Blog Cálculo de las cifras decimales de π y e

 

Medellín, enero 2027

 

 

Blog: Números π y e

 

La historia del cálculo de π y e, indica la necesidad de las matemáticas en el mundo ordinario, antiguo y contemporáneo.: el número π nació de la necesidad de medir la geometría del mundo físico, mientras que e surgió en el siglo XVII de forma abstracta, a través del álgebra, para resolver el problema del interés compuesto y el crecimiento natural de los seres vivos.

 

Número π

Serie infinita de la función tan ^-1(x)

d (tan ^-1(x)) /dx = 1/ (1 + x²)

Expandamos esta derivada en una serie infinita de Taylor:

1/ (1 + x²)     es el resultado de la progresión geométrica cuyo a_o es 1 y r = -1/x²

1 – 1/x² + 1/(x²)² - 1/(x²)³ + 1/(x²)⁴-………………………………. = 1/ (1 + x²)    

Y la integral de 1/ (1 + x²)          también puede ser la de

1 – 1/x² + 1/(x²)² - 1/(x²)³ + 1/(x²)⁴-………….

Integremos la segunda:

x –x³/3 + x⁵/5 – x⁷/7 + x⁹/9 +………   = tan ^-1(x)

Para x = 1        tan ( -1) = π/4

Con 100 términos de esta serie, en Excel de hogar, apenas obtenemos 1 cifra decimal par π.

 

n			π
0		1,000000000000000
1		-0,333333333333333
2		0,200000000000000
3		-0,142857142857143
4		0,111111111111111
5		-0,090909090909091
6		0,076923076923077
7		-0,066666666666667
8		0,058823529411765
9		-0,052631578947368
10		0,047619047619048
11		-0,043478260869565
12		0,040000000000000
13		-0,037037037037037
14		0,034482758620690
15		-0,032258064516129
16		0,030303030303030
17		-0,028571428571429
18		0,027027027027027
19		-0,025641025641026
20		0,024390243902439
21		-0,023255813953488
22		0,022222222222222
23		-0,021276595744681
24		0,020408163265306
25		-0,019607843137255
26		0,018867924528302
27		-0,018181818181818
28		0,017543859649123
29		-0,016949152542373
30		0,016393442622951
31		-0,015873015873016
32		0,015384615384615
33		-0,014925373134328
34		0,014492753623188
35		-0,014084507042254
36		0,013698630136986
37		-0,013333333333333
38		0,012987012987013
39		-0,012658227848101
40		0,012345679012346
41		-0,012048192771084
42		0,011764705882353
43		-0,011494252873563
44		0,011235955056180
45		-0,010989010989011
46		0,010752688172043
47		-0,010526315789474
48		0,010309278350516
49		-0,010101010101010
50		0,009900990099010
51		-0,009708737864078
52		0,009523809523810
53		-0,009345794392523
54		0,009174311926606
55		-0,009009009009009
56		0,008849557522124
57		-0,008695652173913
58		0,008547008547009
59		-0,008403361344538
60		0,008264462809917
61		-0,008130081300813
62		0,008000000000000
63		-0,007874015748032
64		0,007751937984496
65		-0,007633587786260
66		0,007518796992481
67		-0,007407407407407
68		0,007299270072993
69		-0,007194244604317
70		0,007092198581560
71		-0,006993006993007
72		0,006896551724138
73		-0,006802721088435
74		0,006711409395973
75		-0,006622516556291
76		0,006535947712418
77		-0,006451612903226
78		0,006369426751592
79		-0,006289308176101
80		0,006211180124224
81		-0,006134969325153
82		0,006060606060606
83		-0,005988023952096
84		0,005917159763314
85		-0,005847953216374
86		0,005780346820809
87		-0,005714285714286
88		0,005649717514124
89		-0,005586592178771
90		0,005524861878453
91		-0,005464480874317
92		0,005405405405405
93		-0,005347593582888
94		0,005291005291005
95		-0,005235602094241
96		0,005181347150259
97		-0,005128205128205
98		0,005076142131980
99		-0,005025125628141
100		0,004975124378109
		0,787873350267748	3,151493401070990

 

Evidentemente, esta serie tan ^-1 (1) = π/4 no parece ser la adecuada, para encontrar decenas o cientos de cifras de pi, y además,, los cálculos antes de 1970 eran muy difíciles, porque no habían calculadoras y menos computadores personales. Existían computadores de empresa, que ocupaban edificios enteros, pero eran muy muy limitados. Prácticamente, la serie tan-1(x) requiere 100 términos para obtener una cifra decimal.

En el siglo XX han descubierto otras series que representan o permiten calcular π,

Aunque desconozco el respaldo matemático para tales series. Una de ellas es:

∑n! *(2n)! *(5n+3) / [(2 ^n-1) *(3n+2)] = π     la cual converge muy rápidamente. Aquí la limitación es que, el Excel de hogar, no trabaja con muchas cifras, máximo con 15.

Con 26 términos obtenemos 3,14159265358979    14 Cifras decimales exactas. Hemos sumado los 26 términos de la serie indicada anteriormente.

0	3,000000000000000000000000000000
1	0,133333333333333000000000000000
2	0,007738095238095240000000000000
3	0,000487012987012987000000000000
4	0,000031912531912531900000000000
5	0,000002142465377759500000000000
6	0,000000146187017317048000000000
7	0,000000010091322431475900000000
8	0,000000000702715570127065000000
9	0,000000000049268178361526400000
10	0,000000000003473136173419100000
11	0,000000000000245933504843661000
12	0,000000000000017479651175673900
13	0,000000000000001246290782624840
14	0,000000000000000089101033908898
15	0,000000000000000006385086699971
16	0,000000000000000000458505580437
17	0,000000000000000000032984628638
18	0,000000000000000000002376733314
19	0,000000000000000000000171505340
20	0,000000000000000000000012391978
21	0,000000000000000000000000896429
22	0,000000000000000000000000064917
23	0,000000000000000000000000004706
24	0,000000000000000000000000000341
25	0,000000000000000000000000000025
26	0,000000000000000000000000000002

 

La NASA, trabaja todos sus problemas con 14 cifras decimales y en la mayoría de los casos de ingeniería sólo se usan 6 cifras decimales, se pueden calcular problemas humanos, viales, estructurales, de física, que incluyen π, y cuyo resultado es prácticamente exacto. ¿Entonces, para que miles o millones de cifras? La respuesta es: por curiosidad humana, buscando cifras repetitivas o leyes de formación de cifras, lo cual no se ha logrado aún.

 

NEWTON

La primera serie que vimos para tan ^-1(1), evidentemente es de Newton, pero converge muy despacio.

Newton era muy inquieto y observo lo siguiente:

Si tiene un círculo de radio ½ con centro en (1/2, 0), un sector circular, cuyo ángulo al centro es π/6 = 60 deg, su área total (la del sector) será (1/2) *(1/2) ^2*(π/6) = π/24

Figura 1 el truco de Newton

El integrando √ (x² – x) = √x *√(1 – x)

Desarrollando el binomio de Newton para √(1 – x)

Luego multiplicamos ese binomio expandido por √x

Integrando término a término este producto (infinito) entre 0 y 1/4

Obtenemos esta serie:

1 – (1/2)x + (1/2)(1/2 -1) x²/2! – (1/2) (1/2 -1)(1/2 -2)x³/3! + (1/2)(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)x⁴/4! - (1/2)(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)(1/2-4)x⁵/5! +………-………….infinito,

Multiplicamos esta serie por x ^½

Y así obtenemos la integral, que evaluamos entre 0 y ¼

Mirando la figura

El integral anterior + área del triángulo = π/24

Por tanto

π = 24 [ integral definida, obtenido con la serie infinita + √3/32]

Con 5 términos de la serie, simplificando obtenemos:

π = 3√3/4 + 24[2/(3*2) – 1/(5*2^5) – 1/(28*2^7) -1/(72*2^9) – 5/(704*2^11)……….

El resultado es el siguiente:

No de términos            Valor de π

2	3,149038105676660
3	3,142341677105230
4	3,142341677054540
5	3,142341677048070

 

Con 15 términos el valor de π = 3,141662051111660

Tres cifras decimales. Tampoco converge muy rápido, pero para la época lograron obtener 6 o 7 cifras decimales.

Newton también utilizó la serie infinita de sen ^-1(x). En el siguiente enlace pueden ver el cálculo de π, con esta serie. La realizó para x = ½, en cuyo caso nos entrega el valor de π/6 .   El resultado obtenido se multiplica por 6 para encontrar π

https://www.glc.us.es/~jalonso/exercitium/calculo-de-pi-mediante-el-metodo-de-newton/

Formula de pi para sen-1(pi/6)

El valor de pi que saqué de google es:

 

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

 

RAMANUJAN

Ramanujan fue un matemático indio, que, a principios del siglo XX, propuso la siguiente serie infinita para calcular π:

 

1/π= (2√2/9801)]*∑((4n!) *(1103+26390*n) /[((n!) ^4) *396^(4*n)] 

Él siempre dijo que fue una revelación paranormal y pocas personas saben cómo llegó a ella. Esta serie da 15 cifras decimales exactos con 2 términos y cientos o miles, tal vez millones, con un centenar de términos. Sin embargo, el cálculo de π con miles de cifras decimales, fue en los años 60s, con la aparición de los mega computadores.

Para que se formen una idea, la NASA calcula todo con 14 cifras decimales y el Excel de hogar, tal vez 15. En el siguiente cuadro, vemos lo rápido que converge la serie de Ramanujan.

 

Ramanujan principos del siglo XX
1/π	(2√2) / (9801)[∑(4n)!*(1103+26390n))/(((n!)^4)*396^(4n))]
		0,000288585565223
n
0	1103,000000000000000	0,318309878440470	3,141592730013310
1	0,000026831974349	0,318309886183791	3,141592653589790
2	0,000000000000225	0,318309886183791	3,141592653589790
3	0,000000000000000	0,318309886183791	3,141592653589790
			3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

 

Con n=1 ya nos entrega las 15 cifras que identifica el Excel, se hizo además para n=2 y 3 y no se ve la diferencia. Solo las 15 cifras que identificó con n=1

 

Biografía de RAMANUJAN

 

Srinivasa Aayiangar Ramanujan Matemático (1887 Erode, India 1920, Chetput, India)

 

Nació en la India, el seno de una familia de condición humilde. Matemático indio. De formación autodidacta, descubrió y rededescubrió centenares de teoremas matemáticos. En 1914, en virtud de la mediación de G. H. Hardy, fue admitido como becario en el Trinity College de Cambridge. En 1918 fue elegido miembro de la Royal Society, pero su incipiente tuberculosis y una subvención de la Universidad de Madrás lo indujeron a regresar a su país. La teoría de funciones, las series de potencias y la teoría de números fueron los campos matemáticos en los que más destacó.

En 1911, se publica su primer trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society.

En mayo de 1913, gracias a la ayuda de muchos amigos y a una beca especial, el camino parecía abierto para su traslado a Cambridge, por lo que Hardy se había esforzado. Sin embargo, su prejuicio de casta y la falta de permiso de su madre le hicieron renunciar. Por fin llegó a Cambridge con una beca de 250 libras de Madrás, 50 de ellas destinadas al sustento de su familia en la India, y una asignación del Trinity College de 60 libras.

Era imposible pedir a este hombre que se sometiera a una instrucción matemátic clásica, que intentara aprender de nuevo matemáticas desde el principio.

En verano se trasladó a un sanatorio de Cambridge, y ya nunca llegó a disfrutar de un largo periodo fuera de la cama. Pasó por sanatorios en Wells, Marlock y Londrés, sin mejora significativa hasta el otoño de 1918. Estimulado, probablemente por su elección para la Royal Society of London, reanudó el trabajo activo, produciendo en esa época algunos de sus mejores teoremas. Un acicate más le llegaría con su elección para una Trinity Fellowship. Ambas sociedades tienen el mérito de haber reconocido la valía de Ramanujan antes de que fuera demasiado tarde.

Considerado uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos, con Euler, Gauss..., nos dejó unos 4000 teoremas, a pesar de su corta vida. Durante sus cinco años de estancia en Cambridge, que desgraciadamente coincidieron con los de la Primera Guerra Mundial, publicó 21 artículos, 5 de ellos en colaboración con G. H. Hardy.

Ramanujan murió en 1920 y el desarrollo de su obra no ha concluido.

A principios de 1919 volvió a la India, donde murió al año siguiente, con un estatus científico y una reputación como ningún indio había disfrutado antes.

 

Me atrevería a decir que la serie para 1/π sigue sin tener un respaldo clásico, pero ha servido para calcular millones de cifras del número π.

 

El número “e”

John Napier (1614): El matemático escocés, introdujo los primeros logaritmos, facilitando cálculos complejos, aunque sin mencionar explícitamente la constante “e”. Fue él quien definió la función logaritmo, pero limitó su base, a los números naturales, especialmente al 10.

Bernoulli 1863, Al investigar un problema financiero de interés compuesto, analizó qué ocurría cuando los pagos de intereses se hacían cada vez más frecuentes (infinitos). Descubrió que el valor límite de esa progresión se acercaba a una constante fija: el número “e”.

Leonard Euler, El matemático suizo formalizó el número, calculó sus primeras cifras decimales con gran precisión, demostró que es un número irracional y comenzó a utilizar la letra “e” para representarlo.

Charles Hermite, matemático francés, que vivió entre los siglos XIX y XX, en (1873) Demostró que el número “e” no solo es irracional, sino también trascendente (no es raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales)

La serie infinita para e^x es:

e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! +……….

Si x = 1    obtenemos una serie para e

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ¼! + 1/5!……….

Y esta serie converge relativamente rápido-

Con grandes computadores, en los siglos XX y XXI han encontrado miles, tal vez millones de cifras, tanto de pi, como de e y han verificado que ambos son irracionales y trascendentes.

En este trabajo, hemos utilizado el programa de Excel gratuito, que nos entregan cuando compramos un PC de hogar o un lap top de hogar y hemos obtenido 14 cifras decimales de cada uno de ellos.

e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

2,71828182845905      14 cifras exactas

 

Número e
n		serie  e^1
0		1,000000000000000
1		1,000000000000000
2		0,500000000000000
3		0,166666666666667
4		0,041666666666667
5		0,008333333333333
6		0,001388888888889
7		0,000198412698413
8		0,000024801587302
9		0,000002755731922
10		0,000000275573192
11		0,000000025052108
12		0,000000002087676
13		0,000000000160590
14		0,000000000011471
15		0,000000000000765
16		0,000000000000048
17		0,000000000000003
		2,718281828459050

 

                                      2,7182818284590       15 cifras decimales.

 

 

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com