Repaso de Cónicas, en cartesianas y en Polares

 

Medellín, mayo 2024 

 

Blog: Repaso general de las cónicas.

A.   Definición de las cónicas en polares

Considere la figura 1

r, θ, e (excentricidad) y d

Figura 1. Definición de cónicas 

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos P(r, θ) tales que:

Abs(PF)/Abs(PE) = e

e se denomina excentricidad (Hay que diferenciarlo del número trascendente e). El resto de los datos y elementos están explicados en la figura 1 

d = 2p

r = e(2p + rcosθ)                r – ercosθ = 2ep             r = 2ep/(1 – ecosθ)              (1)

B.   La elipse en coordenadas cartesianas

La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x, y), tales que:

Abs( PF1) + ABS(PF2) = 2a        La suma de las distancias del punto P a los focos F1 y F2 sea igual a 2a,       donde 2a es una constante positiva. La figura 2 muestra esta propiedad y demás elementos de la elipse.

Figura 2 Elementos y datos de la elipse.

Demostremos la fórmula tradicional en cartesianas, con centro en C(0, 0)  y la propiedad d2 + d1 = 2a

√((x+c)² + y²)) +√((x-c)² + y²)) = 2a

Elevamos al cuadrado:

2√(x²+2xc+c²+y²) √(x²-2xc+c²+y²) = 4a²-2x²-2y²-2c²

Volviendo a elevar al cuadrado:

Si cambiamos c² = a² – b²        y simplificamos, obtendremos:

2x²b² = -2a²y² + 2a²b²

x²b² + a²y²= a²b²

x²/a² + y²/b² = 1    que es la forma tradicional como conocemos la elipse, en coordenadas cartesianas, con ejes en el centro (0, 0), con un semieje mayor a y otro menor b, figuras 2 y 3

Figura 3. Coincidencia de definiciones de excentricidad, respecto a la que se dio cuando se repasó cónicas en polares.

En cartesianas nos han enseñado que e = c/a < 1. Cuando c = 0, si e = 0, se trata de una circunferencia. Cuando e = 1      √ (a² –b²) /a     b es despreciable respecto a y la elipse se convierte en una recta infinita, extendida para ambos lados.

e1 = √ ((x – c)² +y²) / (a²/c – x)

Demostración que e1 = e = c/a

Elevemos al cuadrado la expresión e1

(e1)² = (x² – 2xc +c² + y²) / (a²/c – x)²

En el numerador cambiemos c² por a² – b² y y² por b²(1 - x²/a²)

(c²(x²c² – 2xca² + a⁴) /a²) / (cx – a²)2           (e1)² = c²/a²       Por tanto e1 = e = c/a

C.   La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos P tan que la distancia de P a un punto F, llamado foco, es igual a la distancia del punto P a una recta en el plano. Ver figura 4

p+p = d

Figura 4 Propiedades y elementos de la parábola en coordenadas cartesianas.

Escojamos eje y vertical (focal) y eje x, que corresponda con el eje polar, perpendicular al eje y.

e = 1 =Abs(PF)/Abs(PD)

√ (x² + y²) / (x + 2p) = 1

(x² + y²) / (x² + 4xp +4p²) =1                     y² = 4xp + 4p²

4p (x + p) = y²

Donde p es la distancia del foco (centro del eje de coordenadas), al vértice de la parábola.

Si hacemos un cambio de las variables x, x e y por  x’ e y’ ubicados en el vértice.

x’ = x + p        y’ = y

4px’ = y’² que es la ecuación que conocemos de la parábola horizontal.

Si fuera vertical       4py’ = x’²

Volvamos al hecho que, los ejes que hemos escogido, los llamaremos x e y, perpendiculares en el vértice.

4px = y² parábola horizontal, el signo de p nos dice si es hacia la derecha o hacia la izquierda

4py = x² parábola vertical, el signo de p nos dice si es hacia arriba o hacia abajo,

Ejemplos

8x= y²           Es horizontal. 8 = 4p        p = 2    F(2, 0) directriz x = -2 y es hacia la derecha.

9y = x²          Es vertical       9 = 4p      p = 9/4    F(0, 9/4), directriz y = -9/4 y es hacia arriba.

-16y = x²     Es vertical       -16 = 4p     p = -4     F(0, -4), directriz y = 4 y es  hacia abajo.

La parábola en polares (figura 1), con ejes en el foco.

r = 2ep/(1 – ecosθ)              (1)  de la sección A     con e = 1

r = 2p/(1 – cosθ)                (1)       p es la distancia focal, vértice foco.

D.   La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que la diferencia de distancias a dos puntos F1, F2 es igual a 2a. Los datos y elementos de una hipérbola se muestran en la figura 5.

√ ((x + c)²+y²) -√((x-c)²+y²) = 2a

Elevando al cuadrado ambos lados

√ ((x + c)²+y²) √((x - c) ²+ y²) = x² + y² +c² - 2a²

Elevando al cuadrado de nuevo y cambiando c² por a² + b²:

b²x² = -b²x² + 2a²y²+2a²b²

Simplificando:

2b²x² – 2a²y² =2 a²b²

x²/a² – y²/b² = 1    que es la ecuación normal que conocemos de la hipérbola.

Despejemos y

y = ±√ (b²x²/a² – 1) = ±(bx/a) √ (1 – a²/(b²x²))

Vemos que cuando x es tan grande como queramos, el radical no es significativo respecto de y = ±bx/a

Razón por la cual, (aunque no con mucho rigor), concluimos que y = ± bx/a son las asíntotas oblicuas de la hipérbola. Dos rectas que pasan por el origen (0, 0)

Además, se ha definido que la excentricidad de la hipérbola es c/a > 1 (c > a)

 Figura 5. Datos y elementos de una hipérbola horizontal.

Si cambiamos el orden en la fórmula general de la hipérbola:

y²/b² – x²/a² = 1

Obtenemos una hipérbola vertical, con las mismas asíntotas,

Vértices en (0, b) y (0, -b),

Focos en (0, c) y (0, -c)

Con la relación c² = a² + b²

e = c/b

directrices y = ±b²/c

Esta hipérbola, se llama la hipérbola conjugada (respecto de la horizontal)

La hipérbola en polares

Figura 6 Elementos y datos de la hipérbola en polares. Si el foco lo hubiera puesto al lado izquierdo de la directriz, el dibujo hubiera sido la rama de la hipérbola que va hacia la izquierda.

¿Por qué es importante conocer la ecuación de las cónicas en polares?

Cuando repasemos las leyes de Kepler, en mecánica vectorial, en otro blog, la órbita del cuerpo de menor masa m1, (despreciable con respecto a la masa mayor m2), el resultado será una cónica. Si sabemos que la masa m1 tiene una trayectora de no regreso, se tratará de una hipérbola o una parábola. Si sabemos que la trayectoria de la masa menor m1 es cerrada, sabemos que se trata de una elipse. Tal es el caso de los planetas respecto del sol o de los cometas que regresan cada cierto periodo de tiempo.

El movimiento de la Luna respecto de la tierra, es mas complejo. Se tráta de una órbita cerrada, pero la masa de la luna, no es despreciable respecto de la tierra, y el movimiento que se encontrará para la masa m1, será una elipse respecto del centro de masa luna tierra. Igualmente, la tierra también girará, respecto del centro de gravedad común.

Favor vean este video, antes de que lo quiten.

https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/tierraluna.html

¿Porque se llaman cónicas?

La figura 7 nos indica por qué.

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Eje Radical de dos circunferencias O y O' de radios R y R'

Medellín abril 2024

 

Potencia de un punto P, respecto de una circunferencia coplanar con el punto P, cuyo centro es C y cuyo radio es r.

p = PA*PB 

Fig. 1 Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

 

Sea el punto P y la circunferencia roja de radio r y centro en C. La distancia PC = d.

De las propiedades de los arcos y cuerdas, sabemos que PF* PG = PA*PB = PT²

PT² (PT es la tangente trazada desde P a la circunferencia C.)

PT² = d² – r² = (d – r) (d + r);                 p= potencia = PT² = d² – r²

Corolario. El lugar geométrico de los puntos P del plano de C, que tienen igual potencia, respecto de la circunferencia original, es la circunferencia de radio d, con centro en el mismo centro C

Figura 2 Puntos P del plano, equipotentes, respecto de la circunferencia C; Potencia p = d² – r²

Propiedades de la mediana en un triángulo cualquiera, relacionadas con la potencia.

Fig. 3 Propiedades de la mediana que se relacionan con la potencia p.

Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c, m la mediana trazada desde A, h la altura trazada desde A y n es el segmento MH. (M es el punto medio de BC).

Por Pitágoras b² = h² + (a/2 – n)² = (m² – n²) + (a²/4 – an + n²)

= m² + a²/4 – an                                                                                    (1)

Por Pitágoras c² = h² + (a/2 + n)² = (m² – n²) + (a²/4 + an + n²)

= m² + a²/4 + an                                                                                    (2)

Si encontramos c² – b²; (2) – (1), obtenemos 2an y despejando n

n = MH = (c² – b²) / (2a)                                                                         (3)

Teorema.

El lugar geométrico de los puntos M, de igual potencia, respecto de dos circunferencias O y O’, es una recta perpendicular a la línea de los centros.

En la figura 4, sea M un punto de igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas, con centros en O y O’ y de radios R y R’ (Supongamos que R > R’)

p = MO² – R² = MO’² – R’²                                             (1)   definición de potencia.

MO² – MO’² = R² – R’²                                                    (2)

Si C está en la mitad de OO’ y H es la proyección perpendicular de M, de acuerdo con el teorema anterior, que hemos llamado propiedades de la mediana relacionadas con la potencia respecto de una circunferencia, sabemos que:

Figura 4 Eje radical de dos circunferencias cuyos centros están en O y O’

 

El lugar geométrico de los puntos M, cuya potencia a las dos circunferencias O y O’, de radios R y R’ sean iguales, estará sobre la recta MH y su prolongación. Esta recta se llama eje radical.

 

¿Cómo se construye el eje radical de dos circunferencias?

 

En primer lugar, debemos anotar, como corolario, que, si las dos circunferencias son secantes entre sí, los puntos comunes pertenecen al eje radical (en esos puntos la potencia a cada una de las circunferencias es 0); por lo tanto, basta trazar la recta que pasa por esos dos puntos (la secante) y ese es el eje radical. De paso, sabemos que, esa secante, es perpendicular a la línea que une los centros O y O’.

Como corolario, también debemos aceptar que, si dos circunferencias son tangentes exteriores, basta trazar la perpendicular a la línea de los centros, por ese punto de tangencia. (La tangente común es el eje radical)

Si las dos circunferencias O y O’ no son secantes, construimos una nueva circunferencia O” auxiliar, que sea secante de O y de O’.

El procedimiento se indica en la siguiente figura:

Figura 5. Centro radical y construcción del eje radical de dos circunferencias coplanares que no se intersecan.

La circunferencia O” es auxiliar y debe ser secante a O y O’.

El punto E, donde se interceptan las secantes AB y DC es el centro radical de las tres circunferencias.

Por tanto, ya tenemos un punto E del eje radical de O y O’ y trazando la perpendicular a la recta OO’ desde E, obtenemos el punto Q y QE forma parte de una recta infinita, que es el eje radical de O y O’.

Problema

Considere la siguiente figura:

Figura 6 Problema Reunión de Profesores

Tenemos dos circunferencias O y O’ de radios 2r y r. La distancia OO’ = 4r

1.    Hallar el valor, en función de r, de los siguientes valores O’C, CA, CA’, OG, AG, OG

2.    Trazar el eje radical de las dos circunferencias O y O’

3.    Encontrar el lugar geométrico de los puntos E, que son puntos medios de la distancia IC, de la secante IC

Triángulos OAC y O’A’C son semejantes, porque, siendo CA la tangente común desde C, tienen todos los ángulos iguales

OC/O’C = 2r/r = 2

OC = 2 O’C                                             OO’ + O’C = 2 O’C

Por lo que O’C = OO’ = 4r

CA² = (8r)² –(2r)² = 64r² – 4r² = 60r²                                CA = 2√15 r

Por la relación 2:1      C’A = √15 r

Triángulos OAG semejante a OAC, por la igualdad de todos sus ángulos interiores, por lo tanto,

2r/8r = OG/2r                                   OG =r/2

AG    por Pitágoras

AG² = 60r² – (8r – 1/2r)² = 15/4 r²             r = 1,94r

Para trazar el eje radical de O y O’ debemos recordar la fórmula de la figura (4)

CH = (R² – R’²) /(2*OO’)           C es el punto medio de la recta OO’ y H la posición del eje radical. (Vuelvan a mirar la figura (4))

Para nuestro problema, el punto medio de OO’ es F y (OF = FO’ = 4r)

FH = ((2r)² – r²) /(2*4r) = (3/8) r = 0,375r   Por la fórmula de la figura (4)

El punto F está determinado (sobre la circunferencia). El punto H lo obtenemos, sobre la recta OO’ a una distancia 0,375 r, desde F, hacia la derecha. (Gráficamente podemos determinar la distancia FH = 0,375 r, ahí les dejo ese problema y su solución)

La perpendicular trazada por H, a la recta OO’ , es el eje radical de las circunferencias O y O’

Para el lugar geométrico de los puntos E

Triángulos OIC semejante O’EC ya que:

Tienen un ángulo en común en C

OC = 2*O’C

2*IE = IC                          E es el punto medio de IC, están en relación 2:1

Lo anterior implica que, O’E = OI/2 = 2r/2 = r           Por lo tanto, el punto E debe estar sobre la circunferencia O’ de radio r.

El lugar geométrico solicitado es el arco de circunferencia, de la circunferencia O', a la derecha de los puntos de tangencia, de las tangentes comunes trazadas desde C a O y O’

Anexo.

Algunas propiedades de la circunferencia inscrita en un triángulo ABC

La circunferencia inscrita en un triángulo se construye así: se construyen las bisectrices de dos de los tres ángulos de ABC. Ese punto de concurrencia es el incentro. Desde allí, I, las distancias a los tres lados del triángulo valen r.

 

Figura 7. Incentro de un triángulo ABC

Las bisectrices interiores son: AF, BD y CE

El ángulo interior A= α

Para encontrar el radio de la circunferencia inscrita r basta aplicar la fórmula

At = r(2p) /2

Conocidos los tres lados del triángulo podemos saber el valor del área y el perímetro; para encontrar el área podemos aplicar la fórmula de Herón

At = √ (p (p - a) (p - b) (p - c))                    p = (AB + BC + CA)/2  semiperímetro

r = 2At/(2p)

Otra forma de encontrar At = AB*CH/2

Pero de esta última forma, hay que encontrar CH = h, lo cual lo hacemos con el teorema del coseno

BC² = AB² + CA² - 2* AB*CA* cos α

Conocidos los lados, despejamos cos α así encontramos α y con este valor encontramos CH = CA cos α

Circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a y b

Figura 8.          r= radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de lados a, b y c

Ejemplo

Fig. 9 Radio del círculo inscrito en el triángulo rectángulo, cuyos catetos son:

a = 8.25 m

b = 4.47

La hipotenusa la calculamos por Pitágoras c = 9,39

At = r (a +b+ c) /2          a + b + c = 22.10

(ab)/2 = r*(a + b + c) /2               r = ab/ (a+ b + c) = (8.25*4.47) /22.10 = 1.67 m

Pregunta final:

¿Recuerda la diferencia entre circunferencia y círculo?

 

Atentamente,

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Matemática Discreta - floor(x) y Ceiling(x)

 

Medellín, marzo 2024

 

Matemática discreta

 

La matemática discreta considera el estudio de las estructuras matemáticas discretas, las cuales pueden ser finitas (Ejemplo: secuencia de cinco números enteros: 1, 2, 4, 6 y 8) e infinitas (lo números enteros, que en sí mismos pueden no tener fin X= {…. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}).

Aplica a todos aquellos elementos que se pueden contar de forma separada; es decir, uno por uno, como son los números naturales los enteros. Es por esto que estos elementos discretos no tienen cabida los decimales o aproximaciones.

Proporciona la base teórica para la ciencia y la tecnología de la computación, entre otras.

Funciones piso y techo

En matemáticas e informática, la función de suelo o piso es la función que toma como entrada un número real x, y da como resultado el mayor entero menor o igual que x, denotado ⌊x⌋ o floor(x). De manera similar, la función de techo asigna x al menor entero mayor o igual a x, denotado ⌈x⌉ o ceil (x) o ceiling(x)

Por ejemplo, ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈−2.4⌉ = −2.

Históricamente, floor(x) ha sido llamada E(x) o parte entera de x. Pero en los nuevos libros de matemáticas, la función parte entera de (x) se ha dividido en floor(x) y ceiling(x).

Floor(x) = ⌊x⌋           El dominio son los números reales. El rango será los enteros Z y la definimos así:

y = ⌊x⌋ = k, donde k es un entero y x estará en el intervalo k ≤ x < k+1 donde k y k+1 son dos enteros consecutivos.

⌊5,7⌋ = 5

⌈−5,7⌉ = -6

Ceiling)x) = ⌈x⌉        El dominio son los números reales. El rango será los enteros Z

y = ⌈x⌉ = k+1, donde k es un entero y x estará en el intervalo k < x ≤ k+1

⌈5,7⌉ = 6

⌈-5,7⌉ = -5

Existe también la función parte decimal de x o mantisa de x = {x}

m(x) = mantisa(x) ={x} = x - ⌊x⌋

El dominio de la función mantisa son todos los números reales, mientras que el rango es el intervalo (0, 1)

Veamos cómo son las gráficas de ⌊x⌋. ⌈x⌉

⌊x⌋.

Dominio, los reales

Rango, los enteros Z

Grafico 1: Gráfica de floor(x)

Gráfica de Ceiling(x) = ⌈x⌉

 Dominio de ⌈x⌉ todos los reales

Rango de ⌈x⌉ = todos los enteros

Grafico 2: Gráfica de ceiling(x)

Propiedades básicas de ⌊x⌋  y ⌈x⌉ (floor y Ceiling)

⌊x⌋ + ⌊-x⌋ ; Si x= es entero, el resultado de esta operación es 0

Si x tiene parte decimal ⌊x⌋. + ⌊-x⌋.= -1     ej   ⌊2,1⌋. + ⌊-2,1⌋.= 2+(-3) = -1; el resultado es -1

 ⌈x⌉  + ⌈-x⌉  ; Si x es entero, el resultado es 0; Si x tiene parte decimal:  ⌈3,4⌉. + ⌈-3,4⌉ = 4+(-3) = 1; el resultado es 1

3.      ⌊⌊x⌋⌋  = ⌊x⌋ 

4.      ⌈⌈x⌉⌉  = ⌈x⌉

5.      ⌊⌈x⌉⌋  = ⌈x⌉ 

6.      ⌈⌊x⌋⌉  = ⌊x⌋ 

⌊x + n⌋  = ⌊x ⌋ + n.  x = 3,66; n = 6     x + n = 9,66     ⌊9,66⌋ = 9 ; ⌊3,66⌋ + 6 = 9

8.      ⌈x + n⌉  = ⌈x⌉  +n; x=3,66; n= 6     x + n = 9,66     ⌈9,66⌉ =10 ; ⌈3,66⌉ + 6 = 10

 

Ejercicio 1

Resolver 2x + 3{x} = 12

{x} = x - ⌊x⌋ 

Reemplazando en la ecuación original:

2x + 3[x - ⌊x⌋ ] = 12                  5x - 3⌊x⌋  – 12 = 0

k ≤  x < k + 1             k y k +1 son los dos enteros asociados a x

⌊x⌋  = k

La ecuación se nos convierte en          5x – 3k - 12 = 0       x = (3k + 12)/5

Llevemos este valor a la desigualdad que relaciona x y k

k ≤ (3k + 12)/5 < k + 1                                   Aquí hay dos desigualdades implícitas para k

k ≤ (3k + 12)/5  …………………5k  ≤  3k + 12             2k ≤ 12       k ≤ 6

La segunda desigualdad

(3k + 12) /5 < k + 1         3k + 12 < 5k + 5                                   7/2 < k

Es decir, k está en el intervalo (3,5, 6]; por tanto            k = 4, 5, 6

x1 = (12 + 12) /5 = 24/5 = 4,8        y vemos  2x4,8 + 3x0,8 = 9,6 + 2,4 = 12

Los otros valores de x para k = 5 y 6

x2 = 5,4

x3 = 6        Estos valores x1, x2 y x3 son la respuesta del ejercicio.

 

Ejercicio 2

4x² -  40⌊x⌋ +51 = 0                                                                 (1)

k ≤ x < k + 1             k y k +1 son los dos enteros asociados a x

⌊x⌋  = k

k ≤ x    Si en (1) reemplazamos la x por k y ⌊x⌋  por k, la igualdad no se conserva, , porque x² ≥ k² y queda la siguiente desigualdad (la solución se limita para x ≥ 0, ya que si la x;  fuera negativa, la desigualdad quedaría x² ≤ k²))

4k² -  40k + 51 ≤ 0

Factorizamos esta expresión, que nos quede en racionales o enteros para evitar los decimales.

(2k - 3) (2k - 17) ≤ 0

(k – 3/2) (k – 17/2) ≤ 0             (k – 1,5)(k – 8,5)

Vemos que la recta real infinita queda divida en 3 sectores

En (-∞, 1,5]   los dos factores son negativos, y el producto positivo. No cumple

En (1,5, 8,5]  un factor es positivo y el otro negativo, luego el producto es – y cumple.

En (8,5, ∞) ambos factores son positivos y el producto es positivo y no cumple.

Veamos la segunda desigualdad

Si en la ecuación (1) reemplazo x por k + 1 y ⌊x⌋  por k ya la nueva ecuación en k será > 0, ya que        k + 1 > x

4(k + 1)² – 40k + 51 >0    que se simplifica así:

4k² – 32k + 55 > 0

La factorizamos en racionales.

(¿Qué pasaría si en la factorización encontráramos dos raíces complejas?   R La inecuación no tendría solución)

Concluiríamos que no hay solución en los reales. Y esa sería respuesta, pues siempre la solución será el conjunto intersección de los conjuntos que satisfacen

(2k – 5)(2k – 11) >0

(k – 2,5)(k – 5,5) > 0

Vemos que la recta real infinita queda divida en 3 sectores

En (-∞, 2,5]   los dos factores son negativos, y el producto positivo. Cumple

En (2,5, 5,5]  un factor es positivo y el otro negativo, luego el producto es – y no cumple.

En (5,5, ∞) ambos factores son positivos y el producto es positivo y cumple.

Signo de los factores en la recta Real, que definen signo del producto de los mismos.

La solución será:

(-∞, 2,5) ∩ [2,5, 8,5) ∩ [5,5, ∞) = [1,5, 2,5) ∪ (5,5, 8,5)

Los k que son solución, son los que están en la unión indicada. Ellos son 2, 6, 7, 8

Los x que cumplen son los que satisfacen la ecuación:

4x² -  40k + 51 = 0   para valores de k: 2, 6, 7, 8

K = 2                  x = √ (29) /2    = 2,692582403

K = 6                  x = 3√ (21) /2 = 6,873863542

K = 7                  x = √ (229) /2 = 7,566372975

K = 8                  x = √ (269) /2 = 8,200609733

Llevando cualquier valor de x, entre los arriba encontrados, se cumple la ecuación (1)

Si se utilizan los decimales el resultado será casi 0

Ejercicio 3

Por tanto, el resultado es 20 – 10 = 10

Ejercicio 4

⌊x⌋ + 2⌈x⌉ - 4x = -4,8

Recordemos que k  ≤ x <  k+1     k y k+1 los enteros asociados con x

⌊x⌋ = k

⌈x⌉ = k + 1

Reemplazamos en el ejercicio

k +2(k+1) – 4x = -4.8    de donde         x = (3k + 6,8) / 4

En la desigualdad general, reemplazamos el valor de x por el que acabamos de encontrar y así obtendremos dos desigualdades de k, que nos permitan encontrar el intervalo de k que funciona.

k ≤ (3k + 6,8) / 4 < k +1

Resolviendo la desigualdad del lado izquierdo obtenemos que el conjunto solución es

 (-∞, 6,8]

Resolviendo la desigualdad del lado derecho obtenemos que el conjunto solución es (2,8, ∞)

La intersección de estos conjuntos es (2,8, 6,8], que es la solución para k, lo cual implica que k puede tener los valores 3, 4, 5, 6

k	x
3	3,95
4	4,70
5	5,45
6	6,20

Si reemplazamos los 4 valores obtenidos para x, y reemplazamos en la ecuación del ejercicio, vemos que esta se cumple.

Atentamente,

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com