Agosto 2026

 

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Problemas de complejos. Algoritmo para elevar números reales a exponentes irracionales

 

1.       Resolver x para la ecuación                                e^x = ln(x)

 

Como vemos en la gráfica 1, en los números reales esta ecuación no tiene solución.

Gráfico 1

No obstante, podría tener solución en los reales (1)

Elevemos e a un exponente que sea cada lado de la ecuación.

Lo anterior, la (5) puede parecer absurdo en los números reales, pero en los complejos pareciera que no es una contradicción.

Vamos a resolver, en vez de la ecuación original, la ecuación e^x = x, que sólo tiene validez en los complejos.

Dividiendo por e^x a ambos lados, obtenemos:

1 = x/e^x

xe^-x = 1       para que se pueda asociar a la ecuación de Lambert, hacemos el siguiente cambio

-xe^-1= -1      y recordamos que W(ue^u) = u, donde W es la función de Lambert

W(-xe^-1) = -x = W(-1)

Existe una página en la Web llamada WolframAlpha, que nos calcula la función W para cualquier valor real o complejo, que nos permite calcular el W(-1)

El resultado es:

W(-1) = -0,31813+1,33724 i          y esto es igual a –x, por tanto: x = 0,31813-1,33724 i

 

1.       2. Resolver para x

 (-2)^x=2                                                                                                    (1)

Solución

Vamos a resolver x, en números complejos.

(-2)^x=2               (-1*2)^x = 2                                                                    (2)

Recordemos las ecuaciones de Euler

e^ix = cos x +i sen x      y para x = π

 

e^(πi) = cos π + isen π = -1            o      e^(πi)+1 = 0                e^(πi) = -1         (3)

En la (2), reemplazamos -1 por la (3)

[(e^(πi)*2)]^x=2                    (e^(πix))*2^x= 2

Tomemos ln a ambos lados

ln(e^(πix))*2^x= ln2

(πix) + xln2 =l*1n2    por lo tanto:

x(πi+ ln2) = ln2   

x = ln2/((πi+ ln2)

para quitar el imaginario del denominador, multipliquemos numerador y denominador por el conjugado del denominador

x = [ln2(-πi + ln2)]/ [ (πi + ln2) ((-πi + ln2)]   =[-ln2(πi) + (ln2)²]/ [-(π²i²) + (ln2)²]

 

x=[-ln2*(πi) + (ln2)²]/ [ π²+ (ln2)²]

 

3.    Convertir una fración periodica infinita, en una fracción entre dos enteros.

Ejemplo:

0,231723172317……

Llamamos x al decimál periódico infinito           x = 0,231723172317……

Vamos a obtener la fracción periódica, para lo cual multiplicamos x por un multiplo de 10, hasta que la última cifra del periodo repetido, quede por fuera del decimal, en este caso multiplicamos por 10000       (por ser la fracción periódica de 4 cifras)

10000x = 2317, 23173172317…..

Restemos 10000x – x                           10000x- x = 2317                          9999x = 2317

Por tanto, el valor de x es igual 2317/9999

Ensayemos con la calculadora:     2317/9999 = x = x = 0,231723172317

Supongamos que la fracción tenga una parte no periódica, o antes o después de la coma.

Ej                 4,231723172317…..

A veces, el procedimiento es ignorar la parte no periódica y buscar la fracción con la parte periódica

Nuestro número realmente es 4 +0,231723174327…… o sea 4 + 2317/9999 es decir:

42313/9999

Aplicamos la calculadora: 42313/9999

= 4,231723172317…..

 

3.      4.  Elevar un real a un número irracional.

Que significa                                                         3^√2

√2=1,414213562………………….infinitos números sin partes periódicas

 La calculadora o la tabla de logaritmos o el computador tiene que tomar una decisión.

Tiene que definir un número de decimales efectivos y convertir el decimal en un racional. Supongamos que tomamos 8 cifras decimales e ignoramos el resto.

1,414213562 e  ignoramos el 2 y el resto de cifras decimales: utilizamos 1,41421356

Ahora convertimos este decimal en una fracción

141421356/100’000000

Ahora, tanto la calculadora, como el computador o  la tabla de logaritmos, crea un algoritmo para hacer la operación

3^(141421356/100’000000) = 4,72880438

 

Ahora hagamos en la calculadora 3^√2 = 4,728804300    La diferencia, depende del algoritmo o de las cifras con las cuales la calculadora, el computador o a mano, hemos escogido.

 

4.     5. Resolver la ecuación         senx = 2

Seno de x = 2, es un absurdo en los números reales, pero en los complejos podría tener algún sentido.

Veamos

e^xi = cos(x) + i sen(x)       (1)

hagamos e^-xi

e^-xi = cos(-x) + i sen(-x)                    la función coseno es par y la seno es impar, por tanto la ecuación se convierte en

e^-xi = cos(x) - i sen(-x)       (2)                       cos(-x) = cos(x)       y sen(-x) = - sen(x)

Restemos s (1) - (2)

e^xi - e^-xi  = 2isen(x)              o      (e^xi - e^-xi )/2  = isen(x) = 2i               ya que sen (x) = 2     (3)

Resolvamos esta ecuación, llamemos xi = u    la (3) se transforma en:

e^u –e^-u -4i = 0                 e^u –1/e^u -4i= 0

Reduciendo obtenemos:         e^2u –1 -2i e^u= 0             una ecuación de segundo grado.

e^2u -4i e^u-1= 0              e^u = [4i ±√(16i² – 4*1*(-1))]/2

e^u = [4i ±√(-16 + 4]/2 = [4i±√(-12)]/2

e^u = 2i±i√(3)                    Tomando ln a ambos lados obtenemos u = ix = ln[2i±i√(3)]

x = ln[2i±√(3)i]/i         multiplicamos y dividimos por i y nos queda así:

x = - ln[2i±√(3)i]     i*i = -1

 

x = - ln[2i±√(3)i] *i

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

Juanfernando.sanin@gmail.com