Distancia entre dos puntos de la tierra - Velocidad de Escape de la tierra

 Medellín, julio de 2022

 

Distancia entre dos puntos de la tierra - Velocidad de Escape de la tierra 

 

 1.    Distancia entre dos puntos de la tierra, conocidas su latitud y longitud

 

Si queremos conocer la distancia entre dos puntos A y B, de la superficie terrestre, de los cuales conocemos Lat A, Long A, Lat B Long B, preferiblemente en deg y decimales, podemos encontrar la distancia entre A y B por el arco de esfera que los une.

El radio de la tierra es 6378 km.

Fig. 1 Distancia entre dos puntos ubicados en la esfera terrestre.

La figura 1 nos muestra el problema. 

En una circunferencia, conocida la cuerda, se puede conocer el ángulo al centro que la subtiende.

Conocido el ángulo al centro, con relaciones trigonométricas, podemos conocer, no sólo la cuerda, sino el arco de circunferencia correspondiente a ese ángulo.

Si el ángulo al centro es α y el radio R, la cuerda será igual a 2Rsen α/2

Y el arco será igual a Rα, siempre y cuando, α esté expresado en radianes.

Si observamos las figuras 1 y 2, vemos que cuerda AC = 2Rsen ΔLat/2 = DB

ΔLat = Lat A – Lat C            Lat C = Lat B

Para encontrar las cuerdas AD y CB, debemos primero obtener los radios R1 y R2

 

Fig. 2      Cuerda AC, R1 y R2

AC = 2Rsen (ΔLat/2)                                                                  (1)

R1= R sen (p - Lat A) = R cos (Lat A)                                       (2)

En forma similar:

R2= R sen (p - Lat B) = R cos (Lat B)                                      (3)

Con R1 y ΔLong Podemos calcular AD

Con R2 y ΔLong podemos calcular CB

El trapecio plano ACBD es isósceles y de el podemos conocer los lados paralelos AD y CB y el lado AC = DB

Por Pitágoras, podemos conocer la cuerda AB; con AB y R podemos conocer el ángulo al centro φ y la distancia por el arco AB será igual a  d = φ(rad)R(km)        en km

Continuemos los cálculos.

Fig. 3 Cálculo de cuerdas AD, CB y AB

La cuerda AD = 2R1sen ΔLong/2 = 2Rcos Lat A sen ΔLong/2                           (4)

La cuerda CB = 2R2sen ΔLong/2 = 2Rcos Lat B sen ΔLong/2

Para hallar la cuerda AB necesitamos encontrar u

u= (CB – AD) /2                                                                                                   (5)

AH² = AC² – u² = AC² – ((CB – AD)/2)²

AB² = AH² + (AD + u)² = AH² + (AD + (CB – AD)/2)²

AB² = AH² + ((CB + AD)/2)²

AB² =AC² – ((CB – AD)/2)² + ((CB + AD)/2)² = AC² + CB*AD                           (6)

AB = √(4R²[sen²ΔLat/2) + cos Lat A cos Lat B sen²ΔLong/2]

AB = 2R√[sen²ΔLat/2) + cos Lat A cos Lat B sen²ΔLong/2]                               (7)

Φ ángulo al centro en radianes                          φ= 2 sen^-1 ((AB/2)/R)                (8)

 La distancia d entre A y B será

 

d = φ(rad)R(km)                        resultado d en km

 

 2.    Velocidad de Escape de la tierra

Datos R = 6378km                                      Radio de la tierra

G constante gravitacional       G = 6,67x10^-11 N -m²/kg²

mt = masa de la tierra            mt= 5,97x10²⁴ kg

m1 = masa del objeto que se va a lanzar.

A una altura h>R, medida desde el centro de la tierra, la fuerza que actúa sobre la masa m1 será:

 Fig. 4 Velocidad de escape de la tierra.

F = Gmtm1/h² (N) (Newtons)

Esa fuerza es hacia abajo, el trabajo para subirla un dh será

dw = m1F1           donde F1 = Gmtm1/h² (N)        pero hacia arriba

 

Para que se haga ese trabajo, hay que darle una velocidad inicial Vo y darle al móvil, una energía cinética de (1/2)m1Vo²

m1Vo²/2 = Gmtm1/R                                                 Vo = √(2Gmt/R)

Hagamos el cálculo

2*6,67*10^-11*5,97*10²⁴/6378000       N – m² kg/ (kg² m)      kg m m² kg/(seg² kg²m)    m²/seg2

= 1,2486641580432737535277516462841*10^-4*10¹² =

= 1,2486641580432737535277516462841*10⁸

La raíz

1,1174*10⁴ m/seg = 11174 m/seg = 11,17 km/seg

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com