuando n → ∞. Si este límite es diferente de 0 o no existe, podemos concluir de una que la serie investigada es divergente.
- En caso de que el límite anterior haya dado 0, eso no garantiza la convergencia de la serie. En ese caso buscamos la serie asociada de los valores absolutos │an│ y le aplicamos bien sea el criterio de la razón o el de la raíz.
- Si el resultado al aplicar uno de los criterios anteriores es un 0
- Si el resultado hubiese sido 1, entonces comienzan nuestros problemas. Si la serie es de términos positivos, se aplican los criterios de comparación o de la integral. Si es alternante, el criterio general de las series alternantes y si es una serie general, nos ayudamos con los conceptos de convergencia absoluta y convergencia condicional.
Juan Fernando Sanin
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