Matemáticas discretas

 

Medellín, noviembre de 2021

 

Matemáticas discretas

 

Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas que tienen como objetivo el estudio de elementos finitos o infinitos, siempre que estos sean numerables.

Las matemáticas discretas se centran en los procesos numerables y, por eso, una de sus herramientas son los números naturales. Por tanto, los decimales, las aproximaciones o los límites no son tenidos en cuenta.

En las matemáticas discretas, en una función, el dominio, el rango o ambos son los números enteros.

La matemática discreta es la base fundamental de la computación ya que se encarga de estudiar conjuntos finitos o infinitos numerables y explicar fenómenos discretos y/o procesos finitos involucrados con los mismos. 

Principales funciones discretas

 

Función piso (floor o suelo). En los programas de matemáticas normalmente se llaman floor(x)

Para cada número real x el piso x es el mayor entero que es menor o igual que x: ⌊ x ⌋

⌊ 3,2 ⌋ = 3

⌊ -3,2 ⌋ = -4

⌊ 5 ⌋ = 5

⌊− 1.3 ⌋ = − 2

 

Para cada número real x el techo x es el menor entero que es mayor o igual que

x: ⌈ x ⌉

⌈ 4.3 ⌉ = 5

⌈ 0.19 ⌉ = 1

⌈ 6 ⌉ = 6

⌈− 20.3 ⌉ = − 20

 

Función parte decimal (función mantisa de x)

{x} = x - ⌊ x ⌋   dominio los reales R, rango: los enteros Z

 

Función especial

y=f(x)                       f(x)=1      si floor(x) o ⌊ x ⌋ es par

                               f(x) = -1  si floor(x) o ⌊ x ⌋ es impar

 

En esta función el dominio son todos los reales R, mientras que el rango son los números -1 y 1

 

Gráficos de las funciones piso y techo

Fig 1 funciones piso y techo

 

Gráfico de la función especial

 

f(x) = 1            si ⌊ x ⌋ es par y x es un número real

f(x) = -1           si ⌊ x ⌋ es impar y x es un número real

Figura 2, grafico de la función que hemos llamado especial. 

Gráficos de otras funciones discretas

Figura 3 Gráfico de ⌊ sin(x) ⌋

Figura 4 Gráfico de ⌊ x²+1⌋

Figura 5, gráfica de la función mantisa y= {x} =x -⌊ x⌋

 Figura 6 Gráfico de ⌊e^x - 2⌋

El problema, es que las funciones discretas no se quedan en sus gráficos, sino que, rápidamente, se complican. Limitaremos su estudio a la resolución de algunas ecuaciones en las cuales se involucra la función piso. (Floor(x))

 

Ejemplo 1

 

Resolver la ecuación ⌊ 2x ⌋ + ⌊ x ⌋ =7

 

⌊ 2x ⌋ = 7 - ⌊ x ⌋                                                                                         (1)

 

⌊ 2x ⌋ = 7 - ⌊ x ⌋ = n                                                                                   (2)

 

El n mencionado debe cumplir tanto para ⌊ 2x ⌋, como para ⌊ x

 

Por tanto

 

n<=x<n+1                                                                             (3)

7 – n <=2x< 8 – n                                                                 (4)

⌊ 2x ⌋ =7 - n significa que          7 -n <=2x<8 – n                  (5)

O lo que es lo mismo

 

(7 –n) /2 <=x< (8 – n)2                                                         (6)

 

Si observamos la (3) y la (6), podemos establecer las siguientes dos desigualdades para encontrar n

 

(7 –n) /2<n+1       (resolvamos antes de encontrar la otra desigualdad

 

7 – n <2n + 2                           5<3n         3n>5         n>5/3 = 1,666..

 

La otra desigualdad que establecemos de mirar la (3) y la (5) es:

n< (8 – n) /2

2n<8 – n                                    3n<8                       n<8/3=2,666.

Interceptando el resultado de estas dos desigualdades vemos que el único n posible es n = 2

Llevemos este valor a la ecuación (3)          2>=x<3          [2, 3)        (7)

Ahora lo llevamos a la ecuación (6)

5/2<=x<3                                                              [5/2, 3) = [2,5, 3)     (8)

La intersección de (7) y (8) es el intervalo [5/2, 3) y esta es la solución a la ecuación discreta.

Ensayemos con x= 2,4          Lado izquierdo ⌊ 2(2,4) ⌋ = ⌊ 4,8 ⌋ = 4

Lado derecho 7 -⌊ 2,4 ⌋ = 7 – 2 = 5       luego x= 2,4 no es solución

Ensayemos con x= 2,6          Lado izquierdo ⌊ 2(2,6) ⌋ = ⌊ 5,2 ⌋ = 5

Lado derecho 7 -⌊ 2,6 ⌋ = 7 – 2 = 5       luego x= 2,6 si es solución

 

Figura 7 Solución de ⌊ 2x ⌋ = 7 -⌊ x ⌋

 

Ejemplo 2

 

Resolver la ecuación. (Sólo para valores de x reales positivos.

 

⌊ x² + 1 ⌋ = ⌊ 2x ⌋

 

Apliquemos la definición de función piso a ambos lados de la ecuación.

 

n<= x² + 1 <n+1                                                                                      (1)

n -1<=x²<n                                                                                              (2)

 

Para ⌊ 2x ⌋   

 

n<=2x<n+1                                                                                             (3)

n/2<=x<(n+1) /2                                                                                      (4)

Tratándose de x>=0, es válido elevar al cuadrado

La ecuación (2) la convertimos en

√(n-1) <=x<√n                                                                                         (5)

Observando simultáneamente las ecuaciones (4) y (5), podemos establecer las siguientes desigualdades para n

 

n/2<√n                                                                                                    (6)

√(n-1) <(n+1) /2                                                                                      (7)

Resolvamos la (6)

 

n²/4<n                                        n<4                                                      (8)

 

Resolvamos la (7)

 

n-1<(n+1)²/4            4n – 4< n²+2n+1             0<n²-2n+5     y    n²-2n+5>0

 

n=0                                       la (2) nos indica que no hay solución para x

n=1                                       n²-2n+5 = 4        cumple

n=2                                       n²-2n+5 =5         cumple

n=3                                       n²-2n+5 =8         cumple

 

n²-2n+5 = n²-2n+4+1 = (n-2)²+1>0 para todo n                                    (9)

Interceptando las soluciones dadas en (8) y (9) vemos que las n que cumplen son n=1, n=2, n=3

n=1   Apliquemos este valor a las (4) y (5) y encontramos la solución, haciendo la intersección del intervalo que encontramos para la (4) y para la (5)

n/2<=x<(n+1) /2                                                                                       (4)

√(n-1) <=x<√n                                                                                          (5)

½<=x<1                                       [1/2, 1)    

0<=x<1                                        [0, 1)        la intersección es [1/2, 1)    

n=2

1<=x<3/2                                      [1, 3/2)

1<=x<√2                                       [1, √2)       la intersección es [1, √2)

n=3

3/2<=x<2                                      [3/2, 2)

√2<=x<√3                                       [√2, √3)       la intersección es [3/2, √3)

Figura 8. Solución de floor(x^2+1) = floor(2x)

Integrales de una función discreta.

Como regla general lo que se debe hacer es dibujar la función piso, o techo o mantisa o la que sea y se integra en los tramos en los cuales haya continuidad. Expliquemos esto con el ejemplo más sencillo: integrar floor (x) entre 0 y 4

Dibujamos la función ⌊ x⌋

Figura 9 integral de la función floor(x) entre 0 y 4 

Integramos así 1) entre 0 y 1, luego entre 0 y 2, luego entre 2 y 3 y finalmente, entre 3 y 4. Los resultados son 1+2+3=6

 

Si se nos presenta otra integral con variable discreta, primero la dibujamos.

Ejemplo: integrar y=floor(sin(x)), entre o y 4       (radianes)  

La figura de floor(sin(x)) sólo tiene como rango dos valores: -1 y 0

Fig 10 Integral de floor(sin(x)) entrre 0 y 4

Resultado = π - 4

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com