vigas pretensadas 1

 

Medellín, agosto 2020

 

 

 

 

Resistencia a la flexión de una viga pre tensionada en I

 

La viga pretensada I, mostrada en la figura 1, es pre tensionada utilizando 5 cables de ½ pulg, grado 270, de baja relajación, logrando una presión efectiva Pe=160 Ksi. Resistencia del concreto f’c=4ksi.

Calcular el momento resistente ΦMn

 

Fig 1

 

Viga en I

El ejercicio escogido, es del libro de Design Concrete Structures, Arthur H Nilson, David Darwin, Charles W. Dolan, Edición 14m página 669. Me pareció importante traducirlo y presentarlo, principalmente, porque utiliza un poco de fórmulas de ACI, en inglés y unidades inglesas especiales, por ejemplo, momentos en inch Kips (kilo libras – pulg). Si tuviéramos un caso particular, utilizamos para todo, las unidades métricas, pero para los chequeos del cable tensionado, debemos trabajar con f’c, fy, en Kpsi y las unidades métricas en pulgadas (inches).

 

 

Datos

 

Concreto de f’c=4000 psi

Cables de acero grado 270, de ½ pulg de baja relajación

 

b1	12
b2	12
h	24
h1	4,5
h2	4,5
bw	4
b3	4
b4	4
π/6	0,5236
tan(π/6)	0,57735027

 

Pe, presión efectiva 160ksi.

 

Nota: Cuando una viga de concreto pretensada falla por flexión, el pre esfuerzo del acero fps es mayor que la presión efectiva fpe, pero inferior a la presión fpu. Si la presión efectiva fpe=Pe/Aps es mayor que 0,50fpu, ACI código 18.7.2, permite utilizar ecuaciones aproximadas para fps, que son las que se van a tratar en este blog.

 

La presión efectiva, 160 ksi, está por encima de 0,5*270=135, por tanto, las ecuaciones aproximadas del ACI son aplicables. Estas ecuaciones las vamos a mencionar en la medida que vayan utilizando.

La relación del esfuerzo de refuerzo es

 

ρ_p=0,765 pulg 2/ (12x17,19 pulg 2) = 0,0037

 

 ρ_p = Aps/bdp;   dp la profundidad efectiva de la viga desde el centroide de los cables pretensados.       (19.6) (dp profundidad efectiva de los cables, ver figura 1)

Pág. 667 Diseño de estructuras de Concreto Nilson, Darwin, Dolan 14 Edición.

 

Un cable de ½” de 7 torones tiene un área de 0,153 pulg2/torón. Los 5 cables tendrán un área de 0,765 pul2

 

El centro de los cables está a una distancia del centroide de la sección en I, a 5,19 pulg, la profundidad efectiva del cable es 12+5,19=17,19 pulg.

 

El esfuerzo fps cuando la viga se halla en flexión se encuentra de la ecuación (19.6) pg. 667

 

fps=fpu (1-(γ_p ρ_p f_pu) /(β₁f’c))                (19.6)

 

Donde ρ_{p ya} había sido definida.

Gama γ_{p=0,55 para fpy/fpu >=0,8 barras de refuerzo comunes}

                    _{0,40 para fpy/fpu >=0,85 torón estándar}

                     _{0,28 para fpy/fpu>=0,9 torón} de baja relajación como es el caso.

 

fpu=270 Ksi

 

En La fórmula (19.6), para fps, los esfuerzos están dados en ksi. 1 ksi = 1000 lb/pulg2

 

β1 Relaciona la profundidad del rectángulo equivalente, bloque de esfuerzos de compresión, con la profundidad del eje neutro. Es iguala 0,85 para f’c<=4000 psi y se reduce 0,05 por cada 1000 psi por encima de 4000 psi.

Aplicando la (19.6)

 

fps=270(1-(0,28*0,0037*270) / (0,85*4)) =248 psi

 

Nota: Si estamos trabajando con unidades diferentes a las inglesas, a la hora de aplicar la fórmula (19.6) y las que siguen, es conveniente, transformar nuestras unidades métricas a inglesas y el esfuerzo del cable a ksi.

 

Es necesario chequear si la profundidad del bloque de esfuerzos de compresión del concreto es mayor o menor que el espesor de la aleta (flange), de 4,5 pulg en este caso.  Se utiliza la ecuación (19.10)

 

a=Apfps/(0,85f’c*b)=0,765*248/(0,85*4*12)=4,65

 

Se concluye de esta prueba, que el bloque de compresión tiene parte en el alma de la viga, así la prueba no es válida y ecuaciones del ACI para aletas deben ser usadas. El código dice que no toda el área del refuerzo de los cables, se puede utilizar o actúa para comprimir las aletas. Debemos utilizar la fórmula (19.12). El área a pre tensar es dividida o en dos partes para propósitos computacionales. La primera parte Apf, provee la fuerza que balancea la compresión en las áreas de las aletas. Así

 

Apf=0,85(f’c/fps) (b-bw) hf                  (19.12)

 

La remanente área pre tensada producirá compresión en el alma.

 

Apw=Aps-Apf                                       (19.13), provee la fuerza para balancear la compresión del concreto en el alma.

 

Apf=0,85*4*(12-4)*4,5/248 = 0,494 pulg2

 

Y de la ecuación (19.13)

 

Apw=0,765-0,494=0,271 pul2

 

La nueva profundidad del bloque de compresión es encontrada con la ecuación (9.15)

 

a=Apwfps/ (0,85f’c bw)                 (9.15)

 

a=0,271x248/(0,85*4x4)= 4,94 pulg                 el primer 4 es 4Ksi =f’c, el 2º es bw.

 

c=a/β1=5,81 pulg

 

La profundidad del bloque de compresión entre aletas (flange) y alma (web) es de 5,81 pulg.

 

Se debe hacer otro chequeo para determinar si la viga puede ser considerada de tensión controlada.

 

En la figura 1 tenemos dt =19,64 cm

 

dt es la distancia desde la fibra externa del bloque de compresión, hasta el acero a tracción extremo (los cables que están en la línea de abajo)

 

c/dt=5,81/19,64=0,295<0,375

 

Como es menor que 0,375, para ε>=0,005, confirma que este caso puede ser considerado como una viga pre tensada de tensión controlada y Φ=0,9.

 

El momento resistente de esta sección viene dado por la fórmula (19.14b)

 

Mn=Apwfps(dp-a/2) +0,85f’c(b-bw) hf(dp-hf/2)                                    (19.14b)

 

Mn=0,271x248*(17,19-2,47) +0,85x4*(12-4) *4,5*(17,19-2,25) =2818 Kips-pulg (momento en miles de libras – pulg) = 235 Kips - pie

 

Y finalmente el momento de diseño es ΦMn=0,9*235= 2818 kips pulg =211 Kips – pie

 

Nota: Si comparado este momento, ΦMn con el momento Mo+ Md+Ml de diseño, resulta inferior, debemos de hacer una de dos cosas, o aumentar la sección o aumentar cableado.

Hice una hoja de Excel que permite calcular, para la sección I de la figura 1el área, el centroide, el momento de inercia. No sé cómo introducir esta hoja de Excel en el blog, pero está a disposición de quien la necesite.

 

Cómo ya se indicó, este ejercicio viene complementado con una hoja de Excel, que para la sección de la figura 1, nos permite calcular su área, su centroide y su momento de inercia respecto del eje centroidal xx.

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Función de Lambert II

Medellín, julio 2020

La función W de Lambert

Dibujar la gráfica de:

y=f(x)=xe^x                                                              (1)

1º) Dominio: la x puede tomar cualquier valor en los números reales. Reales

2º) Interceptos. Hay uno obvio, para x=0; y=0

3r) Asíntotas:

Lim f(x) cuando x tiende a infinito es infinito.

Lim f(x) cuando x tiende a menos infinito. Aquí si hay más problemas.

4º) Puntos críticos.

f’(x)=x(e^x)+(e^x)*1 =e^x(x+1) = 0                             (2)

Esta derivada sólo puede ser 0 cuando x=-1

Cuando x es cercano a -1 por la izquierda, la f’(x) es negativa.

Cuando x es cercano a -1 por la derecha, la f(x) es positiva.

Por tanto, se trata de un mínimo relativo.

Cuando x=-1, y=-1e^(-1)=-1/e,  el punto crítico es (-1,-1/e) y es un mínimo relativo.

5º) Curvatura.

f’’(x)=(e^x)*1+(x+1)(e^x)=( e^x)(x+2)

f”(x)=0, para x=-2. Para valores de x=-2 por la izquierda, f” <0, f(x) tiene concavidad hacia abajo. Para x=-2 por la derecha, f”>0, f tiene concavidad hacia arriba.

Con estos elementos podemos armar el rompecabezas. El resultado es una curva como la que se indica:

Fig 1

Concluimos, además:  Dominio de f = Los reales

Rango de f = (-1/e, ∞)

Estrictamente, la función x(e^x) no debe tener inversa. No obstante, si limitamos su dominio si puede tener.

Entre (-1, ∞) la rama de f es ascendente, (este sector es inyectivo o uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, ∞); por tanto, f puede tener una función inversa Wo, cuyo dominio es (-1/e, ∞) y cuyo rango es el conjunto (-1, ∞).

Entre (-∞, -1), la rama de f es descendente, (este sector es inyectivo o uno a uno). En este dominio su rango es (-1/e, 0); por tanto, f puede tener una función inversa W^-1, cuyo dominio es (-1/e, 0); y cuyo rango es el conjunto (-∞, -1).

Wo y W^-1 son las inversas de f en dominios excluyentes, son las funciones de Lambert, siendo Wo, la más representativa.

El gráfico de Wo y W^-1, se puede obtener a partir del gráfico de f, y de la recta y=x. Wo y W^-1 son simétricas de f respecto de la recta y=x.

Gráfica 2

Las funciones Wo(x) y W-1(x), se muestran en forma aislada en la gráfica 3

Gráfica 3

Ahora tiene sentido las respuestas de los ejercicios 1 y 2, del blog anterior, en donde las soluciones para la x eran

x=e^(W(ln5))         y

x=2 W(3/2)

Cálculo del valor de W(k)

k está en el intervalo (-1/e, ∞), y vamos a utilizar la rama Wo

Buscamos un valor aproximado para W(k), para el valor de k, en la gráfica 3.

En la gráfica W tenemos el punto (k, W(k)), o para mayor claridad el punto (k, W)

En la gráfica f tenemos el punto (W, k).

f(W)=W(e^W)

Creamos la función g(w)=f(W)-k

La solución a la ecuación g(W)=f(W)-k=0         o         g(W)=W(e^W )– k =0      (3)

la hallamos por el método iterativo aproximado de Newton.

g(W) = W(e^W) – k

Derivada de g con respecto a W;   g’(W)=W(e^W)+1*(e^W) = (e^W)(W+1)       (4)

Se realiza por tanteo iterativo. Escogemos un valor Wo, cercano al que nos entrega la gráfica 3.

Luego calculamos un valor W1 así:

W1=Wo-g(Wo)/g’(Wo) =Wo-((Wo(e^Wo)-k)/((Wo+1)(e^Wo))                           (5)

Determinamos la precisión con la cual queremos obtener el resultado, digamos 6 cifras decimales.

Si Abs(W1 – Wo)<0,000001, el valor W1 es suficiente. En caso contrario encontramos W2 con la misma fórmula.

En general obtenemos

Wn+1 = Wn -((Wn(e^Wn)-k)/((Wn+1)(e^Wn)                                                    (6)

Hasta que Abs(Wn+1 – Wn) sea menor que la precisión establecida, en ese caso

Abs(Wn+1 – Wn)<0,000001 y ahí damos por terminado la búsqueda del valor de W(k)

Diagrama de flujo para la calculadora programable, de cualquier marca.

Nota: Si queremos que el proceso iterativo se pegue de Wo, el valor inicial Wn debe ser >0. Para que se el proceso se agarre de la rama W-1, debemos iniciar con W=-2 o menores.

Juan Fernando Sanín E

función de Lambert 1

Medellín, julio 2020

La función W de Lambert y ecuaciones con exponentes variables.

y=f(x)=xe^x

La función W de Lambert es la inversa de la función xe^x

No obstante, para que xe^x tenga inversa, se requiere que sea una función 1 a 1. Como se ve en la gráfica (cuyo trazado discutiremos más adelante), la función xe^x no es inyectiva (uno a uno). En su dominio, que son todos los números Reales, hay un mínimo relativo en (-1,-1/e) y realmente la función tiene dos ramas; la primera, desde -∞, hasta x=-1, es decreciente y entre -1 y + ∞ es creciente. 

Más adelante, cuando hagamos un proceso para dibujar la gráfica de xe^x, veremos que el mínimo relativo (que en este caso será también mínimo absoluto) ocurre en el punto (-1,-1/e); estrictamente, la función no tiene inversa en su dominio, pero si limitamos el dominio de la función a (-1/e, ∞), la rama creciente, si podemos obtener una inversa que llamaremos Wo, o W, y esa es la función de Lambert.

Igualmente, si limitamos el dominio de f a (-∞, -1), también tendríamos una función inversa que llamaremos W_-1

A título informativo presentamos la gráfica de la función f(x)=xe^x

Fig 1

f(x)=xe^x                                          (1)

y=f(x)=xe^x

Supongamos que f(x) tenga inversa, la cual llamaremos W:

W(y)=f^-1(y)=x

W(xe^x) = x                                      (2)

La inversa de f(x) es f^-1(x)=W(x); no es posible hallarla por medio de despejar la x en términos de y, y luego intercambiar las x e y. Más aun, hoy no se sabe cuál es la fórmula de W(x).

De acuerdo con lo dicho en la introducción, W(x) existe (Wo(x)) y veamos su aplicación:

Resolver la ecuación:

x^x=5

Saquemos ln a ambos lados de la ecuación.

Ln(x^x) =ln5;                                                     (ln5=1,609438)

Cambiamos la x del exponente por e^lnx

Ln(x^(e^lnx) )= ln5

Por propiedades de los logaritmos

(e^lnx) Lnx= ln5                                                      (3)

Si pensamos que u=lnx, la ecuación (3) quedará así:

ue^u = ln5                                  Vemos que la expresión se vuelve igual a la (1)

Por tanto, W(ue^u)=W(ln5) y de acuerdo con la ecuación (2)

W(ue^e^u)=u=lnx=W(ln5); y

x=e^(W(ln5))

y la ecuación quedó resuelta.

El problema es que no sabemos cuánto vale W(ln5) y antes de la entrada de los computadores, los softwares de matemáticas y las calculadoras programables, era muy difícil evaluar W(ln5). Hoy no es así; por tablas, o por programas de computador o por calculadoras programables, es sencillo encontrar W(ln5)

Voy a mi calculadora programable y encuentro      W(ln5) =0,755827

x=e^0,755827 =2,129372

Y chequeamos la ecuación original, a ver si el valor encontrado de x es correcto.

2,129372 ^2,129372=4,9999957 aprox = 5 y vemos que la solución es correcta.

La inversa de la función xe^x, en dominio (-1, ∞), es la función de Lamber =W y esta función W de Lambert, cuya principal propiedad es que W(xe^x)=x, es útil para resolver ecuaciones con exponenciales variables, como el ejemplo anterior.

Otro ejemplo. Resolvamos la ecuación:

xe^(x/2) = 3

Dividamos por 2 ambos lados de la ecuación.

(x/2)e^(x/2)=3/2

Como en el ejercicio anterior

W((x/2)e^(x/2) )= x/2 = W(3/2)

Voy a mi calculadora y busco el valor de W(3/2) =

W(3/2)=0,725861=x/2

x=1,451722

Chequeemos la solución:

1,451722 e^0,725861=2,999907≈3 , que es la ecuación propuesta.

Para terminar, en el próximo blog, dibujaremos la función xe^x y las ramas W-1 y Wo y enseñaremos a calcular W(a) para cualquier valor. Igualmente, dibujaremos la función          f ^-1(x), porque para determinar el valor W(k), vamos a la gráfica de Wo y escogemos un valor cercano, ya que el método para hallar W(k) se utiliza un proceso iterativo.

Juan Fernando Sanín E