1.    Límite de una función escalar z=f(x,y)

Sea Q(xo,yo) un punto de R², no necesariamente en el dominio de f

En una bola abierta con centro en Q (En este caso una circunferencia, tal como se muestra en la figura 1), tomamos un punto Q1(x,y) en el dominio de f, y en las cercanías de Q(x,y)=(xo+h,yo+k)

Si al acercarnos con el punto Q1 al punto Q, todo lo que queramos, pero sin llegar a que coincidan, el valor de f(x,y) siempre es cercano a un valor real L, entonces decimos que:

Lim f(x,y) = L

(x,y)→(xo,yo)

2. Continuidad de la función z=f(x,y)

Decimos que la función f(x, y) es continua en el punto Q(xo,yo) si se dan las siguientes tres condiciones:

i)              Lim f(x,y)              Existe

                     (x,y)→(xo,yo)

ii)             f(xo,yo) = L

iii)            Lim f(x,y) = f(xo,yo) = L

                     (x,y)→(xo,yo)

Ejemplos

1.Calcular lim (x+2y)

                   (x,y)→(1,2)

Basta reemplazar la x por 1 y la y por 2 y el resultado del límite es  lim (x+2y)=5

                                                                                                           (x,y)→(1,2)

2.Calcular lim (cosx+1/y) cuando (x,y) → (0,0)

Al reemplazar encontramos lo siguiente cos0 + 1/0

Como 1/y cuando y→0 no existe, entonces el límite no existe.

En el ejemplo 1 se concluye además, que la función es continua en (1,2)

Mientras que en el ejemplo 2 se concluye que la función es discontinua en (0,0)

      3. Límite de la función escalar z=f(x1, x2,……….xn)

Se trata de una función de Rⁿ en R, en la cual, a cada vector x=(x1, x2,…,xn) le corresponde un valor único z real en R.

Aquí ya no es posible hacer un gráfico del problema.

Tomemos un punto Q(xo1,xo2,….,xon), no necesariamente en el dominio de f, este punto es el vector xo

Ahora tomamos otro punto Q1, este si en el dominio de f y en las cercanías de Q.

x=(x1,x2,…..,xn) = (xo1+h1, xo2+h2,…..,xon+hn)

Ahora bien, acercamos el vector x al vector xo, lo cual se logra haciendo que las componentes del vector h = (h1, h2, ….,hn) se hagan tan pequeñas como queramos, pero no 0.

Es decir, arrimamos el punto Q1 hasta el punto Q todo lo que queramos, pero sin hacerlos coincidir.

Si al hacer esto, el valor de la función f(x1,x2,….,xn) toma valores cercanos a L y más cercanos mientras mas acerquemos Q1 a Q, decimos de manera intuitiva que:

Lim f(x1. x2, …,xn) = L

         x→xo

4. Continuidad dela función escalar   z=f(x1, x2,……….xn)

Para que una función f(x1,x2, …..,xn) sea continua en punto (xo1,xo2,      ,xon) se requiere que se cumplan tres condiciones:

i)lim f(x1,x2,….,xn) Existe

         x→xo

ii)f(xo1, xo2,….,xon) = L

iii)lim f(x1,x2,….,xn) =f(xo1, xo2,….,xon)

           x→xo

Ejemplo

Calcular el límite de la función f(x, y, z) =x²+y+cosz, cuando (x, y, z) →(1, 2, 0)

Basta reemplazar

Lim x²+y+cosz = 1²+2+cos0=4

(x, y, z) →(1, 2, 0)

En este caso también podemos concluir que la función es continua en (1, 2, 0)

     5. Funciones vectoriales

Una función vectorial generalizada es una función que toma un vector x en Rn y lo convierte en otro vector f(x) en en Rm

f:Rn→Rm

x→f(x)

x=(x1, x2,….,xn)

f(x) = (f1(x), f2(x),      , fm(x))

La función vectorial f es un vector cuyas componentes son (f1, f2,….,fm)

Para que la función vectorial f sea continua es necesario que todas sus funciones componentes lo sean.

Igualmente, si el dominio de f1 es D1, el de f2 es D2, y el de fm es Dm

El dominio de la función vectorial f será la intersección de todos los dominios D1ПD2П……..ПDm

Para que la función vectorial sea derivable en un vector xo, es necesario que todas las funciones f1, f2,…fm lo sean y tengan todas las derivadas parciales posibles.

Construyamos una matrix en la que las filas correspondan a las funciones fi y las columnas a las componentes xi del vector

Ejemplo

Calcular el límite de la siguiente función vectorial:

Lim (sen(πt/2) /t,( t²-1)/(1-t), e^-1/abs(t-1))

t→1

Lim (sen(πt/2) /t,-(t+1)(t-1)/(t-1), e^-1/abs(t-1))

t→1

=(1, -2, 0)

Ejemplo

Calcular el límite de la siguiente función vectorial:

Lim (xarctang xy, ln x/y, (x²-2xy+y²)/(x²y-y²))

r→ro

ro=(1, 1)

Lim (xarctang xy, ln x/y, (x²-2xy+y²)/(x²y-y³))

r→ro

Lim (xarctang xy, ln x/y, (x-y)²/(y(x+y)(x-y))

r→ro

Reemplazando obtenemos

=(π/4, 0, 0)

Ejemplo

Dada la siguiente función vectorial

F(x,y,z) =( e^xyz, xyln(xyz), tan^-1x²y²z²)

Encontrar la matriz Jacobiana.

En ro=(1,1,1), encontrar el incremento df si dr=(0,01,0,01,0,01)

Para encontrar la matriz Jacobiana debemos encontrar una matriz en que las filas son las derivadas parciales de f1, f2 y f3 respecto de x, y y z.

 

Ejemplo

V(xy, yz, xz) es una función vectorial que representa el flujo de un líquido.

│v│ en m/seg

Calcular la rapidez de crecimiento del flujo en el punto (4,2,2)

En la dirección de un vector espacial que forma un ángulo de 60^o con el eje x y 45^o con el eje y.

Primero encontremos el vector anterior.

u=(u1, u2, u3) unitario, forma un ángulo de 60º con el eje x y de 45º con el eje y.

u.i =│u│. │i│. cos 60^o = u1            Siendo u e i unitarios, la componente u1= ½

u.j = │u│ │ j│. cos 45º = u2 , por tanto        u2=√2/2

ui²+u2²+u3² = 1       Por tanto u3= ½

El vector u unitario para la derivada direccional es u = (1/2, √2/2, 1/2)

El próximo paso es encontrar la matriz Jacoviana de V