Operaciones elementales con matrices y obtención de la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan

 

Medellín, enero 2022

 

 

Operaciones elementales con matrices y obtención de la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan

Operaciones elementales con matrices

Equivalencia de matrices no significa igualdad de matrices.

Ejemplo: Miremos la ecuación matricial

Su matriz ampliada es:

Supongamos cierto el siguiente teorema:

Dos sistemas de ecuaciones lineales tienen la misma solución si, y sólo si, sendas matrices ampliadas son equivalentes.

Las matrices elementales fila son:

·         Es(a): Multiplica la fila s de I por un escalar a no nulo.

Es(a). Es la matriz identidad pero con el escalar a en la posición (s,s).

·         Ers(a): es la matriz identidad modificada, donde la fila r es adicionada con la fila s multiplicada por el escalar a (Sólo la fila r de I es modificada)

·         Ers: es una matriz identidad en la cual hemos intercambiado las filas r y s

Si una matriz Anxn es multiplicada por la matriz elemental Es(a)nxn, el efecto real es que la fila s de A queda multiplicada por a

Si una matriz Anxn es multiplicada por la matriz elemental Ers(a)nxn, el efecto real es que la fila r de A queda igual a la fila r original + a veces la fila s, (en cada elemento o entrada)

Si una matriz Anxn es multiplicada por la matriz elemental Er,s nxn, el efecto real es que la filas r y s de A se intercambian. 

Veamos cómo funcionan estas matrices elementales y las operaciones elementales. 

 Ejemplo 1. Si una matriz Anxn es multiplicada por la matriz del mismo orden Er(a) el efecto es que la columna r de la matriz A, queda multiplicada por A.

Luego, comenzamos a multiplicar ambas matrices A e I por sucesivas matrices elementales, hasta que la matriz A la hallamos convertido en una matriz I y la matriz I en una matriz B. Las operaciones elementales las hemos hecho en el orden E1, E2,........,En 

E_n E_n-1 E_n-2………. E₃E₂E₁ A = I

E_n E_n-1 E_n-2………..E₃E₂E₁ I = E

EA = I          por tanto E es la matriz inversa de A           E = A^-1           A^-1 A = I 

Qué pasó con la matriz I después de multiplicarla por E

EI = C

Que implica que E = C y que C = A^-1

Ha quedado demostrado que, con el método Gauss Jordan y la multiplicación de la matriz ampliada A/I por matrices elementales E, convertimos la matriz ampliada A/I en la matriz ampliada I/C y que C es la inversa de A.

Ejemplo 1

Algunas definiciones y propiedades relacionadas con las matrices.

 

1.Si E es una matriz elemental fila (F una matriz elemental columna)

E^t es la matriz transpuesta de de la matriz E, en la cual la columna j, corresponde a la fila j de la matriz E. En la transpuesta de E las filas son las columnas de E.

detE = det E^t, donde E^t es una matriz en la cual, la columna j corresponde a la fila j de la matriz E (Las columnas de E^t son las filas de E)

2. Si A es una matriz nxn, detA = det A^t, donde A^t es la matriz transpuesta de A, que es la una matriz tal que, su primera columna es la primera fila de A, su columna j es la fila j de A, para todo j. La matriz transpuesta de A llamada A^t es la misma matriz A, donde las filas de A^t son las columnas de A.

3. Si una matriz Anxn tiene dos filas o dos columnas iguales, el detA = 0

4. El cofactor del elemento a_ij de A es igual a

A_ij = (-1) ^i+j det M_ij y M_ij es la matriz (n-1) (n-1) que se obtiene eliminando la fila i y la columna j.

Ejemplo 2

Ejemplo de cofactor

5. Se llama singular a una matriz nxn, cuyo determinante sea igual a 0

Cualquier matriz Anxn cuyo determinante sea # de 0 se llama no singular

6. En general, un determinante se resuelve con la siguiente fórmula:

Anxn es la matriz, cuyo elemento típico es a_ij       i de 1 a n y j de 1 a n

Por filas, escojamos la fila general i

Det A = a_i1A_i1+a_i2A_i2+             +a_ikA_ik+…….+a_inA_in; todos los Aik son los cofactores de cada entrada a_ik ;     i y k de 1 a n

Por columnas, escojamos la columna k

Det A= a_1kA_1k+a_2kA_2k+            +a_jkA_jk+          +a_nkA_nk

Lo anterior no es una definición, sino una propiedad que hay que demostrar, pero aquí estamos haciendo un recorderis y no lo vamos a demostrar.

Continuamos con el ejemplo 2. Sea la matriz A, que habíamos definido en (1) del ejemplo 2.

Vamos a encontrar el determinante de A, por medio de la fila 1

detA = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃

Det A=1x (-8) +(-1) x8 + 2x (-8) = -32                                                                  (3)

Si lo resolviéramos por la columna 1

detA = a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+a₃₁A₃₁

=1x (-8) +3(-7) +1(-3) = -8-21-3 = -32

Matriz adjunta de A.

La matriz adjunta de A, llamada  A_ad, se define como la matriz traspuesta de la matriz de cofactores.

La fila i de la matriz de cofactores de A es Ai1, Ai2, Ai3,.....         Aik,        Ain

La columna i de la adjunta de A será Ai1, Ai2 ,Ai3,.........              Aik,        Ain

Con la matriz A del ejemplo 1 aclararemos esto.

Tratando de generalizar, hagamos el producto B = A Aad

Primero busquemos el termino b11 de B

Fila 1 de A x columna 1 Aad

=a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ +                                        +a_1nA_1n = det A

Calculemos b22

Fila 2 de A x columna 2 Aad

=a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂ +………………………...      +a_2nA_{2n = det A}

Y así podríamos seguir con todos los elementos de la diagonal de b, bii y en todos descubriríamos que el valor de estos es det A.

Hallemos bij   cuando i·es diferente de j (entradas que no son de la diagonal)

b₁₂ se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 2 de Aad. I=1 , j=2

=a₁₁A₂₁ + a₁₂A₂₂ +                  + a_1nA_2n                                          (9)

Veamos una matriz modificada de A que llamaremos A’ en la cual la fila 2, la reemplazamos por la fila 1

Si resolvemos el determinante de A’ por su fila 2, observamos que el resultado es el siguiente:

Det A’ =a₁₁A₂₁ + a₁₂A₂₂ +                  + a_1nA_2n                                 (10)

La expresión (9) = expresión (10)

Como la matriz A’ tiene dos filas iguales (la 1 y la 2), su determinante es igual a 0

Por tanto, b₁₂ = 0

Podríamos hacer el mismo ejercicio para b21 (fila 2 de A, i=2 x columna 1 de Aad, j=1), llegamos a la misma conclusión. b₂₁=0

Tratemos de generalizar:

bij con i diferente de j. fila i de A x columna j de Aad

fila i de A = a _i1, a_i2, a_i3,………   a_in

Columna j de Aad = (A_j1, A_j2, A_j3,                       ,A_jn)             

El termino b_ij de B será:

= a_i1A_j1 + a_i2A_j2 + ……………………………..+ a_inA_jn                       (11)

Creamos una matriz A’, que es la matriz A modificada, en la cual la fila j la cambiamos por la fila 1.

Si resolvemos el determinante de A’ por su fila j, obtendríamos una suma igual a la que tenemos en la expresión (11) y con un argumento similar al que expusimos en (10), concluimos que si i y j son diferentes, entonces b_ij =0