Solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas, lineales, de segundo orden, con coeficientes constantes

 

Medellín, marzo 2021

 

Solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas, lineales, de segundo orden, con coeficientes constantes:

Sea la ecuación de segundo orden:

a₂y’’ + a₁y’ + a_oy =f(x)                             (1)                  No homogénea

Y la siguiente la homogénea asociada:

a₂y’’ + a₁y’ + a_oy = 0                                (2)                   Homogénea

Nótese que la única diferencia entre la no homogénea y la homogénea asociada es que en esta última f(x) =0

Si y₁ y y₂ son soluciones particulares de la homogénea (2)

C₁y₁ +1 C₂y₂  es la solución general de la ecuación (2)

La expresión C₁y₁ +1 C₂y₂, donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, se llama combinación lineal de las funciones y₁ y y₂. Por tanto, la expresión C₁x + C₂ es una combinación lineal de las funciones y₁ y y₂, siempre y cuando y₁ y y₂ sean funciones independientes entre si. 

Ejemplo: sean:

y₁ = x y y₂ = 1.  Son funciones linealmente independientes.

En seguida explicamos la dependencia lineal y la independencia lineal de las funciones.

Se dice que dos funciones son linealmente dependientes en un intervalo x₁ < x < x₂, si una función es un múltiplo constante de la otra, para todos los valores de x en ese intervalo. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

La independencia lineal unciones y₁ y y₂, también puede expresarse más formalmente como:

Dos funciones y₁ y y₂ son linealmente independientes, en un intervalo x₁ < x< x₂, si la ecuación:

C₁y₁ + C₂y₂ = 0 se satisface para todas las x en ese intervalo, solo cuando C₁ = C₂ = 0.

Si es posible satisfacer esta ecuación para todas las x, cuando uno de los coeficientes C₁ o C₂ (o ambos) son diferentes de cero, entonces ambas funciones son linealmente dependientes en el intervalo.

Ejemplo 1

Funciones linealmente independientes

Determinar si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o independientes para -∞ < x <∞.

a) y₁= 6x, y₂=2

y₁/y₂ = 3x       no es una constante para toda x

b) y₁ =senx, y₂ = cosx

y₁/y₂ = tanx            no es una constante para todo x

c) y₁= e^x, y₂= e^-x

y₁/y₂ = e^x/e ^-x =e ^2x               No es una constante para todo x

Independencia lineal de n funciones

Con frecuencia, el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior, se exige la determinación de la independencia lineal de tres o más funciones. Por tanto, extendemos esta explicación a un conjunto de n funciones.

Primero definimos la combinación lineal de n funciones y₁, y₂, . . . , y_n como

C₁y₁ + C₂y₂ + …………+ C_ny_n

donde C₁, C₂, . . ., C_n son constantes arbitrarias. La independencia lineal de n funciones se define así:

Las n funciones y₁, y₂, . . ., y_n son linealmente independientes, en un intervalo x₁ < x < x₂, si la ecuación:

C₁y₁+C₂y₂ +                                                  +C_ny_n = 0

se satisface para todas las x en ese intervalo sólo cuando C₁ = C₂ =   C_n = 0

De no ser así, se dice que estas n funciones son linealmente dependientes en ese intervalo.”

Aunque el enunciado que sigue tiene una demostración formal, aceptamos que una ED de primer orden tiene sólo una solución y una de 2º orden tiene dos soluciones independientes y₁ y y₂, una de tercer orden tiene tres: y₁, y₂ y y₃ y así sucesivamente.

Para resolver una ecuación diferencial no homogénea, de segundo orden, lineal, los pasos son:

1.   Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada. Si es de segundo orden hay dos soluciones independientes, que se combinan linealmente y que llamaremos y_h.

2.   Luego resolvemos la ecuación no homogénea, a la cual le buscaremos una solución particular y_p.   

La solución general de la ecuación homogénea y será igual a y= y_h + y_p

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

La primera de las dos formas que se considera, para obtener una solución particular yp de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados.

El método general se limita a ED lineales como (1) donde:

los coeficientes ai, i: 0, 1, 2 son constantes y que además, f(x) sea de la forma que se establece en la tabla (1)

NOTA Estrictamente hablando, f(x) = k (constante) es una función polinomial de grado 0.

En el blog anterior, la f(x) era de carácter general. Ahora la vamos a limitar a:

·        Polinomio de grado n P(n) (normalmente de grados 0 a 2)

·        sen (ax)

·        cos (ax)

·        eᶺ(ax)

Tabla de funciones f(x) que permiten el método de los coeficientes indeterminados.

Tabla (1)

Con algunos ejemplos aclararemos lo de la solución particular, cuando f(x) es una función de las que aparece en la tabla (1), a la cual se reduce el contenido de esta entrada del blog.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación diferencial

y’’ + y’ -2y = x²     (3)      La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0  (4)

Una solución para la homogénea es y₁ = e^mx, reemplazando en la (4)

mme^mx + me^mx – 2e^mx = 0                             m²e^mx + me^mx – 2e^mx = 0

m² + m – 2 = 0                          

Esta ecuación está asociada a la homogénea y se ve claramente que es la misma (4), donde hemos reemplazado y’’ por m², y’ por m e y por 1.

Factorizando esta ecuación la transformamos en (m + 2) (m - 1) = 0

m = -2 y m = 1

Las funciones y₁ y y₂ son: y₁ = e ^-2x y y₂ = e^x

Satisfacen c/u la ecuación (4) y siendo linealmente independientes, la solución y_h (y homogénea), es y_h = C₁e ^-2x + C₂e^x             (5)

Podemos encontrar _yh’’, y_h’ e y, y luego reemplazar en (4) y verificamos que ecuación (5) es una solución de tipo general, que satisface la ecuación (4)

Para resolver la ED (3), falta encontrar la solución particular. De acuerdo con la tabla (1) la solución y_p= Ax² + Bx + C.

yp’ = 2Ax + B

yp’’ = 2A

Reemplazando en la ecuación (3)

2A+ 2Ax + B – 2Ax2 – 2Bx - 2C = x²

Coeficiente en x²                                   -2A = 1           A = -1/2

Coeficiente en x                                     2A – 2B =0,   A = B = -1/2

Término independiente                          2A + B – 2C =0

-1-1/2 = 2C; C = -3/4

y_p = -(1/2) x² –(1/2) x -3/4

La solución general será y = y_h + y_p

y = C₁e^-2x + C₂e^x -(1/2) x² –(1/2) x -3/4

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial

y’’ + y’ -2y = x + e^x     (6)      La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0  (4) es la misma del ejemplo 2

La solución ala homogénea es y_h = C₁e ^-2x + C₂e^x

La y_p será y_p = Ax + B + Ce^x, de acuerdo con la tabla (1)

y_p’=A + Ce^x

y_p’’ =Ce^x

Reemplazando en (6)          Ce^x + A + Ce^x + Ax + B + Ce^x = x + e^x

Igualando coeficientes a ambos lados de la anterior ecuación:

A = 1       igualando coeficiente en x

A + B = 0     B = -1           igualando término independiente

3C =1           C = 1/3        igualando coeficiente de e^x

y_p = x – 1 +(1/3) e^x                  y = C₁e ^-2x + C₂e^x + x – 1 +(1/3) e^x

y = C₁e ^-2x + (C₂ + 1/3) e^x + x – 1 = C₁e ^-2x + C₂ e^x + x – 1 

Ya que C₂+ 1/3 sigue siendo otra constante arbitraria C₂, diferente de la anterior C₂

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial

y’’ + y’ -2y = x e^2x     (7)      La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0  (4) es la misma del ejemplo 2

La solución homogénea sigue siendo                      y_h = C₁e ^-2x + C₂e^x

Para la solución particular, utilizamos la tabla (1)   y_p = (Ax+ B) e^2x

y_p’ = 2Axe^2x + e^2x (2B + A)

y_p’’ = 4Axe^2x + 4e^2x (A + B)

Reemplazando en la ecuación (7)

 4Axe^2x + 4e^2x (A + B) + 2Axe^2x + e^2x (2B + A) - 2(Ax+ B) e^2x = xe^2x

4Axe^2x + (4A + 4B + 2B + A – 2B) e^2x = xe^2x

4A = 1         A = 1/4          igualando coeficiente de xe^2x

4A + 4B + A = 0               Igualando coeficiente de e^2x

5A = -4B                B =-(5/4)A

B = -5/16

y_p = ((1/4)x – 5/16) e^2x

y = y_h + y_p

Ejemplo 5

Resolver la ecuación diferencial

y’’ -4 y’ + 4y = x + sen 3x     (0)      (8)

La homogénea asociada es y’’ - 4 y’ + 4y = 0      (9)

La ecuación asociada para encontrar la solución homogénea es:

m² – 4m + 4 = 0                      (m - 2)² = 0       m = 2

Una ecuación diferencial de segundo orden tiene dos soluciones independientes, pero aquí sólo encontramos una        y₁ = C₁e^2x

 

Se puede verificar en la ecuación, que y₂ = C₂xe^2x también cumple la ecuación (9). Basta encontrar y₂’ y y₂’’ y reemplazar en la (9).

 

La solución y_h = C₁e^2x + C₂xe^2x

Resolvamos la solución particular.

y_p = Ax + B + Csen (3x) + Dcos (3x)   según tabla (1)

y_p’ = A +3Ccos(3x )– 3Dsen(3x)

y_p’’ = -9Csen(3x) – 9D cos(3x)

Reemplazando en la (8)

= -9Csen(3x) – 9D cos(3x) -4[A +3Ccos(3x) – 3Dsen(3x)] + 4[Ax + B + Csen(3x) + Dcos(3x)] = x + sen 3x

=4Ax -4A +4B +sen(3x) [-9C + 12D +4C] + cos 3x [-9D – 12C+4D] = x + sen(3x)

consiguiente, A = 1/4

-4A + 4B =0     Término independiente       A = B             B =1/4

-5C + 12D = 1       Coeficiente de sen(3x)

– 12C -5D = 0       Coeficiente de cos(3x)

De estas 2 últimas ecuaciones despejamos D

D = -(12/5) C

Por consiguiente:

-5C - 12(12/5) C =1                             -25C – 144C = 5     C = -5/169

D=-(12/5) (-5/169) = 12/169

y_p = (1/4) x + 1/4) + (-5/169) sen 3x + (12/169) cos 3x

y = y_h + y_p

La solución general será:

y = C₁e^2x + C₂xe^2x + (1/4)x + 1/4) + (-5/169) sen 3x + (12/169)cos 3x

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com