Medellín, julio de 2022
Distancia entre dos puntos de la tierra - Velocidad de Escape de la tierra
1. Distancia entre dos puntos de la tierra, conocidas su latitud y longitud
Si queremos conocer la
distancia entre dos puntos A y B, de la superficie terrestre, de los cuales
conocemos Lat A, Long A, Lat B Long B, preferiblemente en deg y decimales,
podemos encontrar la distancia entre A y B por el arco de esfera que los une.
El radio de la tierra
es 6378 km.
Fig. 1 Distancia entre dos puntos ubicados en la esfera terrestre.
La figura 1 nos muestra el problema.
En una circunferencia,
conocida la cuerda, se puede conocer el ángulo al centro que la subtiende.
Conocido el ángulo al
centro, con relaciones trigonométricas, podemos conocer, no sólo la cuerda,
sino el arco de circunferencia correspondiente a ese ángulo.
Si el ángulo al centro es α y el radio R, la cuerda será igual a 2Rsen α/2
Y el arco será igual a
Rα,
siempre y cuando, α esté expresado en radianes.
Si observamos las figuras 1 y 2, vemos que cuerda AC = 2Rsen ΔLat/2 = DB
ΔLat = Lat A – Lat C Lat C = Lat B
Para encontrar las cuerdas AD y CB, debemos primero obtener los radios R1 y R2
Fig. 2 Cuerda AC, R1 y R2
AC = 2Rsen (ΔLat/2) (1)
R1= R sen (p - Lat A) = R cos (Lat A) (2)
En forma similar:
R2= R sen (p - Lat B) = R cos (Lat B) (3)
Con R1 y ΔLong Podemos calcular AD
Con R2 y ΔLong
podemos calcular CB
El trapecio plano ACBD es isósceles y de el podemos conocer los lados paralelos AD y CB y el lado AC = DB
Por Pitágoras, podemos conocer la cuerda AB; con AB y R podemos conocer el ángulo al centro φ y la distancia por el arco AB será igual a d = φ(rad)R(km) en km
Continuemos los cálculos.
Fig. 3 Cálculo de
cuerdas AD, CB y AB
La cuerda AD = 2R1sen ΔLong/2 = 2Rcos Lat A sen ΔLong/2 (4)
La cuerda CB = 2R2sen ΔLong/2 = 2Rcos Lat B sen ΔLong/2
Para hallar la cuerda AB necesitamos encontrar u
u= (CB – AD) /2 (5)
AH2 = AC2 – u2 = AC2 – ((CB – AD)/2)2
AB2 = AH2 + (AD + u)2 = AH2 + (AD + (CB – AD)/2)2
AB2 = AH2 + ((CB + AD)/2)2
AB2 =AC2 – ((CB – AD)/2)2 + ((CB + AD)/2)2 = AC2 + CB*AD (6)
AB = √(4R2[sen2ΔLat/2) + cos Lat A cos Lat B sen2ΔLong/2]
AB = 2R√[sen2ΔLat/2) + cos Lat A cos Lat B sen2ΔLong/2] (7)
Φ ángulo al centro en radianes φ= 2 sen-1 ((AB/2)/R) (8)
La distancia d entre A y B será
d
= φ(rad)R(km) resultado d en km
2. Velocidad de Escape de la tierra
Datos R = 6378km Radio de
la tierra
G constante
gravitacional G = 6,67x10-11
N -m2/kg2
mt = masa de la
tierra mt= 5,97x1024
kg
m1 = masa del objeto
que se va a lanzar.
A una altura h>R, medida desde el centro de la tierra, la fuerza que actúa sobre la masa m1 será:
Fig. 4 Velocidad de escape de la tierra.
F = Gmtm1/h2
(N) (Newtons)
Esa fuerza es hacia abajo, el trabajo para subirla un dh será
dw = m1F1 donde F1 = Gmtm1/h2 (N) pero hacia arriba
m1Vo2/2 = Gmtm1/R Vo = √(2Gmt/R)
Hagamos el cálculo
2*6,67*10-11*5,97*1024/6378000 N – m2 kg/ (kg2 m) kg m m2 kg/(seg2 kg2m) m2/seg2
= 1,2486641580432737535277516462841*10-4*1012 =
= 1,2486641580432737535277516462841*108
La
1,1174*104
m/seg = 11174 m/seg = 11,17 km/seg
Juan Fernando Sanin E
juanfernando.sanin@gmail.com
