Medellín, agosto 2020
Resistencia a la flexión de una viga pre
tensionada en I
La viga pretensada I, mostrada en la figura 1, es pre
tensionada utilizando 5 cables de ½ pulg, grado 270, de baja relajación,
logrando una presión efectiva Pe=160 Ksi. Resistencia del concreto f’c=4ksi.
Calcular el momento resistente ΦMn
Fig 1
Viga en I
El ejercicio escogido, es del libro de Design Concrete
Structures, Arthur H Nilson, David Darwin, Charles W. Dolan, Edición 14m página
669. Me pareció importante traducirlo y presentarlo, principalmente, porque
utiliza un poco de fórmulas de ACI, en inglés y unidades inglesas especiales,
por ejemplo, momentos en inch Kips (kilo libras – pulg). Si tuviéramos un caso
particular, utilizamos para todo, las unidades métricas, pero para los chequeos
del cable tensionado, debemos trabajar con f’c, fy, en Kpsi y las unidades
métricas en pulgadas (inches).
Datos
Concreto de f’c=4000 psi
Cables de acero grado 270, de ½ pulg de baja
relajación
|
b1 |
12 |
|
b2 |
12 |
|
h |
24 |
|
h1 |
4,5 |
|
h2 |
4,5 |
|
bw |
4 |
|
b3 |
4 |
|
b4 |
4 |
|
π/6 |
0,5236 |
|
tan(π/6) |
0,57735027 |
Pe, presión efectiva 160ksi.
Nota: Cuando una viga de concreto pretensada falla por
flexión, el pre esfuerzo del acero fps es mayor que la presión efectiva fpe,
pero inferior a la presión fpu. Si la presión efectiva fpe=Pe/Aps es mayor que
0,50fpu, ACI código 18.7.2, permite utilizar ecuaciones aproximadas para fps,
que son las que se van a tratar en este blog.
La presión efectiva, 160 ksi, está por encima de
0,5*270=135, por tanto, las ecuaciones aproximadas del ACI son aplicables.
Estas ecuaciones las vamos a mencionar en la medida que vayan utilizando.
La relación del esfuerzo de refuerzo es
ρp=0,765 pulg 2/ (12x17,19 pulg 2) = 0,0037
ρp = Aps/bdp; dp la profundidad efectiva de la viga desde el
centroide de los cables pretensados.
(19.6) (dp profundidad efectiva de los cables,
ver figura 1)
Pág. 667 Diseño de estructuras de Concreto Nilson,
Darwin, Dolan 14 Edición.
Un cable de ½” de 7 torones tiene un área de 0,153
pulg2/torón. Los 5 cables tendrán un área de 0,765 pul2
El centro de los cables está a una distancia del
centroide de la sección en I, a 5,19 pulg, la profundidad efectiva del cable es
12+5,19=17,19 pulg.
El esfuerzo fps cuando la viga se halla en flexión se encuentra
de la ecuación (19.6) pg. 667
fps=fpu (1-(γp ρp fpu)
/(β1f’c)) (19.6)
Donde ρp ya había sido
definida.
Gama γp=0,55 para fpy/fpu >=0,8 barras
de refuerzo comunes
0,40 para fpy/fpu >=0,85
torón estándar
0,28 para fpy/fpu>=0,9
torón de baja relajación como es el caso.
fpu=270 Ksi
En La fórmula (19.6), para fps, los esfuerzos están
dados en ksi. 1 ksi = 1000 lb/pulg2
β1 Relaciona la profundidad del rectángulo
equivalente, bloque de esfuerzos de compresión, con la profundidad del eje
neutro. Es iguala 0,85 para f’c<=4000 psi y se reduce 0,05 por cada 1000 psi
por encima de 4000 psi.
Aplicando la (19.6)
fps=270(1-(0,28*0,0037*270) / (0,85*4)) =248 psi
Nota: Si estamos trabajando con unidades diferentes a
las inglesas, a la hora de aplicar la fórmula (19.6) y las que siguen, es
conveniente, transformar nuestras unidades métricas a inglesas y el esfuerzo del
cable a ksi.
Es necesario chequear si la profundidad del bloque de
esfuerzos de compresión del concreto es mayor o menor que el espesor de la
aleta (flange), de 4,5 pulg en este caso.
Se utiliza la ecuación (19.10)
a=Apfps/(0,85f’c*b)=0,765*248/(0,85*4*12)=4,65
Se concluye de esta prueba, que el bloque de
compresión tiene parte en el alma de la viga, así la prueba no es válida y
ecuaciones del ACI para aletas deben ser usadas. El código dice que no toda el
área del refuerzo de los cables, se puede utilizar o actúa para comprimir las
aletas. Debemos utilizar la fórmula (19.12). El área a pre tensar es dividida o
en dos partes para propósitos computacionales. La primera parte Apf, provee la
fuerza que balancea la compresión en las áreas de las aletas. Así
Apf=0,85(f’c/fps) (b-bw) hf (19.12)
La remanente área pre tensada producirá compresión en
el alma.
Apw=Aps-Apf (19.13),
provee la fuerza para balancear la compresión del concreto en el alma.
Apf=0,85*4*(12-4)*4,5/248 = 0,494 pulg2
Y de la ecuación (19.13)
Apw=0,765-0,494=0,271 pul2
La nueva profundidad del bloque de compresión es
encontrada con la ecuación (9.15)
a=Apwfps/ (0,85f’c bw)
(9.15)
a=0,271x248/(0,85*4x4)= 4,94 pulg el primer 4 es 4Ksi =f’c, el 2º es
bw.
c=a/β1=5,81 pulg
La profundidad del bloque de compresión entre aletas
(flange) y alma (web) es de 5,81 pulg.
Se debe hacer otro chequeo para determinar si la viga
puede ser considerada de tensión controlada.
En la figura 1 tenemos dt =19,64 cm
dt es la distancia desde la fibra externa del bloque
de compresión, hasta el acero a tracción extremo (los cables que están en la
línea de abajo)
c/dt=5,81/19,64=0,295<0,375
Como es menor que 0,375, para ε>=0,005, confirma que este caso puede ser considerado como una viga
pre tensada de tensión controlada y Φ=0,9.
El momento resistente de esta sección viene dado por
la fórmula (19.14b)
Mn=Apwfps(dp-a/2) +0,85f’c(b-bw) hf(dp-hf/2) (19.14b)
Mn=0,271x248*(17,19-2,47) +0,85x4*(12-4) *4,5*(17,19-2,25)
=2818 Kips-pulg (momento en miles de libras – pulg) = 235 Kips - pie
Y finalmente el momento de diseño es ΦMn=0,9*235= 2818
kips pulg =211 Kips – pie
Nota: Si comparado este momento, ΦMn con el momento
Mo+ Md+Ml de diseño, resulta inferior, debemos de hacer una de dos cosas, o
aumentar la sección o aumentar cableado.
Hice una hoja de Excel que permite calcular, para la
sección I de la figura 1el área, el centroide, el momento de inercia. No sé
cómo introducir esta hoja de Excel en el blog, pero está a disposición de quien
la necesite.
Cómo ya se indicó, este ejercicio viene complementado
con una hoja de Excel, que para la sección de la figura 1, nos permite calcular
su área, su centroide y su momento de inercia respecto del eje centroidal xx.
Juan Fernando Sanín E
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