Problemas de optimización

Medellín Mayo 2011

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE UNA SOLA VARIABLE

Extremos relativos

Máximo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en c, f(c), si existe un intervalo abierto que contenga a c, para el cual se cumpla que:

f(c)> f(x) para todo x en el intervalo mencionado,

Figura 1

Máximos y Mínimos relativos de una función

Las figuras 1 a y 1 b nos muestran que en c hay un máximo relativo. Note que la definición no habla nada de la derivabilidad de f y mucho menos la tiene en cuenta.

Mínimo relativo

Una función f tiene un mínimo relativo en c, f (c) si existe un intervalo abierto que contenga a c, para el cual se cumpla que:

f(x)>f(c)

Para todo x en el intervalo mencionado.

Las figuras 1 c y 1 d nos muestran mínimos relativos en c

Note que la función f(x) de 1 d no es diferenciable en x=c

Punto crítico de una función

P(c, f(c)) es un punto crítico de una función f en un intervalo abierto que contenga a c, si y solo si

f’(x) = 0 o f’(x) no existe

En las figuras 1 a y 1 c, en c hay un punto crítico y la derivada f’(x) =0

En las figuras 1 b y 1 d, en c hay un punto crítico y la derivada f(x) no existe.

Criterio de la primera derivada para determinar si un punto crítico se trata de un máximo o de un mínimo.

Para este análisis nos remitiremos al caso de que el punto crítico se obtiene porque la derivada f’(c) = 0

Observemos la figura 2

Figura 2

Criterio de la primera derivada para determinar si un punto crítico se trata de un máximo o de un mínimo relativo.

En la figura 2 a podemos ver como la derivada de f, para valores de x en la cercanía de c, pero inferiores a c, es positiva, mientras que para valores de x en la cercanía de c, pero superiores a c, es negativa. Si la derivada es continua, necesariamente pasa por el valor 0.Vemos que se trata de un máximo relativo y observamos que la derivada pasa de + a -.

En la figura 2 b podemos ver como la derivada de f, para valores de x en la cercanía de c, pero inferiores a c, es negativa, mientras que para valores de x en la cercanía de c, pero superiores a c, es positiva. Vemos que se trata de un mínimo relativo y observamos que la derivada pasa de - a +.

Igualmente, cuando f’(c) no existe en c, en la gráfica 1 b, vemos que para valores de x inferiores a c (en su vecindad) la derivada es positiva, mientras que para valores de x mayores a c (en la vecindad de c), la derivada es negativa y se trata de un máximo relativo.

Un análisis similar se puede hacer para la figura 1 d, del cual concluiríamos que si f’(c) no existe (f(c) si existe) pero la derivada pasa de – a + , la función tiene un mínimo relativo en x=c.

Ejemplo 1

Encontrar los números críticos, los puntos críticos y determinar si se tratan de máximos o mínimos relativos.

f(x)=(x³-3x²+4) ^1/3 x pertenece a los Reales

Primero, encontremos f’(x)

f’(x) =(1/3)( x³-3x²+4) ^-2/3 (3x²-6x) (1)

Que es igual a 0 cuando

3x²-6x=0

3x(x-2)=0 (2)

O sea

x=0

x=2

Los números críticos son x= 0 y x = 2

Allí ocurren los puntos críticos, los cuales son:

Para x=0 f(0)= 4 ^1/3

Para x=2 f(2)=0

A(0, 4 ^1/3)

B(2, 0)

Para saber si son máximos o mínimos relativos, analizamos la expresión (1) o en su defecto, la (2), que es la que, en este caso, le da el signo a la derivada.

Para valores de x en la vecindad de 0, menores que 0 la (2) es -*- = +

Para valores de x en la vecindad de 0, mayores que 0 la (2) es +*-= -

O sea la derivada pasa de + a – y por tanto se trata de un máximo relativo.

Para valores de x, en la vecindad de 2, menores que 2 la (2) es +*- = -

Para valores en la vecindad de 2, mayores que 2 la (2) es +*+= +

O sea la derivada pasa de - a + y por tanto se trata de un mínimo relativo.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Consideremos una función f(x) cuyo dominio es el intervalo cerrado [a, b]

Recordemos las condiciones para que haya continuidad en un punto de abscisa c

f(x) es continua en c si se cumplen las siguientes condiciones:

i) .f(c) existe

ii) Lim f(x) = f(c)

x→c^-

iii) .Lim f(x) = f(c)

x→c⁺

f(x) es continua en [a, b] , cuando es continua en todos los números reales que pertenecen a este intervalo.

En la figura 3 se muestran ejemplos de funciones continuas y no continuas en un intervalo dado.

Figura 3

Figura 3 a No es aplicable el teorema del valor extremo, ya que la función es discontinua en c. Vemos que hay un mínimo f(a).

Figura 3 b El teorema del valor extremo no es aplicable, ya que la función está definida en el intervalo abierto (a, b), pero observamos que hay un máximo relativo interior f(c).

Figura 3 c El teorema del valor extremo si es aplicable, ya que la función es continua en el intervalo [a, b] (Note que la función no es derivable en (a, b)), se ve que hay un máximo absoluto en c y un mínimo absoluto en a.

Figura 3 d El teorema del valor extremo no es aplicable porque la función no es continua en c. No obstante, se observa, que aunque no hay un máximo absoluto, si hay un mínimo absoluto f(a).

Estrictamente, el teorema del valor extremo sólo es aplicable para una función(x) si f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

Aunque hay demostraciones razonables del teorema del valor extremo, estas en vez de aclarar, la mayoría de los casos complican el panorama. En mi opinión, este teorema, más que un teorema, es un axioma dentro del concepto de los números reales y de función en los números reales

Ejemplo 2

La aplicación práctica de la comprensión del teorema del valor extremo, lo podemos llamar “problemas de optimización”.

Una isla está ubicada en el punto A, 4km mar adentro del punto más cercano B de una playa recta. Hay una mujer en la isla que desea ir al punto C, 6 km de B playa abajo. La mujer puede dirigirse hacia el punto P, entre A y C en un bote de remos a 5km/h hasta un punto P y después caminar en forma recta de P a C a 8 km/h.

Dónde deberá estar ubicado el punto P, para que la mujer viaje de A hasta C en el menor tiempo.

Figura 4

Llamaremos la distancia BP = x

AP = (4 ²+x ²) ^½

Velocidad remando:5 km/h

Velocidad caminando 8 km/h

Como tiempo = espacio/velocidad, entonces, si llamamos t el tiempo que se tarda la mujer para ira de A hasta C, este, en términos de x será:

t=(4 ²+x ²) ^½/5 + (6-x)/8

Dónde x estará en el intervalo cerrado [0, 6]

Como la función t es derivable, esto implica que es continua y por tanto, debe existir un mínimo absoluto, el cual puede quedar o en un punto crítico (t’(x)=0) o en t(0) o en t(6)

Encontremos los puntos críticos

t’(x)=(1/5)(1/2) (16+x²) ^-1/2 (2x) -1/8 = (1/5)(16+x²) ^-1/2 (x) -1/8 = 0

Simplificando la expresión:

8x – 5 (16+x²) ^½ = 0

x= ±3.2026

Descartamos a – 3.2026 porque no está en el dominio del problema.

El número crítico es 3. 2026

Tenemos que evaluar t(0) , t(6) y t(3.2026) y escoger el menor de los tres.

t(0)=4/5+6/8=1.55h

t(6)=(16+36) ^½ /5= 1.4422

t(3.2026) = (16 + 3.2026 2) ^½ /5 +(6 – 3.2026)/8 =5.1241/5 + 2.7974/8 =1.3745h

O sea que el mejor camino que puede tomar la mujer es ir remando desde A hasta un punto P ubicado 3.2026 y luego caminar hasta C.

En la próxima entrada abordaremos el mismo problema, pero en funciones de 2 variables.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com