Identidades sen(α+β); Cual es mayor e^pi o pi^e; Raiz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

 Medellín, marzo 2025

Identidades sen(α+β) y cos(α+β); Cuál es mayor  o e^π o π^e; Raíz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

1.    Cuál es mayor π^e o e^π

Podríamos chequear con la calculadora, pero no, lo vamos hacer a través de analizar la gráfica y = ln(x)/x

La gráfica de la función es la que se muestra en la figura (1)

Obtenemos el valor de su punto máximo

y’ = [x/x -ln(x)]/x² = (1 – ln(x))/x² )        en donde:    el punto crítico es el que resuelva la ecuación                1 – ln(x) = 0, o sea x = e

Se trata de un máximo, ya que para para valores <e la derivada es positiva y para valores > e la derivada es negativa. La derivada pasa de (+) a (–) en x = e

 

Fig. 1  Gráfica de y = ln(x)/x

El mayor valor de y es 1/e;      por tanto,  para todo y diferente;     ln(π)/π < 1/e

Se sigue que                                                        e*Ln(π) < π

                                                                             [Ln(π)^e] < π    (1)

Recordemos que e^Ln(x) = x     (2), y elevamos a la e ambos lados de la ecuación (1)

                                                                                      {e^[Ln(π)^e]} < e^π

                                                                                                 π^e <  e^π

1.    2.Demostrar gráficamente las fórmulas trigonométricas:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

 

Construyamos el ángulo α como se indica en la figura (2)

Luego, construyamos el ángulo β, como se indica en la figura (2)

Figura (2)

Sea α el ángulo <BAC         y β el ángulo <CAE      Para llegar a E trazamos la recta CE perpendicular a AC.

Suponemos que la longitud de la recta AE es 1 y completamos el rectángulo ABDF

Veamos algunas propiedades en la figura:    <BAC = <DCE = α (porque tienen sus lados perpendiculares entre sí)

El ángulo <AEF = <BAE         por alternos internos.

Veamos el triángulo rectángulo ACE

Si la hipotenusa AE es 1 entonces AC = cosβ      y CE = senβ

Veamos el triángulo ABC cuya hipotenusa es cosβ, por un razonamiento igual al anterior:

AB = cosαcosβ y BC es cosβsenα   Como se ve en la figura (3)

Figura (3) Desarrollo del problema gráfico.

De igual manera CD es senβcosα y DE es igual a senβsenα

Ahora viene lo mas interesante: AF sen(α+β)        y      EF = cos(α+β)

Mirando igualdades en el rectángulo AF= BD= BC + CD o lo que es lo mismo:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ              Quedó demostrada la primera identidad.

Ahora miramos EF = cos(α+β) = FD – DE y se ve claramente en la figura que es igual a

cosαcosβ- senαsenβ

Queda demostrado que:

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

3. Encontrar la raíz cuadrada de la siguiente matriz

Lo primero que se me viene a la cabeza, es que no tengo idea de como resolver este sistema de ecuaciones. Intenté con “DERIVE”y afortunadamente lo resolvió. Podía no haberlo resuelto.

La respuesta fue múltiple (4 matrices):

 

(x = 0  y = 1  z = 2  u = 1), (x = 0  y = -1  z = -2  u = -1), (x = 4/3  y = 1/3,  z = 2/3, u = 5/3), (x = -4/3  y = -1/3,  z = -2/3, u = -5/3)

 

Al hacer la prueba con las 4 matrices, vemos que todas cumplen que B^2 = A

 

1.   4.  Resolver la ecuación:

2^x*3^(x²) = 6

Todo parece indicar que se resuelve utilizando las propiedades de los logaritmos.

Dividiendo por 6 a ambos lados:

2^x-1*3^(x²-1) = 1

ln[(2^x-1)*3^(x²-1)] = ln1 = 0

ln(2^x-1) + ln3^(x²-1) = 0

(x-1)ln2 + (x²-1)ln3 = 0

(x-1)[ln2 + (x+1)ln3] = 0

Lo anterior me da las dos raíces para x. La primera es x-1 = 0      x = 1

La segunda me da que x = -ln2/ln3 – 1 = -1.630929753

La verificación con x= 1 es obvia. Con x = -1.630929753 hay que tener cuidado

(-1.630929753)^2 = 2.659931859

2^{(-1.630929753)*}3^{(2.659931859)} = 6

 

    5. En la siguiente figura, encontrar el área rayada.

AEGH y ABCD son cuadrados, cuyo lado no conocemos. Pero conocemos las áreas sombreadas.

Figura (4)

 

No conocemos el lado de ninguno de los dos cuadrados. No obstante, conocemos el área del cuadrado AEFG que es igual a 4 + 12 = 16, por lo que el lado de este cuadrado es 4.

Igualmente, conocemos el lado AE del triángulo rectángulo AEF y por consiguiente, conocemos el lado EF.    EF*4/2 = 4       EF = 2 y por lo tanto, FG = 2

Los triángulos AEF y FBG, son rectángulos y además, tienen igual el ángulo interior en F. La relación entre sus hipotenusas es: 1/√5   Ver figura (5)

Figura (5)

Sus catetos serán FB = 2/√5 y BG = 4/√5

El área de este triángulo FBG = (2/√5) (4/√5)/2 = 4/5 u2

El área pedida será igual a (2√5 + 2/√5)² - 4/5 -12 = 16 u2

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

La mayoría de los ejercicios, tomados de blogs de la web, de varios autores.