Maths: Antiderivadas y teorema fundamental del cálculo

Jardín, agosto 2022

Antiderivada e integral definida – Teorema fundamental del Cálculo

1. Antiderivada

Si f(x) = x², en derivación, aprendemos que la derivada f’(x) = 2x

Si f(x) = sin x , hemos aprendido que sin’ x = cos x

Lo anterior nos lleva a una pregunta. Si tenemos una función conocida f(x), nos preguntamos cual función debemos derivar para obtener esa función f(x)

Ejemplo si f(x) = 2x² -3x +4, la pregunta es esta función es la derivada de una función F(X), tal que F’(x) = f(x)

Para este ejemplo, vemos que si tenemos una función F(x) = (2/3) x³ –(3/2) x² +4x

Si derivamos F(x) obtenemos F’(x) = 2x²-3x +4

Como llegamos a esto. No lo sabemos aún, pero nos da la idea del problema que vamos a tratar:

Si Existen dos funciones f(x) y F(x) y F’(x) = f(x) decimos

f(x) es una función y F(x) es su antiderivada o primitiva.

Una función F se denomina antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, si F’(x) = f(x), para cualquier valor de x en I

Observemos que la antiderivada no es única. En el ejemplo anterior, si en vez de función F(x) = (2/3) x³ –(3/2) x² +4x utilizáramos F(x) = (2/3) x³ –(3/2) x² +4x + C, al derivarla llegaríamos al mismo resultado.

2. Tabla de antiderivadas

1. ¿Qué pasa, cuando tenemos una función f(x) que, no está en la tabla, a la cual le queremos encontrar su antiderivada?

Ejemplo si f(x) = x²e^{x^3}

La tabla no provee respuesta para encontrar la antiderivada. Se requiere un proceso sistemático para que dada f(x), podamos hallar la primitiva F. Ese proceso se llama integración.

El 29 de octubre de 1675 el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz escribió por primera vez el símbolo ∫

F(x) = ∫f(x)dx + C (1)

Donde F(x) es la antiderivada general o primitiva de f(x). A este proceso lo llamaremos integral indefinida.

Propiedades básicas de la integral indefinida.

∫a f(x)dx = a ∫f(x)dx siendo a una constante.

∫[f(x)+ g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

∫[a f(x)+ b g (x)]dx = a ∫f(x)dx +b ∫g(x)dx a y b constantes

Y la más importante

∫x ⁿdx = x ⁿ⁺¹/ (n + 1) + C excepto para n= -1

Ejemplo

∫√x (x + 1/x) dx

∫ (x ^3/2 + x ^-1/2) dx = x ^5/2/ (5/2) + x ^½ / (1/2) + C

= (2/5) x ^5/2 + 2 x ^½ +C

2. Integral definida

La integral definida, inicialmente, no está relacionada con la integral indefinida o antiderivación, pero después de que veamos el teorema fundamental del cálculo, los dos conceptos quedarán íntimamente unidos y ligados.

La integral definida fue definida formalmente por Riemann, aunque como concepto semi empírico se utilizaba desde Newton y Leibnitz.

Figura 1, Sumatoria de Riemann

Consideramos una función continua f(x), en un intervalo cerrado [a, b].

f puede tomar valores negativos en algunos sub intervalos de I.

Hacemos una partición irregular en [a, b], xo, x1, x2, xi-1, xi,….x_n-1,x_n

El intervalo i es: Δi= x_i – x_i-1, en ese intervalo tomamos un valor arbitrario de x= εi,

El rectángulo cuya base es Δi y cuya altura es f(εi), no tiene por qué estar, ni inscrito, ni circunscrito en la gráfica de f(x)

∑ Δi = b – a

Si los Δi son pequeños, la suma ∑ Δif(εi) tendrá sumandos positivos y negativos, dependiendo de f(εi)

El más grande de los Δi, lo llamaremos la norma de la partición, e intuitivamente entendemos que, si la norma de la partición tiende a 0, todos los demás Δi también tenderán a cero.

Cuando la norma de la partición tiende a cero, la suma de las áreas de los rectángulos será:

a) El área comprendida entre las rectas x=a, x=b, el eje x y la gráfica de la función, siempre y cuando la función f(x) >0 para todo el intervalo I.

b) Si f(x) tiene valores positivos y negativos en el intervalo I, simplemente será una suma, inicialmente, con poca relación con el área debajo o encima de la curva.

Veamos el caso general.

a. b.) Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces es integrable en ese intervalo.

Estas propiedades tienen demostración, pero son de aceptación intuitiva, por lo que no las demostraremos.

[a, b] el intervalo entre a y b y contiene a a y b

1. Teorema fundamental del cálculo

Valor intermedio de una función integrable en un intervalo [a, b]

Figura 2 Teorema del valor medio

Figura 2 valor intermedio de una función integrable en un intervalo [a, b]

Supongamos una función integrable general (puede tener valores de f(x) positivos y negativos.)

Lo que vamos a dar como una definición, realmente tiene demostración para una función general f(x), pero nosotros veremos la validez de la definición, a partir de una gráfica en donde f(x) > 0, tal como se indica en la figura 2.

En la figura 2 aplicamos el teorema valor extremo para funciones continuas en un intervalo [a, b]

Obligatoriamente, la función mencionada f (por ser continua) tiene un valor máximo y un valor mínimo, que pueden ocurrir o en los extremos del intervalo a y b o en un punto intermedio, en cuyo caso, si la función es derivable, f’(x) = 0.

En la figura 2, hemos utilizado, para facilitar la comprensión, que los extremos ocurren en los puntos interiores x_n y x_m. En x_n ocurre el mínimo N = f(x_n) y en x_m ocurre el máximo M = f(x_m)

Se deduce que N (b – a) <= área de la región debajo de la curva <= M (b – a)

Como el área debajo de la región debajo de la curva está entre N (b – a) y M (b – a) debe existir un valor f(c) entre N y M que cumpla que, esa área sea igual a

f(c) (b – a) que, sea igual al valor del área de la región, en este caso sombreada en azul.

Área de la región en mención es igual a la integral definida en [a, b] para f(x); tal cual lo vimos en las propiedades de la integral definida. Y si hubiéramos utilizado una figura que tuviera f(x) positivos y negativos, igualmente nos indicaría que

Integral definida de f(x), en [a, b)], es igual a f(c) (b – a)

f(c) es el valor intermedio de f en [a, b], ocurre en c y (c no necesariamente es único), incluso en la gráfica hay 3 valores posibles para c, que producen f(c)

Teorema fundamental del cálculo

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x cualquier numero en [a, b]. Si F es la función definida por

R es evidentemente una función de x₁. Si mantenemos fijo a y movemos x₁, el valor de esa integral definida depende de x₁ y por tanto es una función de x₁, que llamaremos R(x₁)

La integral definida de un intervalo [a, x1+Δ]