Sistemas de numeración - bases de números

 

Medellín diciembre 2023

 

Sistemas de numeración

 

Cuando trabajamos las operaciones aritméticas, se hará en sistema decimal. Sin embargo, existen otros sistemas de numeración, y algunos forman parte también de las actividades cotidianas. Así, el sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores, y el sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes, entre otras tareas.

Un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas.

 

·         La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que, la binaria únicamente agrupa dos.

·         Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1.

 

 

En base 2, sólo hay dos dígitos: 0 y 1

Escribiremos en base 2 algunos números, que vamos a indicar en base 10

 

Base 10	Base 2
1	01
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
100	1100100

 

 

Base 10	Base 3
1	01
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
100	10201

 

La base 16, Hexadecimal tendrá16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15

 

Decimal	binario	Ternario (b = 3)	Octal (b= 8)	Hexagecimal b = 16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	010	03	3
4	0100	011	04	4
5	0101	012	05	5
6	0110	020	06	6
7	0111	021	07	7
8	1000	022	10	8
9	1001	100	11	9
10	1010	101	12	A
11	1011	102	13	B
12	1100	110	14	C
13	1101	111	15	D
14	1110	112120	16	E
15	1111		17	F

 

En este link, se pueden convertir, online, números entre diferentes bases:

 

https://www.convertworld.com/es/sistemas-de-numeracion/

 

12545₁₀ a base 8 = 30401₈

1324₅ a base 8 = 326₈

101010101010₂ = 2730₁₀ La base10 no se suele escribir.

 

Algoritmos de conversión entre diferentes bases

 

Cualquier número en base 10, se puede escribir en forma de potencias de 10.

 

Ej 2365 = 2x10³+3x10²+6x10¹+5x10⁰ = 2000+300+60+65 =2365

 

Un número en base octal, de igual manera, se puede escribir por medio de potencias de 8

 

3426₈ = 3x8³+4x8²+6x8+6             (1)          recordar que en este caso 10 = 8

Si supiéramos hacer estas operaciones, exponente, producto y suma en base 8, el resultado de la operación sería 3426₈

 

Lo interesante es que, si hacemos estas operaciones en base 10, obtenemos el número en base 10.

(Realmente no pude encontrar en la WEB un soporte serio que justifique este resultado, pero es universal en todos los libros de aritmética que consulté y aun en tesis de doctorado, e igual, dan el algoritmo, por cierto, sin prueba.)

 

Haciendo la operación de la expresión (1) en base 10 obtenemos:

3x512+4x64+2x8+6 =1536+256+16+6 =1814₁₀

 

Si utilizamos el convertidor vemos que 3426₈ = 1814₁₀

 

Otro ejemplo

 

12AF a base 10

 

1x16³+2x16²+Ax16+F

 

1x4096+2x256+10x16+15 = 4783

 

Utilizando este algoritmo de las potencias convertir:

 

10101010101010₂ a base 10

 

134343₅ a base 10

 

83AF a base 10

 

Ahora, para convertir un número en base 10 en una base 10, el algoritmo universal, igual que el anterior de las potencias, sin una prueba real, excepto que funciona, es el de las divisiones sucesivas.

 

Ejemplo, convertir 65 a binaria.

 

Hacemos divisiones sucesivas

 

 

65 │2

  1 │32│2

        0 │16│2

      0 │8   │2

            0 │4│2

                 0 │2│2

                       0│1 

Comenzando con el último cociente <2 =1 y construyendo el número con ese inicio y todos los cocientes en orden ascendentes, obtenemos el número en base 2

 

65₁₀ =65 = 1000001₂

 

Vamos a convertir 65 a base 3

 

65 │3

  2 │21│3

        0 │7│3

    1 │2

 

El número será 2102₃ = 65

Ejemplo

Para convertir el número 13,3125_{10 a} base 2, en primer lugar, hay que dividir, sucesivamente, la parte entera del número, en este caso (13₁₀), entre 2, hasta obtener un cociente más pequeño que 2.

Figura 1 Convertir 13 base 10 a base 3

Como el último cociente (a₃), que vale (1), ya es más pequeño que el divisor (2), hay que parar de dividir. Por tanto,

13₁₀ = 1101₂

El segundo paso consiste en convertir la parte fraccionaria del número (0,3125₁₀). Para ello, se deben realizar los siguientes cálculos:

Figura 2 Algoritmo para la conversion de la parte decimal de un número en base 10

La parte fraccionaria desaparece después de realizar cuatro multiplicaciones. Así pues, 0,3125₁₀ = 0,0101₂

En resumen,

13,3125₁₀ = 1101,0101₂

Convertir 75658 a base 8

Con el algoritmo de la división por 8, obtenemos este número en base 8

La siguiente tabla puede ayudar:

 

Número en base 10	Cociente entero	Residuo < 8	Divisor
75658			8
	9457	2	8
	1182	1	8
	147	6	8
	18	3	8
	2	2	8

Dividimos el número en base 10 por 8, obtenemos un cociente de 9457 y un residuo menor que 8 = 2.

Dividimos el número 9457 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 1182 y un residuo menor que 8 = 1.

Dividimos el número 1182 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 147 y un residuo menor que 8 = 6.

Dividimos el número 147 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 18 y un residuo menor que 8 = 3.

Dividimos el número 18 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 2<8 y el nuevo residuo no importa.

El número en base 8 será 223612

Se forma con el cociente < 8 y los residuos hacia atrás en orden ascendente.

Conversión de números en base a números en base b a#b   y ambos enteros positivos

Aunque hay algoritmos que permiten hacer este proceso en un solo paso, ello implica que sepamos realizar las operaciones básicas y exponenciales en bases diferentes a 10.

Lo ideal es llevar el N_a, al mismo número en base 10, M₁₀ y luego llevar el número M al número K_b

Ejemplo.

Convertir el número

23123₄ a base 8

Por el método de descomponer el número en sus exponentes, llevamos el número en base 10

2x4⁴+3x4³+1x4²+2x4+3 = 733₁₀ = 731            operaciones hechas en base 10

Por divisiones por 8 y como se indicó anteriormente, el 731 se convierte en 1333₈ 

Ejercicios

 Convertir

1356₇ a base 9                                                 R 1023₈

56743₈ a base 2                              R .101110111100₂

3300₄ a base 8                                                   R 360₈

Este blog me deja una preocupación, porque no encontré ni pruebas, ni siquiera justificaciones, de que los algoritmos funcionan universalmente.

Numeración romana:

Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas, a las que se ha asignado un valor numérico.

Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta.

Se usa principalmente:

• En los números de capítulos y tomos de una obra.
• En los actos y escenas de una obra de teatro.
• En los nombres de papas, reyes y emperadores.
• En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...

I = 1

V = 5

X =10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Ejemplos XVI = 16; LXVI = &&

Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.

Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

,

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

El número e y el logaritmo natural

Medellín, noviembre 2023

Blog funciones: ln(x), e^x  -  y determinación del número e

 

 Generalidades

Consideremos la función y = 1/t, y su gráfica, para valores de t>0 

Fig 1 definición de la función ln(x) 

 

Si encontramos el área debajo de la curva y = 1/t, entre t=1 y un valor arbitrario de t, t=x, x>0, esa área es creciente, en la medida que, cuando vamos aumentando el valor de x ,hasta el valor que queramos, el área continuará creciendo. Por lo tanto, podemos afirmar que la función definida como:

Es creciente en todo su dominio t>0

Esta función tiene unas propiedades interesantes:

Es creciente en todo su dominio t>0

1.)  ln(xy) = ln(x)+ln(y)

Esta propiedad es común con la función logaritmo, cualquiera sea su base. Se extiende también al ln (xyz) , a ln(x₁x₂x₃…….x_n)

 2.)  ln(xⁿ) = nln(x)            para n entero positivo

                           

ln(xⁿ)= n*ln(x)                        que, también es otra propiedad de los logaritmos, en cualquier base. Podemos extender esta propiedad para cualquier n que sea Real. (La demostración no es fácil)

 

3.)  ln(x/y)  ln(x) -ln(y)                                                               (5)

ln(x/y) = ln((x)(y^-1))= ln(x) + ln(y^-1) = ln(x) - ln(y)

 

Recordemos que, cualquiera sea la base de los logaritmos log_aa = 1

 

Aquí hemos definido un valor e, tal que, ln(e)= 1, nos autoriza a afirmar que log_e(e)= ln(e) =1

 

Y la función que estamos estudiando ln(x) es igual a log_e(x) y la llamaremos logaritmo natural o Neperiano de x y la escribiremos ln(x)

y = ln(x) implica que:                          e^y=x      o       e ^ln(x) = x

Fig 2 ln(x) = log_e(x)

Derivada de ln(x)

Sea y = ln(x)
equivalente a:
e^y = x
Diferenciando implícitamente a ambos lados obtenemos:
e^yy’ = 1    de donde:        y’ = 1/e^y = 1/x
ln’(x) = 1/x                                                                                                    (6)
B.   El número e
Por integración aproximada podemos encontrar ln2,5 y ln3
ln(2) =0,69
ln(3) =1,09
El número e es un número real entre 2 y 3, ya que la función ln(x) es monótonamente creciente.  
Pero ese no es e.           e es un irracional de infinitas cifras, similar a p

Euler resolvió el problema, por medio de este límite:

 Si hacemos x= 10 y calculamos (1+1/10)¹⁰ encontramos un valor aproximado de e

 Si hacemos x= 100 y calculamos (1+1/100)¹⁰⁰ encontramos un valor mejor que el anterior.

 Con la paciencia del caso, esta fue una de las formas de calcular e

 Con 10 cifras exactas, el valor de e es igual a e = 2,7182818284

 Con la serie de Taylor para e^x, también podemos calcular el valor de e. 

Esta suma la podemos calcular con 10, 11, 100 sumandos y más. Y Ahora con las computadoras podemos usar 1000 sumandos o más.

 

Función exponencial natural y = e^x

El dominio es (-∞, ∞)

El rango es (0, ∞)

La derivada es y’ = e^x >0; para todo x real, por lo que la función es monótonamente creciente en todo su dominio.

Veamos este ejemplo:

ln3,5 = 1,2527629684953679956881206

e ^{1,2527629684953679956881206} = 3,5

Claramente vemos que e ^ln(x) = x y que, las funciones lnx y ex , son mutuamente inversa. Sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x

Equivalencia de un logaritmo en una base e, ln(x) a un logaritmo en una base cualquiera a

Sea                                y= log_ax                                        y₁ = log_b x

Por tanto,                        x = a ^y                                          x = b ^y1

Se concluye que,  a ^y = b ^y1

Tomando logaritmo en base a de la igualdad anterior:

ylog_aa = y₁log_ab                            como log_aa = 1               y = y₁log_ab

Reemplazando                                    log_ax = log_bx*log_ab       y

log_bx = log_ax/log_ab                                                                                                      (9)

si b =10            base de los logaritmos vulgares             a = e base logaritmos naturales

log10x = log(x) = loge(x)/loge(10)

 

log(x) = ln(x)/ln10                                                                     (10)

¿Cómo calculamos el lnx?

Hay varias series infinitas de Taylor y Maclaurin que, nos permiten calcular el ln(a) para cualquier valor de a real.

Ln[(1+x)/(1-x)] = 2[x + x³/5+ x⁵/5+………………….+x ^2n-1/(2n-1) +….]     -1<x<1    (11)

Ejemplo

ln12,3          12,3 =(1+x)/(1-x)

12,3-12,3x =1+x                                                 x=11,3/13,3 =0,849624

Vemos que este valor está en el intervalo de convergencia, (-1, 1), por tanto, aplicamos la fórmula (11) con x = 0,849624 y utilizamos la serie (11), con suficientes términos  para garantizar una precisión determinada y eso lo enseña el conocimiento de las series deTaylor y Maclaurin y el teorema del residuo.

 

Ejercicios:

1.    Hallar la función inversa de y = ln(x-4)

Vemos que el dominio de la función es el intervalo (4, ∞) y el rango (-∞, ∞)

Despejamos x     e^y = x-4         x=e^y+4                       ahora intercambiamos x e y

 La función inversa será y = e^x+4          Cuyo dominio son todos los Reales y cuyo rango es:

 (0, ∞)

1.    

Ejercicio 2

Simplificar ln25+ln40-3ln10

=2ln5+ln5+ ln8 - 3ln2-3ln5

=0 +3ln2-3ln2 = 0

El valor absoluto de x, nos asegura la existencia de la integral para todos los reales.

Aplicaciones de la función exponencial natural

La función exponencial neperiana y =e^x, tiene aplicaciones en la estadística y en la ciencia.

Sea y  una variable que crece o decrece con el tiempo. Además, la tasa de variación de la variable y es proporcional al valor de la función y en el tiempo t.

y crece con el tiempo y además, dy/dt = ky

dy/y = kt

Integrando, obtenemos la fórmula y = Ce^kt        t= 0 y = y_o y por tanto C = y_o

y = y_oe^kt                                                                                                            (12)

Conocido yo, debemos obtener el valor de k, el cual se consigue con otro dato conocido de la variable y.

 Ejercicio

 El 30% de una sustancia radioactiva, se desintegra en 15 años, después de que la sustancia se saque del laboratorio. Determinar la semivida de la sustancia.

y = porcentaje de la sustancia que no se ha descompuesto en el tiempo t (años)

y=y_o e^kt                                    k es la constante de decrecimiento.

En el tiempo t= 0 años, y es igual a 100%, mejor digamos que es igual a 100

En el tiempo t= 15 años, y es igual a 70%, mejor dicho y = 70

La vida media, es el tiempo en el cual la sustancia se ha reducido a la mitad. y= 50% , y=50

70=100e^15k

15k = ln0,7                       k = -0,023778

Ahora

50 = 100e^{(-0,023778*t)}     y el t de esta ecuación es la vida media del elemento.

-0,023778t =ln(1/2) = -0,693147                    t = 29,15 años

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com