Medellín, diciembre 2026
Procedimiento de Cardano que permite resolver
cualquier ecuación cúbica general de la forma
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)
1. Transformar la ecuación cúbica general,
con todos los coeficientes, en una cúbica reducida.
La transformamos primero en una
ecuación reducida, sin término cuadrático.
Normalizar la ecuación
a) Dividir toda la ecuación entre el coeficiente
principal a
x3+(b/a) x2+(c/a)
x+ d/a=0x (2)
b) Eliminar el
término cuadrático (Cúbica reducida)
x =y - b/ (3a) Esta fue la gran contribución de Tartaglia.
Reemplazamos en (2)
27a2y3 + 9a·y
(3ac - b) y + 27ad - 9abc + 2·b
Que se reduce a y3 + py + q = 0
(3) Cúbica reducida o normalizada
Donde los coeficientes
p = c/a –b2/(3a2)
q = 2b3/(27a3)
– bc/(3a2) +d/a
: Se plantea que la solución
y = u + v
Elevando al cubo y agrupando, se
llega al sistema:
y3 = (u + v)3
= u3 +3u2v + 3uv2 + v3 = u3
+ v3 + 3uv (u + v) = u3 + v3 +3uvy
y3 – 3uvy –(u3
+ v3) = 0 y la comparamos con y3 +py + q = 0
Deducimos las ecuaciones:
u3 + v3 = -q (4)
u3v3 = -p3/27 (5)
2. Resolver el sistema anterior para u3 y v3
Elevamos la (4) al cuadrado y le
restamos la 4 veces la (5). Obtenemos una expresión para u3 – v3
Sumamos y obtenemos u3.
El resultado para u3 y v3
es el siguiente:
u3,
v3 = -q/2 ±√[(-q/2) ^2+(p/3) ^3] (6)
En la expresión anterior, hay una raíz cuadrada de
(-q/2)2, que es un sumando positivo y (p/3 )3,
que, si p es negativo es negativo, es decir la expresión
.. ∆ = (q/2) ^2+(p/3) ^3, que llamaremos
discriminante ∆, que puede ser positivo o negativo.
Cuando ∆ es negativo el resultado era un gran
problema en los siglos XIV, XV y XVI, que fue cuando se resolvió la cúbica, ya
que todas las matemáticas estaban reducidas al conjunto de números reales.
1. Supongamos que ∆>0 y u3 y v3 son
números reales.
u y v son reales y la solución para
y es igual a y1 = u + v
No obstante, existen otras dos
raíces complejas. Veamos u y v son también iguales a
u = (1)(1/3)u y
v = (1)(1/3)u
Sabemos que 1 tiene 3 raíces
cúbicas, 1 real y 2 complejas.
w3 = 1 w3 –
1 = 0 (w -1)(w2 + w +
1) = 0
w2 + w + 1 = 0
cuyas raíces son w1 = (-1 + √3 i)/2 o w2
= (-1 - √3 i)/2
Por tanto, hay dos soluciones
complejas, adicionales a la solución real, a la cúbica reducida:
y2 = w1*u + w2*v
y3 = w2*u + w1*v
En las tres raíces y = u + v
2. Supongamos que ∆<0 y u3 y v3 son números
complejos.
u3 = -q/2 +√[(q/2) ^2+(p/3) ^3] = -q/2 + √∆ i
v3 = -q/2 -√[(q/2) ^2+(p/3) ^3] = -q/2 - √∆ i
Aquí se complica mucho más el
problema, ya que hay que sacar raíz cúbica de u3 y v3 (de
números complejos)
Supongamos que tenemos la cúbica
reducida y3 – 3y - 1 =
0 (7)
en la que p = -3 y q = -1
∆ = (-1/2)2 + (-3/3)3 = ¼ - 1 =
-3/4
u3 = 1/2+ (√3) /2 i
v3 = 1/2 – (√3) /2 i
El módulo de u2 y v2 es la raíz
cuadrada de ¼ + ¾ = 1, entonces los complejos u3
y v3 se pueden escribir
así:
u3 = ½ + (√3) /2 i = 1 e^(θ1i) θ1 = arctan ((√3/2) / (1/2))
= arctan √3 = π/3 rad =
60 deg este ángulo lo acomodamos en el
primer cuadrante
v3 = 1/2 – (√3)/2 i
v3 = ½ - (√3) /2 i = 1
e^(θ2i) θ2 =
arctan ((-√3/2)/(1/2)) = arctan -√3 = -π/3 rad = -60 deg Este ángulo lo acomodamos en el
cuarto cuadrante del plano complejo, dado v3 = 1/2 – (√3)/2 i
Volvamos a u3
u3 = ½ + (√3) /2 i = 1 e^ (60+360k) i) = cos (60 + 360k) + i sen (60 + 360k) (8)
para k = 0, 1 y 2
v3 = ½ - (√3) /2 i = 1 e^ (300+360k) i) = cos (300+
360k) + i sen (300+ 360k) (9)
para k = 0, 1 y 2
No trabajamos con -60 sino con 380 –
60. 300 = 360 – 60 deg, para ubicar el ángulo en sentido positivo en el cuarto
cuadrante.
Cuando apliquemos esto, para un caso
real, recordaremos que la función coseno es par y la función seno impar
A la (8) y a la (10) las elevamos a
la 1/3
(u3) (1/3) = u
= e^(20+120k) i = cos (20 + 120k) + i sen (20+ 120k)
u = cos (20 + 120k) + i sen (-20 +120k) k = 0, 1, 2 (10)
de igual manera obtenemos:
v = cos (100 +
120k) - i sen (100 +120k) k = 0,
1, 2
Las tres soluciones reales de y, las
encontramos mezclando apropiadamente los tres valores de u y de v. En el
ejemplo siguiente lo explicaremos en mas detalle.
y1 = 2 cos 20 deg =
1,879385
y2 = 2 cos 140 deg =
-1,532089
y3 = 2 cos 260 deg = -0,347296
Las componentes que tienen seno de
20 y 100, 140 y 220, 280 y 340 se anularán, como veremos en el próximo ejercicio.
Cuando el discriminante ∆<0 las tres raíces son números
reales.
Cuando el discriminante ∆= 0 la ecuación sólo tiene 2 raíces reales. (De las tres raíces reales hay una repetida.)
3. Historia de la solución de la
ecuación cúbica
La historia de la solución de la ecuación cúbica (
𝑎𝑥3+bx2+cx+d = 0
Su resolución, durante el
Renacimiento italiano, rompió el estancamiento que duraba desde la antigüedad
clásica y dio origen indirecto a los números complejos. Es uno de los capítulos
más interesantes de las matemáticas
Scipione
del Ferro 1515, profesor de la Universidad de
Bolonia, encontró el método analítico para resolver
x3 + px + q = 0 Cúbica deprimida o normalizada
En esa época, los matemáticos no publicaban sus hallazgos, para mantener
ventajas en los duelos matemáticos académicos. Al morir en 1526, Del Ferro le
confió el secreto a su yerno y a su alumno, Antonio María
del Fiore.
Fiore, queriendo ganar fama, desafió
públicamente a Niccolò Tartaglia
(un matemático brillante apodado ("el tartamudo") a un concurso de
resolución de problemas. Cada uno propuso 30 problemas al otro. Los de Fiore
eran todas ecuaciones cúbicas deprimidas.
Días antes de que expirara el plazo, Tartaglia redescubrió por su cuenta
el método de Del Ferro y extendió la solución a la cúbica general:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Tartaglia
ganó el desafío a Fiore resolviendo todos sus problemas en
pocas horas, mientras Fiore no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia.
Al enterarse del éxito de Tartaglia,
el matemático Gerolamo Cardano
le suplicó que le compartiera el método. Tartaglia accedió bajo un estricto juramento de secreto sagrado,
entregándole la fórmula en forma de poema en 1539.
Cardano descubrió que el método no
era de Tartalglia sino de Ferro y considero inválido el juramento y publicó la
solución de la cúbica en 1545, en la cual ya utilizó los números complejos.
Resumiendo, tres fueron los que
resolvieron la cúbica: Del Ferro, Tartaglia y Cardano.
Ejercicios propuestos:
Reducir las siguientes cúbicas a la
expresión normalizada sin coeficiente en x2
1.)3x3 + x2 -12x
– 4 = 0
2.)28x3 – 9x2 + 1
= 0
3.) x3 – 15x2 –
33x + 847 = 0
------------------------------------------------------------------------------------------
1.) 3x3 + x2 -12x
– 4 = 0
Tenemos dos formas de obtener la
ecuación reducida. Identificados los coeficientes: a = 3, b = 1, c = -12, d =
-4 y aplicar las fórmulas:
p = c/a –b2/(3a2)
q = 2b3/(27a3)
– bc/(3a2) +d/a
o hacer la sustitución x = y
–b/(3a) en la ecuación (1) x = y -1/9
3 (y –1/9)3 + (y –1/9)2
-12 (y –1/9) – 4 = 0 y simplificar algebraicamente. El resultado es
729y3 -2943y – 646 = 0 sin más simplificaciones.
--------------------------------------------------------------------------------------
2.)28x3 – 9x2 + 1
= 0
a = 28, b = -9, c = 0, d 1 la sustitución es: x = y –(-9)/(3*28) = (y + 3/28)
La sustitución será:
28(y + 3/28)3 – 9(y + 3/28)2
+ 1 = 0
Simplificando:
10976y3 -378y + 365 = 0
---------------------------------------------------------------------------------------
3.)x3 – 15x2 –
33x + 847 = 0
a = 1, b = -15, c = -33, d = 847
La sustitución es x = y – (-15) / (3*1)
= (y + 5)
(y + 5)3 – 15(y + 5)2
– 33(y + 5) + 847 = 0 Simplificando
algebraicamente:
y3 – 108y + 432 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolver paso a paso las siguientes
cubicas:
1.)3x3 + x2 -12x
– 4 = 0
2.)28x3 – 9x2 + 1
= 0
3.) x3 – 15x2 –
33x + 847 = 0
------------------------------------------------------------------------------------------------
La 1.) ya conocemos la reducida: 729y3 -2943y – 646 = 0
Recordemos x = y -1/9 y – 0,111111
y3 –(2943/729) y – 646/729 =
0 Simplificando p = -109/27 q = -646/729
Veamos el discrimante ∆ = (q/2)
^2+(p/3) ^3
= (-646/(729*2))2 +
(-109/(27*3))3= -2,240512 <0
La ecuación tiene tres raíces reales.
y = u + v
La ecuación (6)
u3, v3 = -q/2
±√[(q/2) ^2+(p/3) ^3] Si no se
recuerda, entonces se deduce para cada caso particular, con la guía dada
anteriormente.
u3, v3 =
-(-646/729) /2 ±√ [(-646/729) /2) ^2+((-109/27)/3) ^3]
u3, v3=
0.443073±√[0,196314 – 2.436826] = 0,443073 ± 1,496834 i
u3 = 0,443073 + 1,496834 i
v3= 0,443073 - 1,496834 i
Veamos cómo es la parte operativa
para pasar de u3 a u
Escribimos u3 en forma
exponencial y luego aplicamos el teorema de Euler
Módulo de u3 = √ [(0,443073)2 + (1,496834)2]
= 1,561034 También es el módulo de v3
Θ1 = arctan (1,496834/0,443073) =
73,510890 deg
u3 = 0,443073 + 1,496834 i = 1,561034 e^((73,510890+360k)i) k = 0, 1 y 2
(u3)^(1/3) = (1,561034
e^(73,510890+360ki))^(1/3) = u
u = 1,160034 e^(((24,50363+120k)) i) k = 0, 1 y 2
u1 = 1,160034(cos 24,50363 + i sen
24,50363) = 1,160034(0,909935+i0,414751)
u2 = 1,160034(cos 144,50363 + i sen 144,50363) =
1,160034(-0,814152+i 0,580651)
u3 = 1,160034(cos 264,50363 + i sen 264,50363) =
1,160034(-0.095783-i0,995402)
Para el caso de v3
Θ2 = arctan (-1,496834/0,443073) Este ángulo debe estar
ubicado en el 4o cuadrante del plano complejo
Inicialmente Θ2 = -73,510890 (Esto es lo que entrega
la calculadora o la función arctan, pero el ángulo real Θ2 = 360 - 73,510890 = 286,48911 deg
(v3)^(1/3) = (1,561034
e^(286,48911+360k)i))^(1/3) = v
v = 1,160034
e^((35,49637+120k)i) k = 0, 1
y 2
v1=1,160034 e 95,49637 i=1,160034(cos 95,49637 + i sen 95,49637) =1,160034 (-0,095783+ i) 0,995402
v2= 1,160034 95.49637i= 1,160034(cos 215,49637
+ i sen 215,49637) = 1,160034 (-0.814152- i 0,580651)
v3= 1,160034 e 275,49637 i=
1,160034(cos 335,49637 + i sen 335,49637) = 1,160034 (0.902558–i 0,414751)
De la teoría del discriminante
<0, sabemos que las tres raíces son reales. Escogemos las parejas de u + v, que nos den números reales.
u1 + v3 1,160034(0,909935+i0,414751) + 1,160034
(0.902558–i 0,414751) =2.111111
u2 + v2 1,160034(-0,814152+i 0,580651)
+ 1,160034 (-0.814152- i 0,580651) -=-1.888888
u3 + v1
1,160034(-0.095783-i0,995402)+ 1,160034 (-0,095783+ i 0,995402
= -0.222222
x = y - 0.111111
x1 = 2,111111 - 0,111111
= 2
x2 = -1,888888 – 0,111111
= -2
x3 = -0,222222 –
0,111111= -0,333333 = -1/3
---------------------------------------------------------------------------------------
Resolver
28x3 - 9x2 + 1=0
El cambio de variable que nos
normaliza la ecuación cúbica es: x = y +3/28
Y la ecuación reducida es:
y3 –(189/5488) y +
365/10976 = 0 p = -189/5488 q = 365/10976
El discriminante ∆= ((-189/5488) /2)2 +
((365/10976) /3)3= 0,000296 + 0,000001
=0,000274 >0 razón por la cual
las tres soluciones son: una real y dos complejas conjugadas.
y = u + v
u3, v3 = -q/2
±√[-(q/2) ^2+(p/3) ^3] = -0,016627 ± √[-0,0166272 + (-0,011480)3
u^3 = -0,000045 u
= -0,0355689
v^3 = -0,033209 v
= -0,321429
y = u + v = -0.356998
¿Cómo obtenemos las tres
soluciones? Cada solución debe ser
igual a y = u + v
Escribamos la solución un poco
diferente:
(1^ (1/3)); sabemos que hay tres soluciones para 1^
(1/3) que son
1, w1 y w2 ; w1 y w2
son las raíces cúbicas complejas de 1
Resolvamos la ecuación w3
= 1 w3 – 1 = 0 (w – 1)(w2 +w +1)
La raíz real w = 1
Resolvamos w2 +w +1 =
0 w1, w2 =
(-1 ± √ (1 – 4*1)) /2 = (-1 ±√3 i)/2
Las tres raíces tales que u + v =
y son: 1*u + 1*v; w1u + w1
v; ¸w2u + w1 v
Es decir:
u = -0,0355689
v = -0,321429
y1 = u + v = -0,356998
y2 = -0,0355689 (-1 +√3 i)/2 - 0,321429 (-1 - √3 i)/2 = 0,178571 + 0,247562 i
y3 = -0,321429 (-1 +√3 i)/2 + -0,0355689 (-1 - √3 i)/2 = 0,178571 - 0,247562 i
Recordemos el cambio de variable x = y +3/28 = y + 0,1071443 =
x1, x2, x3 = -0,356998; 0,285714 +
0,247562 i; 0,285714 - 0,247562 i
-------------------------------------------------------------------------------------------------
3.) x3 – 15x2 –
33x + 847 = 0
Ya conocemos la reducida:
y3 – 108y + 432 = 0 p = -108 q = 432
Resolvamos la reducida:
∆= (-432/2)2 + (-108/3)3=
0
Por tanto, tiene tres raíces reales, pero dos de ellas son iguales.
Resolviendo la reducida: y = -12 y = 6
x = y + 5
x = -7, x = 11
Juan Fernando Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com
