Identidades sen(α+β); Cual es mayor o pe; Raiz
cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos
y cuadrados.
1. Cuál es mayor ep o pe
Podriàmos chequear con la calculadora, pero no, lo vamos hacer a travez de analizar la gràfica y = ln(x)/x
La gràfica de la función es la que se muestra en la figura (1)
Obtenemos el valor de su punto máximo
y’ = [x/x -ln(x)]/x2 = (1 – ln(x))/x2 de donde: el punto crítico es el que resuelva la ecuación 1 – ln(x) = 0, o sea x = e
Se trata de un máximo, ya que para para valores <e la derivada es positiva y para valores mayores que e, la derivada es negativa. La derivada pasa de + a – en x = e
Fig 1 Gráfica de y = ln(x)/x
El mayor valor de y es 1/e; por tanto, ln(p)/p < 1/e
Se sigue que e*ln(p) < p
Ln(p)e < p
1. 2.Demostrar
gráficamente las fórmulas trigonométricas:
sen(α+β)
= senαcosβ
+ cosαsenβ
cos(α+β)
= cosαcosβ
+ senαsenβ
Construyamos el ángulo α como
se indica en la figura (2)
Luego, construyamos el ángulo β,
como se indica en la figura (2)
Figura (2)
Sea α el ángulo <BAC y β el ángulo <CAE Para llegar a E trazamos la recta CE perpendicular a AC.
Suponemos que la longitud de la recta AE es 1 y completamos el rectángulo ABDF
Veamos algunas propiedades en la figura: <BAC = <DCE = α (porque tienen sus lados perpendiculares entre sí)
El ángulo <AEF = <BAE
por alternos internos.
Veamos el triángulo rectángulo ACE
Si la hipotenusa AE es 1 entonces AC = cosβ y CE = senβ
Veamos el triángulo ABC cuya hipotenusa es cosβ, por un razonamiento igual al anterior:
AB = cosαcosβ y BC es cosβsenα Como se ve en la figura (3)
Figura (3) Desarrollo del problema gráfico.
De igual manera CD es senβcosα y DE es igual a senβsenα
Ahora viene lo mas interesante: AF sen(α+β) y EF = cos(α+β)
Mirando igualdades en el rectángulo AF= BD= BC + CD o lo que es lo mismo:
sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ Quedó demostrada la primera identidad.
Ahora miramos EF = cos(α+β) = FD – DE y se ve claramente en la figura que es igual a
cosαcosβ- senαsenβ
Queda demostrado que:
cos(α+β) = cosαcosβ- senαsenβ
3. Encontrar la raiz cuadarada de la siguiente matriz
Lo
primero que se me viene a la cabeza, es que no tengo idea de como resolver este
sistema de ecuaciones. Intenté con “DERIVE”y afortunadamente lo resolvió. Podía
no haberlo resuelto.
La
respuesta fue múltiple (4 matrices):
(x
= 0 y = 1 z = 2
u = 1), (x = 0 y = -1 z = -2
u = -1), (x = 4/3 y = 1/3, z = 2/3, u = 5/3), (x = -4/3 y = -1/3,
z = -2/3, u = -5/3)
Al
hacer la prueba con las 4 matrices, vemos que todas cumplen que B2 = A
1. 4. Resolver
la ecuación:
2x*3^(x2) = 6
Todo parece indicar que se resuelve utilizando las propiedades de los logaritmos.
Dividiendo por 6 a ambos lados:
2x-1*3^(x2-1) = 1
ln[(2x-1)*3^(x2-1)] = ln1 = 0
ln(2x-1) + ln3^(x2-1) = 0
(x-1)ln2 + (x2-1)ln3 = 0
(x-1)[ln2 + (x+1)ln3] = 0
Lo anterior me da las dos raíces para x. La primera es x-1 = 0 x = 1
La segunda me da que x = -ln2/ln3 – 1 = -1.630929753
La verificación con x= 1 es obvia. Con x = -1.630929753 hay que tener cuidado
(-1.630929753)2 = 2.659931859
2(-1.630929753)*3(2.659931859) = 6
5. En la siguiente figura, encontrar el área rayada.
AEGH y ABCD son cuadrados, cuyo lado no conocemos. Pero conocemos las áreas sombreadas.
Figura (4)
No conocemos el lado de ninguno de los dos cuadrados. No
obstante, conocemos el área del cuadrado AEFG que es igual a 4 + 12 = 16, por
lo que el lado de este cuadrado es 4.
Igualmente, conocemos el lado AE del triángulo rectángulo AEF y
por consiguiente, conocemos el lado EF.
EF*4/2 = 4 EF = 2 y por lo
tanto, FG = 2
Los triángulos AEF y FBG, son rectángulos y además, tienen igual el ángulo interior en F. La relación entre sus hipotenusas es: 1/√5 Ver figura (5)
Figura (5)
Sus catetos serán FB = 2/√5 y BG = 4/√5
El área de este triángulo FBG = (2/√5) (4/√5)/2 = 4/5 u2
El área pedida será igual a (2√5 + 2/√5)2 - 4/5 = 28 u2
Juan Fernando Sanin E
La mayoría de los ejercicios, tomados de blogs de la web, de
varios autores.