Problemas de Geometría

 Octubre de 2026

Problemas de geometría

1.    1. Sea un cuadrado de lado 4 u. Encontrar el radio y el área de la circunferencia pequeña que se muestra en la figura 1.

Figura 1

Las variables en este problema son R e y.

Busquemos relaciones entre ellas:

La diagonal 4√2 es igual 4 + 2R + y             4 + 2R +y = 4√2           (1)

Figura 2

Utilicemos la propiedad de la circunferencia que, relaciona a una tangente exterior, con una secante a la circunferencia, que la cruce totalmente.

Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan una tangente PT y una secante PA y PB, entonces PT² = PA*PB

Para este caso y para la circunferencia incógnita tenemos

R² = y*(y + 2R)                                                                                              (2)

Resolviendo (1) y (2) , obtenemos R

De la (1) obtenemos        y = 4√2 – 4 -2R           Y para simplificar llamemos  k = 4√2 – 4

y = k – 2R

R² = y*(y + 2R)

R² = (k - 2R) *(k - 2R) + 2R)

R² = (k - 2R)² + 2R (k – 2R)

Simplificando:

R² + 2kR – k²= 0

R = (-2k + √ (4k² + 4k²)) /2 = (-2 + 2k√2) /2

Y reemplazando k por su valor numérico obtenemos        R = 12 - 8√2 = 0,6863

El área será        3,1416*(0,6863)² = 1,47967 u2

 

1.   2.  El triángulo ABC es un triángulo cualquiera. (Figura 3). CM es una mediana de ABC. La recta BD biseca la mediana CM, en el punto N. Además, se conoce el área del cuadrilátero AMND es igual a 10 u2. Hallar el área del triángulo ABC. Ver figura 3

 Figura 3

En este problema no se conoce ningún lado, ni ningún ángulo. Sólo el área del cuadrilátero AMND = 10 u2.

Vamos a utilizar 2 propiedades de las medianas.

-Las medianas concurren en el baricentro, el cual queda ubicado a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base de cada mediana.

-Una mediana, divide el área del triángulo en dos áreas iguales. En este caso el área de AMC es igual al área de CMB    (Tienen la misma base c/2 y la misma altura.

Unamos M y D y llamemos el área de MDN = x lo que nos lleva a concluir que el área ADM es 10 – x.

Miremos el triángulo CDM. DN es una de las medianas del mismo y por tanto, dividirá su área en dos áreas iguales, por lo que área de CDN también es igual a x.

Ver figura 4

Figura 4.

Como DM es la mediana del triángulo ADB el área de los triángulos a la izquierda y la derecha, cada una vale 10 – x, lo cual nos lleva a la conclusión que el área del triángulo  NMB es 10 - 2x.

Como BN es la mediana del triángulo CMB, las áreas de los triángulos CNB y NMB son iguales y cada una vale 10 – 2x

En el triángulo ABC, las áreas de los triángulos AMC y MCB son iguales y se puede establecer la igualdad:

(10 - x) + x + x = (10 - 2x) +(10 -2 x)

10 +x = 20 -4x                                  5x = 10        x = 2

Pero nos piden es el área.

 

A = (10 - x) + x + x + (10 - 2x) +(10 -2 x) = 8 + 2 +2 +6 + 6 = 24 u2

 

3.    Problema

Se tiene una circunferencia de entro en C y radio R desconocido. En este triángulo tenemos las líneas AB y AD (A sobre un diámetro y B y C sobre la circunferencia. Cada una de estas líneas rectas hace un ángulo de 60 deg con el diámetro involucrado.

Hallar el radio R y el área del círculo.

Como se puede deducir, también el ángulo BAD= 60 deg

Figura 5

Trazamos la recta BE perpendicular al diámetro. El triángulo BAE es isósceles y los ángulos BEA y ABE son iguales a 30 deg.

El ángulo en E esta subtendido por el arco AD y es igual a arco BD/2 = 30 deg

Figura 6

El arco AD también subtiende al ángulo al centro BCD, cuyo valor es el arco BD y este vale 60 deg.

Triangulo BCD es isósceles porque lado BD = CD = R y además, el ángulo que debiera ser diferente vale 60 deg, con lo que el triángulo BCD resulta equilátero. Todos los ángulos internos valen 60 deg.

Se concluye que BD = x = R

En el triángulo inicial ABD conocemos dos lados, uno vale 5 y el otro 8 y el ángulo entre ellos es 60 deg. Aplicamos la ley del coseno:

x² = 5² + 5² -2*5*8*cos 60 = 25 + 64 – 40 = 49                        cos 60 = 1/2

x = R = 7 u

Área = 153,938 u2

1.  4.   Construir un triángulo, del cual se conocen las tres medianas

Figura 7

Conocemos AMa, BMb y CMc

Recordemos que las medianas concurren en G, a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base.

Prolonguemos la mediana BMb una distancia 1/3 de BMb     (1)

Figura 8

Llegamos al punto D.

Observamos que el cuadrilátero AGCD es un paralelogramo, ya que las diagonales se bisecan en Mb.                                                                                          (2)

AMb = MbC         ya, que Mb es el punto medio de AC

GMb = MbD        porque así lo hemos construido.

Concluimos que:

AD es paralelo a GC = 2/3 CMc

Además, AG = 2/3 AMa

GD = 2/3 BMb    así lo hemos construido

El triángulo AGD puede ser construido, ya que conocemos la longitud de sus tres lados, c/u = 2/3 de las respectivas medianas, que son conocidas.

Para construir el triángulo ABC primero construimos el triángulo AGD y ubicamos el punto Mb, punto medio de GD.

Como Mb es la terminal de una mediana, prolongamos AMb una distancia igual y llegamos al vértice C.

En el triángulo ADG, prolongamos la recta DG una distancia igual y llegamos al vértice A.

Conocidos los tres vértices A, B y hemos construido el triángulo pedido.

5.    Calcula la suma de los angulo <a + <b en la figura indicada.

Figura 9

Recordemos que un ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco subtendido.

<a = arco ED/2 en la circunferencia de radio R1

<b = arco FD/2 en la circunferencia de radio R2

Recordemos también que un ángulo al centro tiene como medida el arco que subtiende.

Construyamos los ángulos al centro que tienen como medida los arcos ED y FD. Figura (9)

Figura 9

Como se ve, los ángulos al centro construidos son <2a y <2b

Observemos el cuadrilátero C1 C2 FE.   E y F son puntos de tangencia, lo que implica que los ángulos internos en E y F son ángulos rectos.

Recordemos que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 180*(n – 2), donde n es el número de lados.

En este caso n = 4 y la suma de los ángulos internos es 2*180 deg = 360 deg

Por tanto:

90 + 90 + <2a + <2b = 360               <2a + <2b = 180    y por tanto:

<a + <b= 90 deg

Es fácil demostrar que el triángulo EDF es rectángulo en D, <DEF = <a      y DFE = <b

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

 

Agosto 2026

 

Blog maths

Problemas de complejos. Algoritmo para elevar números reales a exponentes irracionales

 

1.       Resolver x para la ecuación                                e^x = ln(x)

 

Como vemos en la gráfica 1, en los números reales esta ecuación no tiene solución.

Gráfico 1

No obstante, podría tener solución en los reales (1)

Elevemos e a un exponente que sea cada lado de la ecuación.

Lo anterior, la (5) puede parecer absurdo en los números reales, pero en los complejos pareciera que no es una contradicción.

Vamos a resolver, en vez de la ecuación original, la ecuación e^x = x, que sólo tiene validez en los complejos.

Dividiendo por e^x a ambos lados, obtenemos:

1 = x/e^x

xe^-x = 1       para que se pueda asociar a la ecuación de Lambert, hacemos el siguiente cambio

-xe^-1= -1      y recordamos que W(ue^u) = u, donde W es la función de Lambert

W(-xe^-1) = -x = W(-1)

Existe una página en la Web llamada WolframAlpha, que nos calcula la función W para cualquier valor real o complejo, que nos permite calcular el W(-1)

El resultado es:

W(-1) = -0,31813+1,33724 i          y esto es igual a –x, por tanto: x = 0,31813-1,33724 i

 

1.       2. Resolver para x

 (-2)^x=2                                                                                                    (1)

Solución

Vamos a resolver x, en números complejos.

(-2)^x=2               (-1*2)^x = 2                                                                    (2)

Recordemos las ecuaciones de Euler

e^ix = cos x +i sen x      y para x = π

 

e^(πi) = cos π + isen π = -1            o      e^(πi)+1 = 0                e^(πi) = -1         (3)

En la (2), reemplazamos -1 por la (3)

[(e^(πi)*2)]^x=2                    (e^(πix))*2^x= 2

Tomemos ln a ambos lados

ln(e^(πix))*2^x= ln2

(πix) + xln2 =l*1n2    por lo tanto:

x(πi+ ln2) = ln2   

x = ln2/((πi+ ln2)

para quitar el imaginario del denominador, multipliquemos numerador y denominador por el conjugado del denominador

x = [ln2(-πi + ln2)]/ [ (πi + ln2) ((-πi + ln2)]   =[-ln2(πi) + (ln2)²]/ [-(π²i²) + (ln2)²]

 

x=[-ln2*(πi) + (ln2)²]/ [ π²+ (ln2)²]

 

3.    Convertir una fración periodica infinita, en una fracción entre dos enteros.

Ejemplo:

0,231723172317……

Llamamos x al decimál periódico infinito           x = 0,231723172317……

Vamos a obtener la fracción periódica, para lo cual multiplicamos x por un multiplo de 10, hasta que la última cifra del periodo repetido, quede por fuera del decimal, en este caso multiplicamos por 10000       (por ser la fracción periódica de 4 cifras)

10000x = 2317, 23173172317…..

Restemos 10000x – x                           10000x- x = 2317                          9999x = 2317

Por tanto, el valor de x es igual 2317/9999

Ensayemos con la calculadora:     2317/9999 = x = x = 0,231723172317

Supongamos que la fracción tenga una parte no periódica, o antes o después de la coma.

Ej                 4,231723172317…..

A veces, el procedimiento es ignorar la parte no periódica y buscar la fracción con la parte periódica

Nuestro número realmente es 4 +0,231723174327…… o sea 4 + 2317/9999 es decir:

42313/9999

Aplicamos la calculadora: 42313/9999

= 4,231723172317…..

 

3.      4.  Elevar un real a un número irracional.

Que significa                                                         3^√2

√2=1,414213562………………….infinitos números sin partes periódicas

 La calculadora o la tabla de logaritmos o el computador tiene que tomar una decisión.

Tiene que definir un número de decimales efectivos y convertir el decimal en un racional. Supongamos que tomamos 8 cifras decimales e ignoramos el resto.

1,414213562 e  ignoramos el 2 y el resto de cifras decimales: utilizamos 1,41421356

Ahora convertimos este decimal en una fracción

141421356/100’000000

Ahora, tanto la calculadora, como el computador o  la tabla de logaritmos, crea un algoritmo para hacer la operación

3^(141421356/100’000000) = 4,72880438

 

Ahora hagamos en la calculadora 3^√2 = 4,728804300    La diferencia, depende del algoritmo o de las cifras con las cuales la calculadora, el computador o a mano, hemos escogido.

 

4.     5. Resolver la ecuación         senx = 2

Seno de x = 2, es un absurdo en los números reales, pero en los complejos podría tener algún sentido.

Veamos

e^xi = cos(x) + i sen(x)       (1)

hagamos e^-xi

e^-xi = cos(-x) + i sen(-x)                    la función coseno es par y la seno es impar, por tanto la ecuación se convierte en

e^-xi = cos(x) - i sen(-x)       (2)                       cos(-x) = cos(x)       y sen(-x) = - sen(x)

Restemos s (1) - (2)

e^xi - e^-xi  = 2isen(x)              o      (e^xi - e^-xi )/2  = isen(x) = 2i               ya que sen (x) = 2     (3)

Resolvamos esta ecuación, llamemos xi = u    la (3) se transforma en:

e^u –e^-u -4i = 0                 e^u –1/e^u -4i= 0

Reduciendo obtenemos:         e^2u –1 -2i e^u= 0             una ecuación de segundo grado.

e^2u -4i e^u-1= 0              e^u = [4i ±√(16i² – 4*1*(-1))]/2

e^u = [4i ±√(-16 + 4]/2 = [4i±√(-12)]/2

e^u = 2i±i√(3)                    Tomando ln a ambos lados obtenemos u = ix = ln[2i±i√(3)]

x = ln[2i±√(3)i]/i         multiplicamos y dividimos por i y nos queda así:

x = - ln[2i±√(3)i]     i*i = -1

 

x = - ln[2i±√(3)i] *i

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

Juanfernando.sanin@gmail.com

 

Julio 2026

 

Problemas de geometría plana – Teorema de Herón – Circunferencias   circunscritas e inscritas. Un lugar geométrico interesante

 

1.    1.Teorema de Herón

 

Sea el triángulo general ABC, cuyos vértices son A, B y C y sus lados, a, b y c

El área del triángulo viene dada por la fórmula     Área = √(s(s-a) (s-b) (s-c)), donde

S = (a + b +c) /2   semiperímetro

S – a = = (a + b -a) /2

S –b = = (a + c -a)/2

S – c = = (a + b -c)/2

Demostración

Figura 1. Área del triángulo por el teorema de Herón

 

Área = ah/2= ab.sen(γ)/2                                            (1)

Sen(γ) = √ (1 – cos² (γ))

Cos(γ) = (a² + b² -c²) /2ab                                          (2) Por el teorema del coseno

La (1) queda así:

 

Área = ab√ {(1 - (a² + b² -c²)² /4a²b²} /2

 

Área =ab √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²) /4a²b²)} /2 = √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²} /4

Factoricemos por diferencia de cuadrados:

Área = √ {2ab + a² + b²-c²) (2ab -a² -b² + c^2})} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b +c) (a + b -c) (c +a - b) (c – a + b) (c + a – b)} /4            (3)

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Reemplazando en la (3)

 

Área = √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]/4 = (4/4) √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]

= √ [s (s – a) (s – b) (s – c)]

 

Ejemplo 1:  Hallar el área del triángulo cuyos lados son:3, 5 y 6

S = (3 + 5 +6) /2 = 7

S -3 = (5+6 -3) /2 =4

S – 5 = (3 + 6 – 5) /2 = 2

S – 6 = (3 + 5 -6) /2 =1

Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

1.   2.  Circunferencia circunscrita a un triángulo

Una circunferencia circunscrita a un triángulo, es aquella en la cual, los tres vértices del triángulo, son puntos de la circunferencia.

Sea R el radio de esa circunferencia.

Dado un triángulo cualquiera, se trazan las mediatrices de cada uno de los lados,las cuales concurren en un punto llamado circuncentro. El radio de la circunferencia es R y corresponde a la distancia del circuncentro a uno de los vértices.

 

Dado un triángulo ABC, cualquiera, calcular el valor del radio R, de la circunferencia circunscrita, en función de los tres lados.

Circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera ABC

Solución

El ángulo<ACB = γ tiene como medida el arco AB/2

El ángulo AOB, tiene como medida el arco AB, por tanto, es igual a 2γ

El triángulo AOB es isósceles, por tano OD es mediana, mediatriz y bisectriz y el ángulo <AOD = γ

En el triángulo AOD, senγ= (c/2) /R          y R =(c/2) /senγ

R=c/(2senγ) = c / [2√ (1 – (a²+b² -c²/2ab)²)]

R = c /2√ [(1 – (a²+b² -c²)²/4a²b²)²)]

R = c / [(2/2ab) √ (4a²b²– (a²+b² -c²)²)]

R =ab c / √ ([4a²b²– (a²+b² -c²)²)] cuya factorización, es idéntica a la vista en el primer tema de este blog

R =[(abc)/ [4 Área del triángulo]

Ejemplo2:

Calcular el Radio de la circunferencia circunscrita al triangulo del ejemplo 1

R =(3x5x6) X7,48/4 = 3u

Nota: La ley del seno en triángulos, también nos da una expresiópn para calcular el radio de la circunferencia circunscrita a ese triángulo

a/senA = b/senB = c/senC = 2R

3. Circunferencia inscrita. Cálculo del radio r de este en función de sus lados.

Radio de la circunferencia inscrita en función de sus lados a, b y c

El centro de esta circunferencia, es el punto donde confluyen las bisectrices delos ángulos internos A, B y C. Sea O ese centro, que llamaremos incentro.

El área del triángulo ABC es la suma de las áreas de los triángulos ABO, BOC y COA

Cuyas bases son los lados c, a y b y cuya altura relativa a esos lados es r, por tanto:

 

Área = área AOB +área BOC + área COA

Área = cr/2 +ar/2 + br/2 = (r/2) (a +b + c)

Por 3l teorema de Herón

R = 2Área/ (a + b + c) =2

Área =√[s(s-a) (s-b) (s-c)] = (r/2) (a +b + c)

r = 2√[s(s-a) (s-b) (s-c)]/ (a + b + c)   radio de la circumferencia inscrita

Recordar:

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Ejemplo 3

Calcular r en el triángulo cuyos lados son 3, 5 y 6

Del ejercicio 1 sabemos qué Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

Por tanto      r =2*7,48/14 = 1,07 u

4.    Lugar geométrico

Sea una circunferencia de radio R. Trazamos otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia inicial y al diámetro de esta. (Ver figura). Hallar el lugar geométrico de los puntos P, centros de las circunferencias interiores, inscritas en la circunferencia mayor y el diámetro de esta.

Solución

Evidentemente hay dos puntos de ese lugar. El primero es el punto B(5, 0) y el punto (0, R/2)

Si tomamos un punto P(x, y) general, de ese lugar geométrico, el radio de este será r = y.

Una tangente a la circunferencia grande en Q(xo, yo) tiene una pendiente m1 y es igual a la derivada de y = √(R^2-x^2) es decir         y’ = -x/√(R^2-x^2)

Que en el pnto Q es igual a m1 = -xo/√(R^2-xo^2)

Si m2 es la pendiente de la recta PQ, entonces m1 m2 = -1   y m2

m2 = √(R^2-xo^2) /xo

 

m2 =(y-yo) /(x-xo) = √(R^2-xo^2) /xo

       y    yo = √(R^2-xo^2)                       obtenemos la ecuación (1)

 (y-yo) /(x-xo) =yo/xo

y = yo (x – xo) yo/xo                                                   (1)

Otra ecuación que relaciona a P y Q es el radio r de la circunferencia interior

Ese radio r = y             y² = (x – xo)² + (y – yo)²     (2)

Combinándolas obtenemos         xo = yox/y                (3)

Reemplazando (3) en (2)

(y – yo)² [x² + y²] = y4

y – yo = y²/√ [x² + y²]

yo = y - y²/√ [x² + y²]                                                 (4)

[1-y]/√(R^²-x^²)²(x² + y²)

xo en términos sólo de x e y se convierte en

xo = (x/y) √ [x² + y²]                                                 (5)

xo, yo satisfacen la ecuación de la circunferencia grande x² + y² = R²

Reemplazando (4) y (5) en la ecuación principal

Terminamos en

√ [x² + y²]-y = ±R

Y simplificando

y = (x² – y²) /2R)        o         y = -(x² – y²)/2R)

Para la semi circunferencia superior, el lugar geométrico es la parábola encerrada en el cuadro.

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com