4 problemas curiosos relacionados con los conceptos de función y límites al infinito

 

Jardín, agosto 2021

Cuatro problemas relacionados con los conceptos de función y límites

 

                    1.  Si f ((x + 1) /x) = x - 1/x                                   (1)

Hallar f(x)

Cambiemos de variable (x + 1) /x = u                     x = 1/ (u – 1)

Reemplacemos en (1):

f(u) = 1/ (u – 1) – 1/ (1/(u – 1)) = 1/ (u – 1) – (u – 1) =

f(u) = (-u² +2u) / (u -1)

Como la función es independiente de la variable escogida, la solución es:

f(x) = (-x² + 2x) / (x – 1)

         2.    Si f (2a) + 2f(b) = f (f (a + b))                                                  (1)

 

Hallar f(x),        x pertenece a los reales.

Hagamos a= 0

f(0)+ 2f(b) = f(f(b)                observar que esto nos muestra que f(f(x)) = f(0) +2f(x)  

Hagamos a = 1

f(2) + 2f(b) = f(f(1 + b)                   (2)      por lo encontrado en (1)

f(f(1+ b)) = f(0) + 2f(1 + b)                   la (2) queda

f(2) + 2f(b) = f(0) + 2f(1 + b)                 podemos cambiar b por x

f(2) + 2f(x) = f(0) + 2f(1 + x)                 y          f(x +1) - f(x) = (f(2) – f(0))/2 = k

Significa que, para todo x real, f (x + 1) – f(x) = K     una constante.

 Fig 2 - 1

Si Para todo x de los reales, se da lo mostrado en esta gráfica, la única solución es que f(x) sea una línea recta de pendiente k          f(x) = kx + h

Utilicemos  este resultado en la  ecuación (1):           (f(2) – f(0))/2 = k

k(2a) +h + 2(kb + h) = f (k(a + b) +h) = k [k(a + b) + h] + h

2k (a + b) +3h =(k^2)(a + b) + kh + h   y la única forma de que se de esta igualdad es que

2k = k^2       (2)                                  y       3h = kh + h         (3)

la (2) nos da dos soluciones k = 2 y k = 0

Llevemos la primera solución k = 2, a la ecuación (3):  3h = 3h , lo cual nos indica que cualquier valor real de h es aceptable.   por tanto, una solución es f(x) = kx + h, sin importar h.

con k = (f(2) – f(0))/2  

Llevemos la solución k = 0 a la (3); 2h = 0    o sea h = 0      La segunda solución es 

f(0) = 0

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com