Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Abril de 2025

Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Problema 1

Integrar:

Y la segunda serie se reduce a:

En la expresión, en que hemos convertido la primera sumatoria, hagamos un cambio de variable:

u = x²/2,   así      du = xdx         y       dx = du/x

Verifiquemos limites

x→0   también u→0         x→∞         u→∞

Si en la integral cambiamos la variable x por u no se afectan los límites de la integral.

Trabajemos ahora con la segunda serie y le introducimos el cambio de variable.

Su dominio son todos los reales, excluyendo el 0 y los enteros negativos.

Los naturales 1, 2, 3, 4, 5,         n       pertenecen al dominio de la función Γ(x)

En la siguiente tabla se dan algunos valores de la función Gamma:

Hay una propiedad muy importante para los valores de Γ(x), cuando x es un número natural

Γ(n) = (n-1)!

Γ(n+1) = n!

Problema 2

Resolver la Integra indefinida

∫√(tan(x)) dx                                               (1)

Una integral atemorizante. En la medida que la vamos resolviendo vamos a encontrar el 

mundo de los números complejos y unos cambios de variable y otros artificios muy difíciles.

Lo primero que se nos ocurre es un cambio de variable:

u = tan(x)        du = sec2(x)dx                dx= du/sec²(x)             dx = du/(1+tan²(x))=du/(1+u²)

∫√u du/(1+u²)

Esta integral es tan difícil como la original, por lo cual no escogemos este cambio de variable.

Intentemos un segundo cambio de variable:

u = √(tan(x))              u² = tan(x)        2udu = sec²(x)dx

∫u*2udu/sec²(x) = ∫2u²du/(1+tan²(x)) = ∫2u²du/(1+u⁴)du        ya que tan²(x) = u⁴

∫2u²du/(1+u⁴)du                                                                                       (2)

Recordemos que u⁴+1 = u⁴ - i²                i= √ (-1)

u⁴ - i² = (u²+i²) (u²-i²) =(u²-1) (u+i) (u-i)

=(u+1) (u-1) (u+i) (u-i)

Igualaríamos 2u² = A/(u+1) + B/(u-1) +C/(u+i) + D/(u-i)

Conocidos A, B, C, D, la integral la resolveríamos por fracciones parciales, en el universo de los números complejos.

Pero no, la vamos resolver sólo en los números reales.

Retomemos la integral (2)    ∫2u²du/(1+u⁴)

Ambas integrales son solucionables. La primera por fracciones parciales y la segunda es 

inmediata e igual a tan^-1

No obstante, podemos ir a cualquier buen libro de cálculo, físico o virtual y allí encontramos 

las famosas tablas de integrales, que nos sirven en este caso:

Hemos encontrado estas integrales, que son modelos para resolver las dos integrales finales.

∫dx/ (x² - a²) = [ln (x - a) – ln (x + a)]/ (2a)

∫dx/ (x² + a²) = (1/a) tan^-1(x/a)

Y con estas fórmulas terminamos el ejercicio. En este caso a = √2

El resultado de la integral propuesta será:

= [ln (w - √2) – ln (w + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1(v/√2) + C

= [ln (u+1/u - √2) – ln (u+1/u + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1[(u-1/u) /√2] + C

=[ln (tan(x)+1/ tan(x) - √2) – ln (tan(x)+1/ tan(x) + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) [[tan^-1[tan(x) -1/ tan(x)] /√2] + C

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Nota: La integral (2) está propuesta como ejercicio en diferentes ediciones del Cálculo de Leithold. Pero su grado de dificultad es muy alto para estudiantes que están aprendiendo cálculo y aun para profesores, si los cogen desprenidos.

La integral con integrando infinito, no creo que esté en ningún libro de Cálculo para estudiantes de ingeniería o matemáticas. No obstante hay muchos blogs y aun videos en youtube, donde proponen y resuelven este tipo de integrales. Lamento no poder referir el blog exacto. Lo que si recuerdo es que estaba propuesto y daban sugerencias muy efectivas.