CURVAS EN CARRETERAS UTILIZANDO ESPIRALES

Agosto 23 de 2012

CURVAS DE CARRETERAS: ESPIRAL – CIRCULAR - ESPIRAL

(Aplicación de la espiral de Euler)

Los ferrocarriles existieron mucho antes que los automóviles y por tanto, los rieles fueron primero que las carreteras modernas. (Antes existían caminos empedrados para diligencias y coches, que también requerían algo de ingeniería).

Las curvas circulares en los ferrocarriles, muy probablemente fueron las primeras que se ensayaron. Pronto, se dieron cuenta los ingenieros, de que las curvas circulares, no sólo hacían vibrar mucho el ferrocarril, sino que era la causa de muchos descarrilamientos. Desde esa época, existen las curvas espirales de transición para dar un peralte en forma progresiva y suave.

La curva de transición usada más frecuentemente para dar la transición en el peralte es la clotoide de Euler, cuya fórmula es:

A² = RL

Donde A es una constante, R es el radio de curvatura de un punto cualquiera (x, y)

y L es la longitud de la curva, medida desde el origen de coordenadas (0, 0), en donde se supone que para L= 0  el radio es infinito.

La constante A se denomina parámetro de la espiral y permite hallar el radio de la curva en un punto cualquiera de esta con la expresión:

R = A²/L

Por ejemplo en una curva espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la longitud  final L = Le = 40, el valor de A² es 3600 se tienen los siguientes valores de R a lo largo de la curva:

Figura 1  Valores de L y R para A = 3600

En el caso de la clotoide, los centros de curvatura de los radios, no coinciden en un punto o una recta, sino que describen una curva, llamada la evoluta de la clotoide.

Figura 2, Evoluta de la clotoide.

Lugar geométrico de los centros de curvatura de la clotoide de Euler.

Para un valor L (medido desde 0, 0 ), el ángulo θ, que hacen el radio infinito Ro y el radio en el punto (x, y) viene dado por la fórmula:

θ =l²/2A²                (1)

(Lo demostraremos en el siguiente blog)

El ángulo θe, total de la espiral, será por consiguiente:

θe= le²/2A² =le²/2leRc = le/2Rc.....      θe = El ángulo de la espiral en radianes

Las coordenadas, medidas desde el inicio de la clotoide (0,0), eje x sobre la tangente que va al PI y eje y la dirección de Ro, perpendicular a la tangente, vienen dadas por las fórmulas:

x=l(1 – θ²/10 + θ⁴/216 – θ⁶/9360 +...)      (2) 

l es la longitud de la espiral hasta el punto P(x, y)

y=l(θ/3 – θ³/42 + θ⁵/1320 -…)                  (3)

La demostración la haremos en el siguiente blog

Las coordenadas del punto donde termina la espiral y comienza la curva circular (xc, yc), se obtienen:

xc=l(1 – θe²/10 + θe⁴/216 – θe⁶/9360 +...)   (4)

yc=l(θe/3 – θe³/42 + θe⁵/1320 -…)               (5)

Basta con los dos primeros sumandos para obtener una buena aproximación.

Utilizaremos la siguiente notación sobre los puntos principales:

De las curvas circulares rescatamos los conceptos de:

PI  punto donde se encuentran las tangente

∆ Deflexión, derecha o izquierda que hacen las rectas tangentes en el PI

PC punto donde comenzaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.

PT punto donde terminaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.

El PC y PT no aparecen en la curva espiral – circular – espiral, pero son referentes importantes y absolutamente necesarios para determinar:

TE  punto donde inicia la espiral de entrada

EC punto donde inicia la curva circular.

CT punto donde inicia la espiral de salida.

ET punto donde vuelve la carretera a estar en tangente.

El disloque p es la distancia en la dirección perpendicular a la tangente entre el PC teórico y  el PC' que se obtendría al prolongar la curva circular, que realmente se construirá. Es la distancia entre las dos circunferencias. En el próximo blog se explicará mejor.

p = yc –Rc(1 – cosθe)                (6)

De hecho, si p es muy pequeño, es posible que no tenga mucho sentido hacer la curva espiral y bastaría con conocer el valor de Le, y ubicar el punto de inicio de la transición del peralte, antes del PC, que se encontraría con el valor de k, medido desde el PC (teórico de la curva circular)

Para ubicar él TE, ubicamos el PC y nos vamos hacia atrás una distancia k, calculada con la expresión:

k= xc – Rc sen θe                   (7)

En el próximo blog veremos cómo se deducen las fórmulas (6) y (7)

De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales de transición. El valor límite del disloque fue inicialmente 0.30 m y luego  0.09 m, por debajo de estos valores se recomienda no usar transiciones; los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.

Cómo se trabaja en la práctica una curva espiral – circular – espiral?

Los datos son:

∆ Ángulo de deflexión de las tangentes.

Vd : velocidad de diseño

Hay que escoger una Le para la clotoide. Hay fórmulas y recomendaciones par le, de acuerdo con la velocidad de diseño.

Le> = Vd/1,8      Vd km/h y  le en m     AASHTO                    (8)

Otras fórmulas

Le>= V/1,8(V²/Rc – 127e)   Smirnoff                                         (9)

e= peralte máximo

Le>=V³/46,66CR     Shortt                                                         (10)

        

C factor de comodidad entre 0,3 y 0,9,  Preferiblemente C=0,6)                                                            

Le>= V³/28Rc         Barneett                                                         (11)

Es bueno escoger un valor redondo, múltiplo de 10 para le

Las abscisas de los puntos de la curva espiral circular espiral  se pueden obtener así:

TE = PC – k

EC = TE + Le

CE = CE + Lc ,…………………….Lc es la longitud de la curva circular.

ET = CE + k  

k  distancia desde TE hasta el PC, sobre la tangente principal que va al PI

Figura 3

Gráfica de una curva espiral – circular - espiral

Con el dato de la velocidad de diseño encontramos dos valores básicos: el Rc radio de la curva circular, que es el mismo que se utilizaría, en caso de no utilizar transiciones en espiral y con las fórmulas el de Le (longitud de la espiral), con las tablas que se indicarán mas adelante, o de acuerdo con el manual del INVÏAS.

Fig 4

Peralte máximo y radio Rc redondeado, para diferentes tipos de Vd y uso de la carretera.

De todas formas, utilícese o no la curva circular, es necesario encontrar el PC y el PT de ésta. Se calcula k y ubicamos él TE (punto donde inicia la curva clotoide).

Figura 5

Tabla para la longitud mínima de la espiral en función de la velocidad de diseño en km/h

Ejemplo de cálculo

Vd= 80km/h

Rc= 230 m

∆=63º 12’ 15” = 63,204167º

Le = 80/1,8 = 44m, con la fórmula de Barnet obtenemos 79m y conla tabla de la figura 5, obtenemos le= 45.

Si fuera un problema de medicina, deberíamos escoger 80m, pero teniendo en cuenta que las fórmulas no arrojan los mismos resultados, vamos a escoger Le= 50m.

A² = 50x230 = 11500

θe =50 2/(2x11500) = 0,108696 rad = 6,227802º

 ∆c= ∆-2θe = 50,7485730º = 0,885730 rad

PI = km 2+ 316,20

e max= peralte máximo = 8%

Lc , longitud de la curva circular interior = Rc θe, pero θe tiene que estar expresado en radianes. En este caso: 230mx0,885730 rad = 203,7179m

Hallamos xc y yc con las fórmulas

xc=Le(1 –θe²/10 + θe⁴/216)

yc=Le(θe/3 – θe³/42)

En estas fórmulas hay que utilizar el ángulo θe en radianes. Remplazando por

  θe = 0,108696 rad  y Le = 50m   obtenemos xc = 49,940959  y   yc = 1,810071

Calculamos k= xc – Rc sen θe = 49,940959 – 230sen 6,227802º  (Nos tenemos que asegurar que la calculadora este en el modo deg y no en el modo rad, porque si está en el modo rad la operación correcta sería   k = 49,940959 – 230sen 0,108696)

El resultado es k = 24,990078 

(Normalmente da un valor muy cercano a xc/2 y para efectos prácticos siempre será posible utilizar k = xc/2

p es el disloque, es decir lo que se desplaza la curva circular hacia atrás.

p = yc –Rc(1 – cos θe)

Remplazando apropiadamente (teniendo certeza si utilizamos grados o radianes en la calculadora) obtenemos:

p= 1,810071 – 230 (1 - cos 6,227802º ) = 0,4527m

Ahora ubiquemos los puntos TE, EC, CE y ET

La tangente de la curva circular sería 230 tan ∆/2 = 141,5085, por tanto el PC teórico,  estaría ubicado en: 2316,20 – 141,5084 = 2174,6916

Él TE estará ubicado en PC – k = 2174,6916 - 24,990078= 2149,70

El EC estará en la abscisa de la carretera 2149,70 + 50 = 2199,70

El CE estará en la abscisa EC + Lc = 2199,70 + 203,7179 = 2403.4194

El ET estará a CE + 50 =2453,42

Detalle del desarrollo del peralte, desde -2% en ambos carriles en el TE, hasta 8% en el carril izquierdo y – 8% en el derecho en el EC

El ancho de la vía es de 8m y cada carril mide 4m. Hacemos el ejercicio manteniendo fijo el eje de la vía. La curva es derecha, por tanto el borde izquierdo va subiendo y el derecho va bajando (figura).

Para replantear la clotoide, basta encontrar las coordenadas x e y, en las longitudes 10, 20, 30m 40 y 50m, con las fórmulas (2) y (3)

L(m)	θ(radianes)	x(m)	y(m)
10	0,004347826	9,9999811	0,01449273
20	0,017391304	19,9993951	0,11593952
20	0,017391304	19,9993951	0,11593952
40	0,069565217	39,9806471	0,92721561
50	0,108695652	49,9409586	1,81006538

Figura 6

Detalle del desarrollo del peralte en toda la curva. Abscisas en m y peraltes en % y cm.

Conclusiones

La obligatoriedad de utilizar curvas de transición para el desarrollo del peralte, es una moda. Se argumenta que se mejora la comodidad y la seguridad al utilizar las vías, especialmente por el aumento en la potencia en los camiones y en la velocidad en los automóviles. No obstante, si el disloque es pequeño, el esfuerzo adicional que hay que hacer, que vale dinero, podría ser inocuo, sobretodo, porque la precisión de la topografía de campo y replanteo, no siempre es la mejor y porque en muchos casos está influenciada por fenómenos climáticos. Esa es mi opinión pero mientras sea norma del INVIAS, hay que cumplir con este requisito y por consiguiente los ingenieros de vías, tanto los de diseño como los interventores deben conocer el tema y no dejarlo bajo la responsabilidad exclusiva de los topógrafos.

El Excel, es una herramienta magnífica, que facilita la realización de los cálculos. Por otra parte, el diseñador, sea ingeniero o topógrafo debe tener muy buen manejo de los conceptos de radian y grado.

Finalmente, mi blog está orientado a las matemáticas y lo expuesto arriba está mas en el que hacer de los ingenieros de vías. En el próximo blog haré las demostraciones del caso, que implican la utilización de series infinitas de potencias y un manejo familiar de los conceptos de derivación e integración.

Juan Fernando Sanin

juanfernando.sanin@gmail.com

SERIES DE POTENCIAS

Medellín, Enero 2012

SERIES DE POTENCIAS

Nota 4 sobre el tema Series Infinitas

Cuando iniciamos este ciclo de estudio de las series infinitas, dije atrevidamente, que su descubrimiento ha aportado tanto a la formación de la civilización, como el invento de la rueda o el descubrimiento de la palanca.

La infraestructura de la civilización ha sido construida sobre la base de las funciones trascendentes: trigonométricas, hiperbólicas, logarítmicas y exponenciales. La trigonometría nos brinda algunas opciones para calcular las funciones trigonométricas de algunos ángulos importantes, pero no de todos y son precisamente esos, los que se necesitan, sobre los cuales el álgebra, la geometría y la trigonometría no nos dan opciones.

Una serie de potencias es una expresión de la forma siguiente:

Σf(n) xⁿ de n= 0 a n = ∞

Miremos la serie de potencias

Σx ⁿ/n! de n = 0 a n = ∞

Supongamos que es convergente para algunos valores de x

f(x) = 1+x+x²/2!+x³/3!+………..+xⁿ/n!+…… ........................................................(1)

Derivemos ambos lados

f’(x) = 1+x+x²/2!+x³/3!+………..+xⁿ/n!+……

Como vemos, f(x) = f’(x) y sabemos que hay una función que cumple esta relación:

La función e^x

Por tanto, si la serie (1) representara a la función f(x) = e^x para algún intervalo real de x, pudiéramos pensar en calcular la función e^x con base en la serie (1).

Evidentemente, jamás podríamos obtener un valor exacto de e^x para algún x, pero si hacemos la suma parcial Sn, podríamos estar consiguiendo un valor aproximado de la función, un valor tan aproximado como queramos y sobre todo, útil para la ciencia física e ingeniería.

Notación:

Σf(n)xⁿ de n= 0 a n = ∞ lo escribiremos simplemente Σf(n)xⁿ

(Lo anterior por la dificultad que tiene el blogger para introducirle el editor de ecuaciones)

Ejemplo 1

Consideremos la serie siguiente e investiguemos para que valores reales de x, la serie es convergente.

Σxⁿ/(2+n²)

Aplicamos el criterio de la razón

|x ⁿ⁺¹/(2+(n+1)²)/xⁿ/(2+n²)| =|x(2/n² +1) /(3/n² +1 + 2/n)|

Llevando esta expresión al límite cuando n tienda a ∞ obtenemos que este límite es:

|x|

La serie será convergente cuando |x|<1 o sea en el intervalo (-1, 1), más aún, en este intervalo la serie es absolutamente convergente.

Que pasa cuando x= 1 y cuando x = -1?

Cuando x= 1 la serie se convierte en Σ1/(2+n²) que es una serie convergente.

Cuando x = -1 la serie se convierte en Σ(-1)ⁿ/(2+n²), que también es convergente.

(Ver criterios de convergencia de series de términos positivos (comparación con la serie p= 2) y de las series alternantes.

Por tanto el intervalo de convergencia de esta serie es [-1, 1]

Que significa esto?

Esto significa que la serie Σxⁿ/(2+n²) es una función de x, cuyo dominio es el intervalo [-1, 1]

Si llamamos esta función f(x), podríamos calcular el valor de esta función para x= 0.5 con la precisión que queramos. A más términos, mejor la precisión.

Evidentemente, es un contrasentido hallar el valor de la función f(5), ya que 5 no pertenece al intervalo de convergencia.

Si f(x) = Σf(n)xⁿ es convergente en el intervalo [-r, r] (Llamaremos r radio de convergencia de la serie.

Podemos derivar ambos lados de función y obtendríamos una función f’(x), cuyo radio de convergencia también será r y el intervalo de convergencia (-r, r)

Ejemplo 2

f(x) = Σxⁿ/(2+n²)

f’(x) = Σnx ^n-1/(2+n²) Cuyo radio de convergencia será r = 1

Igualmente, podríamos pensar en integrar f(x) = Σxⁿ/(2+n²)

Así

∫f(t)dt entre t= 0 y t = x por medio de integrar ∫ Σtⁿ/(2+n²)dt en los mismos límites

Obtendríamos:

F(x) = Σx ⁿ⁺¹/(n+1) (2+n²)

Cuyo radio de convergencia también será 1

Ejemplo 3

Hallar el radio de convergencia de la serie:

Σn!xⁿ/nⁿ

Aplicamos el criterio de la razón:

|(n+1)!xⁿ⁺¹ nⁿ/ ((n+1) ⁽ⁿ⁺¹⁾ n! xⁿ)

|(n+1)nⁿ x/(n+1)(n+1)ⁿ| = |x/(1+1/n)ⁿ|

Llevando esta expresión al límite cuando n tienda a ∞ obtenemos que el límite es:

|x|/e

Ahora

|x|/e<1, que equivale al intervalo de x: (-e, e)

r=e; la serie es absolutamente convergente en (-e, e)

La investigación acerca de que sucede en los extremos es difícil.

SERIE BINOMIAL

(1+x)^m =1 + Σ(m(m-1)(m-2)…..(m-n+1) xⁿ / n! entre n = 1 y n = ∞ .........................(2)

Si m es un entero positivo, la expresión (2) es el binomio de Newton, que tiene n + 1 sumandos.

Si n es diferente a un entero positivo, entonces el desarrollo (2) tiene infinitos sumandos y se trata de una serie de potencias (infinita).

Para este último caso, investiguemos el intervalo de convergencia:

Aplicamos el criterio de la razón

| (m(m-1) (m-2)….(m-n+1)(m-n)xⁿ⁺¹/(n+1)!) / ((m(m-1)(m-2)….(m-n+1)xⁿ)/n!))|

= |(m-n)x/(n+1)|

Llevando la última expresión al límite cuando n tiende a ∞, obtenemos que este límite es igual a |x|

La serie será absolutamente convergente cuando |x|<1 o sea en el intervalo (-1, 1)

Radio de convergencia r= 1

Los extremos se investigarán para cada caso en particular.

Veamos algunos casos particulares de la serie binomial:

(1+x) ^-1 = 1+ (-1) x+ (-1) (-2) x²/2! + (-1) (-2) (-3) x³/3! + (-1) (-2) (-3) (-4)x⁴/4!+……

1/(1+x) = 1- x + x² – x³ + x⁴ – x⁵+ + (-1)ⁿ xⁿ +…. .....................................................(3)

Cambiando x por –x

1/(1-x) = 1+ x +x² +x³+x⁴ +x⁵+ + xⁿ +…. .......................... ........................................(4)

En (3) podemos cambiar x por x² y obtendremos:

1/(1+x²) = 1- x² +x⁴ –x⁶+x⁸ –x¹⁰+ + (-1)ⁿx²ⁿ +…. ....................................................(5)

1/(1+x²) = 1- x^1*2 +x^2x2 –x^3*2+x^4*2 –x^5*2+ + (-1)ⁿ x^n*2 +…. ....................................(5)

Si integramos ∫1/(1+t²)dt entre t=0 y t=x obtenemos la función tan^-1x

tan^-1 x = x – x³/3 + x⁵/5 – x⁷/7 + + (-1)ⁿ x ²ⁿ⁺¹/(2n +1) +……. ...............................(6)

Las series que hemos representado por las expresiones (3), (4), (5) y (6) tienen como intervalo de convergencia (-1, 1)

En el caso de la serie (6), si el dominio es entre (-1, 1), podríamos obtener ángulos en radianes, cuya tangente está entre -1 y 1, es decir ángulos entre –π/4 y π/4.

Cálculo de π

Observemos que la serie (6) nos permite encontrar π/4

Supongamos que utilizamos el Polinomio P₁₀₀ (100 términos para determinar π/4)

P₁₀₀= 0,78289823 = π/4

Despejando π

π = 3,1315929 (Muy mala la precisión del cálculo)

La serie (6) no es la adecuada para calcular π, porque converge muy despacio.

Veamos otra forma de calcular π:

Si

a= tan^-1 (1/2) y b= tan^-1 (1/3)

tan(a + b) = (tan a + tan b)/ (1 – tan a tan b) = ((1/2 + 1/3))/(1-1/6) = 1

Por tanto

a + b = π/4

π/4 = tan^-1 (1/2) + tan ^-1 (1/3)

Calculemos tan ^-1 (1/2) = 1- (1/2)² /3 + (1/2)⁴/5 + (1/2)⁶/7+…… con P₇

P₇ = 0.463648

Ahora calculemos tan ^-1 (1/3), también con P₇

P₇ = 1- (1/3)² /3 + (1/3)⁴/5 + (1/3)⁶/7+…… con P7

P₇ = 0.321751

π/4 = 0.463648 + 0.321751 = 0.785399 y π=3.141596.. Muy buena la precisión.

El error cometido será menor que a₈ + b₈, él próximo término que no se tuvo en cuenta en las series infinitas consideradas.

Con este método se puede calcular el valor de π, con la precisión que queramos, simplemente aumentando los sumandos de la suma parcial Ps.

Cálculo de logaritmos

Recordemos las series que han sido numeradas (3) y (4)

1/(1+x) = 1- x +x² –x³+x⁴ –x⁵+ + (-1)ⁿ xⁿ +…. .......... ........................................(3)

1/(1-x) = 1+ x +x² +x³+x⁴ +x⁵+ + xⁿ +…. ............................................................(4)

Ambas son convergentes en el intervalo (-1, 1)

Realicemos la integral

∫1/(1+ t)dt =∫(1- t +t² –t³+t⁴ –t⁵+ + (-1)ⁿ tⁿ +…. ) dt

Entre t= 0 y t = x

ln(1 + x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +x⁵/5 – x⁶/6 +……..(-1)ⁿ x ⁽ⁿ⁺¹⁾ /(n+1) ...........(7)

∫1/(1- t)dt =∫1+ t +t² +t³+t⁴ +t⁵+ + tⁿ +…. ) dt

Entre t= 0 y t = x

ln(1 - x) = x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4 +x⁵/5 + x⁶/6 +…….. x ⁽ⁿ⁺¹⁾ /(n+1) ....................(8)

Las fórmulas (7) y (8) corresponden a series infinitas, que son absolutamente convergentes en el intervalo (-1, 1), por lo que nos permitirían calcular los ln de valores de x entre 0 y 2. Al igual que con la fórmula de la tangente inversa, estas fórmulas convergen muy lentamente y además no nos permiten encontrar cualquier logaritmo. Veamos un método mas adecuado para calcular el logaritmo natural de cualquier número real positivo.

Consideremos la función f(x) = (1+x)/ (1-x)

y = (1+x)/ (1-x) .............................................................................................................(9)

Dominio de esta función: todos los reales excepto el 1

La figura (1) es la gráfica de la función (9)

Observamos que si tomamos valores de x entre -1 y 1, la y = f(x) nos recorre todos los valores reales entre 0 e ∞.

Figura 1 y= (x+1)/(x-1)

Ahora

ln (x+1)/(x-1) = ln (1+x) – ln (1 –x) = (7) – (8)

= 2( x + x³/3 + x⁵/5 + x⁷/7 + x ^2n-1 / (2n -1) + ) ...........................................................(10)

Si queremos conocer el ln de 9.5, hacemos y = 9.5

De la fórmula (9) despejamos x

x = (y-1)/(y+1) = 8.5/10.5 = 0.809523810

Con P₅₀ de la fórmula (10) para x = 0.809523810 ,obtenemos ......ln9.5 =2,251291801

Para encontrar log 9.5, utilizamos la siguiente equivalencia:

log y = ln y /ln10

En el pasado, primero se calculaba ln 10,también con la fórmula (10)

ln10 = 2.302585093/

log 9.5 = ln 9.5 /ln 10 = 2,251291801/2.302585093 = 0.977723606

En la expresión (10) hemos llevado el valor de x = 0.809523810 y utilizamos el polinomio apropiado, de acuerdo con la precisión que requerimos.

Resumen

Hasta hoy hemos encontrado las siguientes series, que representan algunas funciones trascendentes o que nos permiten calcularlas.

e^x = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +……..xn /n!+……. ....................................x es un número real.

tan^-1 x = x –x³/3 +x⁵/5 –x⁷/7 + + (-1)ⁿ x ²ⁿ⁺¹/(2n +1) ….................................xέ(-1, 1)

ln(1 + x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +x⁵/5 – x⁶/6 +……..(-1)ⁿ x ⁽ⁿ⁺¹⁾ /(n+1).......xέ (-1, 1)

ln (x+1)/(x-1)

= ln (1+x) – ln (1 –x) = 2( x + x³/3 + x⁵/5 + x⁷/7 + x ^2n-1 /(2n -1)…….. + ......xέ (-1, 1)

Más adelante encontraremos series que representen el senx, cosx, tanx, sehnx, coshx y tanhx

Juan Fernando Sanin