Julio 2026

 

Blog problemas de geometría plana – Teorema de Herón – Circunferencias   circunscritas e inscritas

 

1.    1.Teorema de Herón

 

Sea el triángulo general ABC, cuyos vértices son A, B y C y sus lados, a, b y c

El área del triángulo viene dada por la fórmula     Área = √(s(s-a) (s-b) (s-c)), donde

S = (a + b +c) /2   semiperímetro

S – a = = (a + b -a) /2

S –b = = (a + c -a)/2

S – c = = (a + b -c)/2

Demostración

Figura 1. Área del triángulo por el teorema de Herón

 

Área = ah/2= ab.sen(γ)/2                                            (1)

Sen(γ) = √ (1 – cos² (γ))

Cos(γ) = (a² + b² -c²) /2ab                                          (2) Por el teorema del coseno

La (1) queda así:

 

Área = ab√ {(1 - (a² + b² -c²)² /4a²b²} /2

 

Área =ab √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²) /4a²b²)} /2 = √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²} /4

Factoricemos por diferencia de cuadrados:

Área = √ {2ab + a² + b²-c²) (2ab -a² -b² + c^2})} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b +c) (a + b -c) (c +a - b) (c – a + b) (c + a – b)} /4            (3)

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Reemplazando en la (3)

 

Área = √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]/4 = (4/4) √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]

= √ [s (s – a) (s – b) (s – c)]

 

Ejemplo 1:  Hallar el área del triángulo cuyos lados son:3, 5 y 6

S = (3 + 5 +6) /2 = 7

S -3 = (5+6 -3) /2 =4

S – 5 = (3 + 6 – 5) /2 = 2

S – 6 = (3 + 5 -6) /2 =1

Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

1.   2.  Circunferencia circunscrita a un triángulo

Una circunferencia circunscrita a un triángulo, es aquella en la cual, los tres vértices del triángulo, son puntos de la circunferencia.

Sea R el radio de esa circunferencia.

Dado un triángulo cualquiera, se trazan las mediatrices de cada uno de los lados,las cuales concurren en un punto llamado circuncentro. El radio de la circunferencia es R y corresponde a la distancia del circuncentro a uno de los vértices.

 

Dado un triángulo ABC, cualquiera, calcular el valor del radio R, de la circunferencia circunscrita, en función de los tres lados.

Circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera ABC

Solución

El ángulo<ACB = γ tiene como medida el arco AB/2

El ángulo AOB, tiene como medida el arco AB, por tanto, es igual a 2γ

El triángulo AOB es isósceles, por tano OD es mediana, mediatriz y bisectriz y el ángulo <AOD = γ

En el triángulo AOD, senγ= (c/2) /R          y R =(c/2) /senγ

R=c/(2senγ) = c / [2√ (1 – (a²+b² -c²/2ab)²)]

R = c /2√ [(1 – (a²+b² -c²)²/4a²b²)²)]

R = c / [(2/2ab) √ (4a²b²– (a²+b² -c²)²)]

R =ab c / √ ([4a²b²– (a²+b² -c²)²)] cuya factorización, es idéntica a la vista en el primer tema de este blog

R =[(abc)/ [4 Área del triángulo]

Ejemplo2:

Calcular el Radio de la circunferencia circunscrita al triangulo del ejemplo 1

R =(3x5x6) X7,48/4 = 3u

Nota: La ley del seno en triángulos, también nos da una expresiópn para calcular el radio de la circunferencia circunscrita a ese triángulo

a/senA = b/senB = c/senC = 2R

3. Circunferencia inscrita. Cálculo del radio r de este en función de sus lados.

Radio de la circunferencia inscrita en función de sus lados a, b y c

El centro de esta circunferencia, es el punto donde confluyen las bisectrices delos ángulos internos A, B y C. Sea O ese centro, que llamaremos incentro.

El área del triángulo ABC es la suma de las áreas de los triángulos ABO, BOC y COA

Cuyas bases son los lados c, a y b y cuya altura relativa a esos lados es r, por tanto:

 

Área = área AOB +área BOC + área COA

Área = cr/2 +ar/2 + br/2 = (r/2) (a +b + c)

Por 3l teorema de Herón

R = 2Área/ (a + b + c) =2

Área =√[s(s-a) (s-b) (s-c)] = (r/2) (a +b + c)

r = 2√[s(s-a) (s-b) (s-c)]/ (a + b + c)   radio de la circumferencia inscrita

Recordar:

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Ejemplo 3

Calcular r en el triángulo cuyos lados son 3, 5 y 6

Del ejercicio 1 sabemos qué Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

Por tanto      r =2*7,48/14 = 1,07 u

4.    Lugar geométrico

Sea una circunferencia de radio R. Trazamos otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia inicial y al diámetro de esta. (Ver figura). Hallar el lugar geométrico de los puntos P, centros de las circunferencias interiores, inscritas en la circunferencia mayor y el diámetro de esta.

Solución

Evidentemente hay dos puntos de ese lugar. El primero es el punto B(5, 0) y el punto (0, R/2)

Si tomamos un punto P(x, y) general, de ese lugar geométrico, el radio de este será r = y.

Una tangente a la circunferencia grande en Q(xo, yo) tiene una pendiente m1 y es igual a la derivada de y = √(R^2-x^2) es decir         y’ = -x/√(R^2-x^2)

Que en el pnto Q es igual a m1 = -xo/√(R^2-xo^2)

Si m2 es la pendiente de la recta PQ, entonces m1 m2 = -1   y m2

m2 = √(R^2-xo^2) /xo

 

m2 =(y-yo) /(x-xo) = √(R^2-xo^2) /xo

       y    yo = √(R^2-xo^2)                       obtenemos la ecuación (1)

 (y-yo) /(x-xo) =yo/xo

y = yo (x – xo) yo/xo                                                   (1)

Otra ecuación que relaciona a P y Q es el radio r de la circunferencia interior

Ese radio r = y             y² = (x – xo)² + (y – yo)²     (2)

Combinándolas obtenemos         xo = yox/y                (3)

Reemplazando (3) en (2)

(y – yo)² [x² + y²] = y4

y – yo = y²/√ [x² + y²]

yo = y - y²/√ [x² + y²]                                                 (4)

[1-y]/√(R^²-x^²)²(x² + y²)

xo en términos sólo de x e y se convierte en

xo = (x/y) √ [x² + y²]                                                 (5)

xo, yo satisfacen la ecuación de la circunferencia grande x² + y² = R²

Reemplazando (4) y (5) en la ecuación principal

Terminamos en

√ [x² + y²]-y = ±R

Y simplificando

y = (x² – y²) /2R)        o         y = -(x² – y²)/2R)

Para la semi circunferencia superior, el lugar geométrico es la parábola encerrada en el cuadro.

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

Integrales con diferencial exponencial

Medellín, enero 2026

En realidad, no se trata de la integral exponencial, sino de una integral en la que el diferencial aparece como un exponente.

De hecho, no he visto esta integral en ningún libro de cálculo, sólo en YouTube. Tiene su lógica, aunque no he visto ninguna aplicación de esta integral en la física, ni en matemáticas financieras o estadísticas. Mas aun, es probable que tenga un nombre diferente al que le acabo de dar.

 

Recordemos la suma de Riemann

Tenemos una función f(x), continua en el intervalo [a, b]

Dibujamos la función f(x), continua en el intervalo [a, b]

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos, no necesariamente iguales, que llamamos Δxi

En cada subintervalo i (xi, xi+1], tomamos un valor arbitrario xk, no necesariamente xi, ni xi+1

Fig. 1 f(x) entre [a, b]; n intervalos i   xi+1 – xi = Δxi,   i     varía de 1 a n y cubre la totalidad del intervalo [a, b], los xk escogidos en cada intervalo i son arbitrarios, no necesariamente coinciden con xi o xi+1

 

La suma de Riemann es la siguiente expresión matemática:

Tomemos Ln a ambos lados de (5)

Ejercicio 1

Integramos por partes:

Primero, un cambio de variable       t = 2x + 3       dt = 2dx

∫ln(t) dt/2 = (1/2) ∫ln(t) dt

u = ln(t)            dv = dt

du = (1/t)dt        v = t

(1/2) ∫ln(t) dt = (1/2) [tln(t) - ∫dt] = (1/2) [tln(t)- t + C]

Remplazamos

(1/2) [(2x+3) ln(2x+3) – (2x+3) + C] en la (9)

Integramos por Partes

u = ln(cos(x))                    dv = (-sen(x))dx

du= (1/cos(x)) (-sen(x)dx    v = cos(x)

Ejercicio 3

Donde A es una constante

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

Blog solución de ecuaciones de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, para ecuaciones diferenciales exactas, convertibles a exactas y homogéneas

 Medellín, diciembre de 2025

1.    1.Ecuaciones diferenciales exactas

 

Sea la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, tal que My = Nx

La solución a esta ecuación diferencial exacta es f (x, y) = C

Si la solución a la ecuación diferencial es f (x, y) = C, el diferencial exacto de f (x, y) es:

Veamos cómo funciona esto en la práctica.

 

Ejemplo 1

(2x - 1) dx + (3y + 7) dy = 0

M = 2x – 1

N = 3y + 7

My = 0

Nx = 0     Como My = Nx la ecuación diferencial es exacta y tiene solución

f (x, y) = C

utilizamos M = fx          para encontrar una f apropiada, hacemos lo siguiente:

f (x, y) = ∫Mdx = ∫ (2x – 1) dx = x² –x +g(y)

Derivemos la función f parcialmente respecto a y, e igualemos a N(x,y)

fy = g’(y) = N(x, y) = 3y +7                 dg(y) = (3y + 7) dy

g(y) = (3/2) y² + 7y

f (x, y) = C      es        x² – x + (3/2) y² + 7 = C

 

Solución final

x² – x + (3/2) y² = C                  ya que C – 7 es una constante

Ejemplo 2

(x + y)² dx + (2xy + x² -1) dy = 0         y     y(1) = 1

M = (x + y)²

N = (2xy + x² – 1)

My = 2(x + y) *1 = 2(x + y)

Nx = 2y + 2x = 2(x + y)                                  My = Nx          Es exacta.

f (x, y) = C                  fy = N = (2xy + x2 – 1)         f (x, y) = ∫ (2xy + x² – 1) dy

f (x, y) = 2xy²/2 + x² y – y + g(x) = xy²/ + x² y – y + g(x)

fx = y² + 2xy + g’(x) = M = (x + y)² = x² +2xy + y²

fx = y² + 2xy + g’(x) = = x² +2xy + y²

g’(x) = x²

dg =x² dx       Integrando obtenemos                                         g(x) = x³/3

La solución es:

xy² + x² y – y + x³/x = C

Haciendo y (1) = 1

y = 1

x + x² – 1 + x³/3 = C                                    x + x² + x³/3 = C                                   

 

1.    2.Ecuaciones transformables a exactas

Muchas ED que no son exactas, pueden transformarse en exactas, utilizando un factor integrante FI

Supongamos que ese factor es u (x, y) y convierte la ecuación inexacta en una exacta.

Hemos utilizado y seguiremos utilizando la siguiente notación.

Teniendo en cuenta la notación anterior, la ecuación diferencial

Mdx + Ndy = 0                                               (1)

inexacta, se convierte en exacta si se hace lo siguiente:

u (x, y) M (x, y) dx + u (x, y) N (x, y) dy = 0            (2)   

(2) es exacta. Simplificando la notación, lo que tenemos es:

uMdx + uNdx = 0   y, por tanto

uM = M1           uN = N1                                (3)

Tomando las derivadas parciales con respecto a y, y a x, respectivamente de M1 y N1:

d(uM)/dy          y       d(uN)/dx

uMy + u_yM = uNx + u_xN             u (My – Nx) = u_xN - u_yM           (4)

Que implica que:

u (My – Nx) = u_xN - u_yM                                                            (5)

Normalmente es muy difícil encontrar esa función u (x, y) para halla el FI, pero los matemáticos han determinado que, si eventualmente u (x, y) es función de una sola variable u(x) o u(y), la cuestión, aunque se des universaliza, es de gran utilidad y permite ser encontrado fácilmente.

Supongamos que u = u(x)                                                       (6)

La ecuación (5) se convierte en

u (My – Nx) = u_xN               ya que u_y = 0      además u_x = du/dx

du/u = [(My – Nx) /N]dx e integrando a ambos lados obtenemos

ln(u) = ∫ [(My – Nx) /N]dx

u(x) = FI = e^{∫(My – Nx) /N]dx}

Lo cual implica que (My – Nx) /N es sólo función de x           (7)

Si hubiéramos partido de u (x, y) = u(y) y siguiéramos el mismo procedimiento, obtendríamos lo siguiente

u(y) = FI = e^{∫ (Nx - My) /M]dy}

Lo cual implica que (Nx – My) /M es sólo función de y         (8)

Ejemplo

(2x³ + y) dx – xdy = 0

M = 2x³ +y

My = 1

N = -x

Nx = -1

La ecuación no es exacta

Simplifiquemos las expresiones:

(My – Nx) /N = (1 –(-1)) /(-x) = -2/x

(Nx – My) /M = 2/ (2x3 + y)         tiene x e y, y no se puede utilizar como FI; utilizaremos

(My – Nx) / N= -2/x para obtener u

u = e ^∫(-2/x)dx = e ^-2lnx = x ^-2 = 1/x²

M1 = (1/x²) (2x3 + y) = 2x + y/x²

N1 = (-x) /x² = -1/x

Voy a encontrar f (x, y) partiendo de N1 (Trato de comenzar la solución con la integral más directa y sencilla.

f (x, y) = ∫(-1/x) dy = -y/x + g(x)    porque integré respecto a y 

fx = y/x² + g’(x) y la igualamos a M1 = 2x + y/x²    

y/x² + g’(x) = 2x + y/x²     g’(x) = 2x         dg = 2xdx       e integrando obtenemos

g(x) = x²

f (x, y) = -y/x + x² = C 

-y +x³ = Cx                                    y la solución es         y = x3 +Cx     

 

Ejercicio 2 de ecuaciones de la forma Mdx + Ndy= 0, que no son exactas.

(recordar M = M (x, y)         N = N (x, y)

y²cos(x)+(4+5ysen(x)) dy = 0

M = y²cos(x)

My = 2ycos(x)

N = 4 + 5ysen(x)

Nx = 5ycos(x)

My diferente a Nx, luego no es exacta, pero podría ser transformable en exacta.

(My – Nx) /N =(2ycos(x) – 5ycos(x)/ (4 + 5ysen(x)) = - 3ycos(x)/ (4 + 5ysen(x) no es función de 

una sola variable y por tanto no sirve para este problema.

(Nx – My) / M = 3ycos(x)/(y²cos(x)) = 3/y     función sólo de y, y sirve para transformar la 

ecuación diferencial no exacta, en exacta

FI = e ^∫(3/y)dy= e ^3lny= y³

M1 = y⁵cos(x)

N1 = (4+ 5ysen(x)) y³ = 4y³ + 5y⁴sen(x)

 Obtenemos f (x, y) = C a partir deM1

f (x, y) = C= ∫ y⁵cos(x)dx = y⁵sen(x) + g(y)    La constante es una función de y

fy = N1

5y⁴sen(x) + g’(y) = 4y³ + 5y⁴sen(x)

g’(y) = 4y³               dg = 4y³dy          integrando        g(y) = y⁴

f (x, y) = C = y⁵sen(x) + y⁴   

La solución de la ecuación será:           y⁵sen(x) + y⁴ = C

Ejercicios propuestos:

Resolver

x(dx/dy) = 2xe^x – y + 6x²

(4xy³ + 3y²) dx + (6x²y² + 6xy) dy

(x² - y²) dx + (x² – 2xy) dy

6xydx + (4y + 9x²)dy

(x + y +2) dx + dy

(5x² - xy + x³sen(x)) dx + (x² + x³y) dy

3.    Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx +N (x, y) dy= 0   (1)

(o simplemente Mdx + Ndy = 0 )

Es homogénea si y solo si:

M (tx, ty) = tⁿ M (x, y)

Y

N (tx, ty) = tⁿ N (x, y)

Para cualquier n real.

La solución, normalmente, se logra haciendo el cambio de variable

y = u (x, y) x        o simplemente y = ux y la ecuación diferencial original se resuelve por separación de variables.

Si los integrales resultantes, del cambio de variable anterior, son muy laboriosos o difíciles, 

se intenta el cambio

x = u (x, y) y

 

Ejemplo

x(dy/dx) = (y + xe ^(y/x))

Solución

Le damos la forma a ecuación diferencial

(y + xe ^(y/x)) dx – xdy = 0

M (x, y) = (y + xe ^(y/x))

M (xt, yt) = (yt + xte ^(y/x) = t (y + xe ^(y/x) = tM (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = tN (x, y)

Se cumple la definición con n= 1

Cambiemos x por xt          y      y por yt

(yt + xte ^(yt/xt)) dx – xtdy = 0

t ((y + xe ^(yt/xt)) dx – xdy) = 0

Eliminamos t y nos queda la ecuación diferencial original y hacemos el cambio

y = ux;                    dy = udx + xdu

y = ux                     u = y/x

(ux + xe ^u)) dx – x (udx + xdu) = 0

Podemos cancelar la x

(u + e ^u) dx – (udx + xdu) = 0

e^udx = xdu                                                   du/e^u = dx/x

∫e^-u du = ∫dx/x                -e ^-u = ln(x) + C

La solución será:

-e -^y/x = ln(x) + C

Ejemplo 2

(2√(xy) - y) dx -xdy = 0

Solución

M (x, y) = (2√(xy) - y)

M (xt, yt) = (2t√(xy) - yt) = = t(2√(xy) – y) = t M (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = t(-x) = t N (x, y)

Por tanto se trata de una ecuación diferencial homogénea, para n = 1

y = ux

(2√(xux) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

(2x√(u) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

Podemos eliminar x

(2√(u) – u) dx –(xdu + udx) = 0         podemos agrupar por dx y du    

(2√(u) – u - u) dx – xdu = 0                     du/ (2√(u) – 2u) = dx/x

(1/2) du/(√(u) – u) = dx/x

Resolviendo las integrales a cada lado. (Se propone como ejercicio)

-ln (√u -1) = ln(x) + lnC

ln ((√u -1) + lnCx = 0

ln ((√u -1)Cx) = 0

(√u - 1) Cx = 1

(√(y/x) -1)Cx = 1

√(y/x) = 1/Cx +1            elevando al cuadrado

y/x = 1/C²x² +2/(Cx) +1

y = x +x/(C²x²) + 2/C              C = 1/C₁

 

                                        y = x + 2C₁ + C₁²/x

 

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas

(x – y) dx + xdy = 0

dy/dx = y/x + x/y

(y² + xy) dx + x²dy = 0

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com