Octubre de 2026
Problemas de geometría
1. 1. Sea
un cuadrado de lado 4 u. Encontrar el radio y el área de la circunferencia
pequeña que se muestra en la figura 1.
Las variables en este problema son R e y.
Busquemos relaciones entre ellas:
La diagonal 4√2 es igual 4 + 2R + y 4 + 2R +y = 4√2 (1)
Figura 2
Utilicemos la propiedad de la circunferencia que, relaciona a una
tangente exterior, con una secante a la circunferencia, que la cruce totalmente.
Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan una tangente PT y una secante PA y PB, entonces PT2 = PA*PB
Para este caso y para la circunferencia incógnita tenemos
R2 = y*(y + 2R) (2)
Resolviendo (1) y (2) , obtenemos R
De la (1) obtenemos y = 4√2 – 4 -2R Y para simplificar llamemos k = 4√2 – 4
y = k – 2R
R2 = y*(y + 2R)
R2 = (k - 2R) *(k - 2R) + 2R)
R2 = (k - 2R)2 + 2R (k – 2R)
Simplificando:
R2 + 2kR – k2= 0
R = (-2k + √ (4k2 + 4k2)) /2 = (-2 + 2k√2) /2
Y reemplazando k por su valor numérico obtenemos R = 12 - 8√2 = 0,6863
El área será 3,1416*(0,6863)2 = 1,47967 u2
1. 2. El
triángulo ABC es un triángulo cualquiera. (Figura 3). CM es una mediana de ABC.
La recta BD biseca la mediana CM, en el punto N. Además, se conoce el área del
cuadrilátero AMND es igual a 10 u2. Hallar el área del triángulo ABC. Ver
figura 3
Figura 3
En este problema no se conoce ningún lado, ni ningún ángulo. Sólo el área del cuadrilátero AMND = 10 u2.
Vamos a utilizar 2 propiedades de las medianas.
-Las medianas concurren en el baricentro, el cual queda ubicado a 2/3
del vértice y a 1/3 de la base de cada mediana.
-Una mediana, divide el área del triángulo en dos áreas iguales. En
este caso el área de AMC es igual al área de CMB (Tienen la misma base c/2 y la misma
altura.
Unamos M y D y llamemos el área de MDN = x lo que nos lleva a concluir que el área ADM es 10 – x.
Miremos el triángulo CDM. DN es una de las medianas del mismo y por tanto, dividirá su área en dos áreas iguales, por lo que área de CDN también es igual a x.
Ver figura 4
Figura 4.
Como DM es la mediana del triángulo ADB el área de los triángulos a la izquierda y la derecha, cada una vale 10 – x, lo cual nos lleva a la conclusión que el área del triángulo NMB es 10 - 2x.
Como BN es la mediana del triángulo CMB, las áreas de los triángulos CNB y NMB son iguales y cada una vale 10 – 2x
En el triángulo ABC, las áreas de los triángulos AMC y MCB son iguales y se puede establecer la igualdad:
(10 - x) + x + x = (10 - 2x) +(10 -2 x)
10 +x = 20 -4x 5x = 10 x = 2
Pero nos piden es el área.
A = (10 - x) + x + x + (10 - 2x) +(10 -2 x) = 8 + 2 +2
+6 + 6 = 24 u2
3. Problema
Se tiene una circunferencia de entro en C y radio R desconocido. En este triángulo tenemos las líneas AB y AD (A sobre un diámetro y B y C sobre la circunferencia. Cada una de estas líneas rectas hace un ángulo de 60 deg con el diámetro involucrado.
Hallar el radio R y el área del círculo.
Como se puede deducir, también el ángulo BAD= 60 deg
Figura 5
Trazamos la recta BE perpendicular al diámetro. El triángulo BAE es isósceles y los ángulos BEA y ABE son iguales a 30 deg.
El ángulo en E esta subtendido por el arco AD y es igual a arco BD/2 = 30 deg
Figura 6
El arco AD también subtiende al ángulo al centro BCD, cuyo valor es el arco BD y este vale 60 deg.
Triangulo BCD es isósceles porque lado BD = CD = R y además, el ángulo
que debiera ser diferente vale 60 deg, con lo que el triángulo BCD resulta equilátero.
Todos los ángulos internos valen 60 deg.
Se concluye que BD = x = R
En el triángulo inicial ABD conocemos dos lados, uno vale 5 y el otro 8 y el ángulo entre ellos es 60 deg. Aplicamos la ley del coseno:
x2 = 52 + 52 -2*5*8*cos 60 = 25 + 64 – 40 = 49 cos 60 = 1/2
x = R = 7 u
Área = 153,938 u2
1. 4. Construir
un triángulo, del cual se conocen las tres medianas
Figura 7
Conocemos AMa, BMb y CMc
Recordemos que las medianas concurren en G, a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base.
Prolonguemos la mediana BMb una distancia 1/3 de BMb (1)
Figura 8
Llegamos al punto D.
Observamos que el cuadrilátero AGCD es un paralelogramo, ya que las diagonales se bisecan en Mb. (2)
AMb = MbC ya, que Mb es el punto medio de AC
GMb = MbD porque así lo hemos construido.
Concluimos que:
AD es paralelo a GC = 2/3 CMc
Además, AG = 2/3 AMa
GD = 2/3 BMb así lo hemos construido
El triángulo AGD puede ser construido, ya que conocemos la longitud de sus tres lados, c/u = 2/3 de las respectivas medianas, que son conocidas.
Para construir el triángulo ABC primero construimos el triángulo AGD y ubicamos el punto Mb, punto medio de GD.
Como Mb es la terminal de una mediana, prolongamos AMb una distancia igual y llegamos al vértice C.
En el triángulo ADG, prolongamos la recta DG una distancia igual y llegamos al vértice A.
Conocidos los tres vértices A, B y hemos construido el triángulo pedido.
5. Calcula la suma de los angulo <a + <b en la figura indicada.
Figura 9
Recordemos que un ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco subtendido.
<a = arco ED/2 en la circunferencia de radio R1
<b = arco FD/2 en la circunferencia de radio R2
Recordemos también que un ángulo al centro tiene como medida el arco que subtiende.
Construyamos los ángulos al centro que tienen como medida los arcos ED
y FD. Figura (9)
Figura 9
Como se ve, los ángulos al centro construidos son <2a y <2b
Observemos el cuadrilátero C1 C2 FE. E y F son puntos de tangencia, lo que implica que los ángulos internos en E y F son ángulos rectos.
Recordemos que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 180*(n – 2), donde n es el número de lados.
En este caso n = 4 y la suma de los ángulos internos es 2*180 deg = 360 deg
Por tanto:
90 + 90 + <2a + <2b = 360 <2a + <2b = 180 y por tanto:
<a + <b= 90 deg
Es fácil demostrar que el triángulo EDF es rectángulo en D, <DEF = <a y DFE = <b
Juan Fernando Sanín E
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