Medellín, enero 2027

 

Blog: Circunferencia de los 9 puntos 

Antes de plantear y resolver el problema, definamos:

Triángulo Medial: Es el triángulo interior al triángulo principal, que se construye uniendo los puntos medios de los tres lados.

Triángulo de Euler: Es el triángulo que se forma uniendo los puntos medios de los segmentos que van desde cada vértice hasta el ortocentro.

Figura 1 La circunferencia de los 9 puntos

 

Ortocentro, pies de las alturas, pies de las medianas, puntos medios de los segmentos que van entre los vértices del triángulo y el ortocentro.

 

Teorema 1

 

En la figura 1, los pies de las alturas (E, F, D), los puntos medios de los lados del triángulo (A’, B’, C’) y los puntos medios de AH, BH y CH (P, Q, R) pertenecen a una misma circunferencia.

 

Demostración.

Unamos P y Q vemos que, en el triángulo ABH, PQ es paralela a AB e igual a AB/2

Unamos A’ y B’ vemos que, en el triángulo ABC, A’B’ es paralela a AB e igual a AB/2

Unamos P y R vemos que, en el triángulo ACH, PR es paralela a AC e igual a AC/2

Unamos A’ y B’ vemos que, en el triángulo ABC, A’C’ es paralela a AB e igual a AC/2

Unamos R y Q vemos que, en el triángulo CBH, QR es paralela a BC e igual a BC/2

Unamos C’ y B’ vemos que, en el triángulo ABC, A’B’ es paralela a BC e igual a BC/2

Lo anterior, por las propiedades de las medianas y de los pies de estas, respecto del triángulo principal ABC

Figura 2.  Desarrollo de la demostración

 

Las propiedades descritas anteriormente nos demuestran que el cuadrilátero PB’A’Q es un paralelogramo. (PQ ║(paralela) a B’A’ y a AB e iguales a AB/2. Igualmente se ve que C’B’RQ también es un paralelogramo. (C’B’ es ║ a QR ║ BC y ambas iguales a BC/2.

 

Igualmente, sabemos que, C’Q, en el triángulo BHA QC’ es ║ a AH y por tanto paralela a la altura, por lo que el paralelogramo C’B’RQ es un rectángulo.

 

Por la misma razón podemos concluir que el paralelogramo PB’A’Q es también un rectángulo.

 

En cualquier rectángulo, las diagonales se cortan en su punto medio.

Los dos rectángulos C’B’RQ y PB’A’Q comparten la diagonal QB’ y las tres diagonales comparten el punto N. N va a ser el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

La diagonal QB’ nos garantiza que los puntos Q, B’ C’, E y P pertenecen a una circunferencia de diámetro QB’, ya que los ángulos rectos en C’, E y P rectos, garantizan que también C’, E y P pertenecen a una circunferencia de diámetro QB’.

Como las diagonales en los dos rectángulos son iguales, C´R y PA’ también son diámetros de la misma circunferencia con centro en N.  Podemos agregar que los puntos A’ y R también están en la misma circunferencia.

El diámetro PA’  y el ángulo recto en D, nos garantiza que D también pertenece a la misma circunferencia.

El diámetro C’R nos garantiza que F también pertenece a la circunferencia dada, con centro en N y contiene los puntos.

 

Q	B’	E
P	C’	F
R	A’	D

Queda demostrado. Las siguientes figuras ayudan a entender la demostración.

Figura3, desarrollo de la demostración.

 

Corolario. Podemos preguntar cuánto mide el diámetro de esa circunferencia con centro en N.

Lo primero es observar el triángulo medial A’B’C’

Sabemos que A’B’ es ║ e igual a AB/2

Sabemos que B’C’ es ║ e igual a CB/2

Sabemos que A’C’ es ║ e igual a AC/2

Por tanto, los triángulos ABC Y el A’B’C’ son semejantes y están en la relación: 2

Si el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC es R, el radio de la circunferencia que incluye los puntos A’B’C’ (Que coincide con la circunferencia de los 9 puntos, será R/2.

Problema 2

En la siguiente figura, calcular h y AB           (triángulo ABC es rectángulo en C)

Figura 1 problema 2

Este problema es una aplicación del teorema de Pitágoras.

Tracemos AD y lo calculamos      AD= √ (AC² + CD²) = √ (48² + 14²) = 50 u

Vemos que el triángulo ADB es isósceles, (La mediana desde D también es mediatriz), luego DB = 50 u y CB = 64 u

Figura, ayudas del cálculo de h y AB

AB = √ (AC² + CB²) = √ (48² + 64²) = 80 u

EB = 40

 

h = √ (50² – 40²) = 30 u

 

Juan FernandoSanín Echeverri

Ing Civilgmail.com

juanfernando.sanin@