Blog julio 2025

julio 2025

 

Integral que incluye una función inversa, cuya función original tiene fórmula algebraica, pero la inversa no.

∫f^-1(x)dx

f tiene fórmula algebraica, trigonométrica, logarítmica, exponencial y f^-1puede tener fórmula o no. Si f^-1 tiene fórmula, el problema es inocuo, ya que la integral se integra con las reglas tradicionales de la integración. Pero si no tiene fórmula, caso función de Lambert W(x), que es la inversa de la función f(x) = xe^x.

Imagínese la función f(x) = xsen(x) definida en el dominio [0, 2] radianes

Figura (1) Gráfica de la función y = xsen(x)

en Dominio [0, 2] radianes. El máximo ocurre en x = 2

Esta función tiene inversa porque es monótona creciente, pero esta inversa, no tiene fórmula. Igual pasa con la función W(x) de Lambert, que, tiene inversa, pero esta no tiene fórmula. La función W(x) tiene dos ramas, una de ellas es:

Figura (2) Función de Lambert, ramas W-1 y Wo

Sólo trabajaremos con Wo

Dado un valor de x en el dominio de W(x), podemos calcular W(x) por medio de un algoritmo. También, se puede pedir que se lo calculen en línea o igualmente, hay calculadoras que tienen programado ese algoritmo.

Ej    x = 1    W(1) = 0,567143           x = 5     W(5) = 1,326725 Estos valores los conseguimos en línea o con una calculadora matemática moderna.

La función de Lambert es muy importante en la solución de ecuaciones exponenciales, mientras que la función R inversa de f(x) = xsen(x) no lo es, sólo la estamos utilizando a manera de ejemplo.

No obstante, R tiene dominio que es [0, 1,82] y rango que es [0,2],y además, es simétrica de xsen(x), respecto a la recta y = x

Volvamos a los que nos interesa:

∫f^-1(x)dx                                                   (1)

Sea y = f^-1(x)                                           (2)

f(f-1(x)) = x                     y = f^-1(x)     

De (2) se concluye que:             f(y)= x          derivando, con derivación implícita, tenemos

f’(y) dy/dx = 1                 dx = f’(y)dy               y reemplazando en la (1) obtenemos:

∫yf’(y)dy                                                           Esta integral la podemos solucionar por partes

u= y            dv = f’(y)dy

du = dy         v = f(y)

∫yf’(y)dy = yf(y) - ∫f(y)dy                                                          (4)

La fórmula (4) es la que permite hacer integraciones de f-1(x),utilizando la función directa.

Veamos un ejemplo

f(x) = x³                                                    f^-1(x) = x^1/3                       

Sea y = x^1/3                                    g(y) = y ^1/3

∫f^-1(x)dx = yf(y) - ∫f(y)dy = y y³ - ∫y³dy = y⁴ –y⁴/4 + C

= (3/4)y⁴ + C

Reemplacemos y por x ^1/3

∫f^-1(x)dx = (3/4) (x ^1/3) ⁴ + C = (3/4) x ^4/3 + C

Ahora, integremos directamente ∫f^-1(x)dx = ∫x ^1/3 dx = (3/4)x ^4/3 + C

Este ejemplo es inocuo, desde el punto de vista de la integración, pero comprueba la fórmula (4)

La fórmula (4) es poderosa, cuando f^-1(x), no tiene fórmula, pero f(x) si, como es el caso de la función de Lambert, en sus dos ramas W-1 y Wo

f(x) = xe^x                                                                    W(x) es la inversa de la función anterior, pero no tiene fórmula.

Que haríamos si tuviéramos que integrar 

Derivación de la función inversa

f(x) y f^-1(x)        mutuamente inversas

y = f^-1(x)

f(y) = f(f^-1(x)) = x                                                                             (7)

Derivando la ecuación (7), implícitamente respecto de x

f’(y)dy/dx = 1                                    dy/dx = 1/f’(y) = 1/ f’(f^-1(x))      (8)

La fórmula (8) es la fórmula general para la derivada de la función inversa.

Veamos un ejemplo:

f(x) = sen(x)        Dominio restringido a [-p/2, p/2]   y Rango [-1, 1]

La función inversa de sen(x) es f^-1(x) = arcsen(x) = sen^-1(x)   D = [-1, 1]      R = [-p/2, p/2]

La derivada de arcsen(x), de acuerdo con la fórmula (8)

 (arcsen(x))’ = 1/(cos(arcsen(x)))’

En el triángulo de la figura (3) veamos que es el ángulo θ = sen^-1(x)

Figura (3)

 

La derivada del seno es el coseno. Por tanto, con la fórmula (8)

En-1(x)

La derivada de sen^-1(x) será igual a 1/ cos(sen^-1(x))

Es decir:

arcsen(x)’ = 1/√(1 – x²)

 

Juan Fernando Sanín E

No se ha publicado definitivamente en mayo 2 2025

Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Junio de 2025

Integral con integrando infinito relacionado con el número e y la integral de √(tan(x)) -Dos integrales que intimidan

Problema 1

Integrar:

Y la segunda serie se reduce a:

En la expresión, en que hemos convertido la primera sumatoria, hagamos un cambio de variable:

u = x²/2,   así      du = xdx         y       dx = du/x

Verifiquemos limites

x→0   también u→0         x→∞         u→∞

Si en la integral cambiamos la variable x por u no se afectan los límites de la integral.

Trabajemos ahora con la segunda serie y le introducimos el cambio de variable.

Su dominio son todos los reales, excluyendo el 0 y los enteros negativos.

Los naturales 1, 2, 3, 4, 5,         n       pertenecen al dominio de la función Γ(x)

En la siguiente tabla se dan algunos valores de la función Gamma:

Hay una propiedad muy importante para los valores de Γ(x), cuando x es un número natural

Γ(n) = (n-1)!

Γ(n+1) = n!

Problema 2

Resolver la Integra indefinida

∫√(tan(x)) dx                                               (1)

Una integral atemorizante. En la medida que la vamos resolviendo vamos a encontrar el 

mundo de los números complejos y unos cambios de variable y otros artificios muy difíciles.

Lo primero que se nos ocurre es un cambio de variable:

u = tan(x)        du = sec2(x)dx                dx= du/sec²(x)             dx = du/(1+tan²(x))=du/(1+u²)

∫√u du/(1+u²)

Esta integral es tan difícil como la original, por lo cual no escogemos este cambio de variable.

Intentemos un segundo cambio de variable:

u = √(tan(x))              u² = tan(x)        2udu = sec²(x)dx

∫u*2udu/sec²(x) = ∫2u²du/(1+tan²(x)) = ∫2u²du/(1+u⁴)du        ya que tan²(x) = u⁴

∫2u²du/(1+u⁴)du                                                                                       (2)

Recordemos que u⁴+1 = u⁴ - i²                i= √ (-1)

u⁴ - i² = (u²+i²) (u²-i²) =(u²-1) (u+i) (u-i)

=(u+1) (u-1) (u+i) (u-i)

Igualaríamos 2u² = A/(u+1) + B/(u-1) +C/(u+i) + D/(u-i)

Conocidos A, B, C, D, la integral la resolveríamos por fracciones parciales, en el universo de los números complejos.

Pero no, la vamos resolver sólo en los números reales.

Retomemos la integral (2)    ∫2u²du/(1+u⁴)

Ambas integrales son solucionables. La primera por fracciones parciales y la segunda es 

inmediata e igual a tan^-1

No obstante, podemos ir a cualquier buen libro de cálculo, físico o virtual y allí encontramos 

las famosas tablas de integrales, que nos sirven en este caso:

Hemos encontrado estas integrales, que son modelos para resolver las dos integrales finales.

∫dx/ (x² - a²) = [ln (x - a) – ln (x + a)]/ (2a)

∫dx/ (x² + a²) = (1/a) tan^-1(x/a)

Y con estas fórmulas terminamos el ejercicio. En este caso a = √2

El resultado de la integral propuesta será:

= [ln (w - √2) – ln (w + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1(v/√2) + C

= [ln (u+1/u - √2) – ln (u+1/u + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) tan^-1[(u-1/u) /√2] + C

=[ln (tan(x)+1/ tan(x) - √2) – ln (tan(x)+1/ tan(x) + √2)]/ (2√2a) + (1/√2) [[tan^-1[tan(x) -1/ tan(x)] /√2] + C

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Nota: La integral (2) está propuesta como ejercicio en diferentes ediciones del Cálculo de Leithold. Pero su grado de dificultad es muy alto para estudiantes que están aprendiendo cálculo y aun para profesores, si los cogen desprenidos.

La integral con integrando infinito, no creo que esté en ningún libro de Cálculo para estudiantes de ingeniería o matemáticas. No obstante hay muchos blogs y aun videos en YouTube, donde proponen y resuelven este tipo de integrales. Lamento no poder referir el blog exacto. Lo que si recuerdo es que estaba propuesto y daban sugerencias muy efectivas.

(En mayo 2025 no se ha publicado definitivamente)

Identidades sen(α+β); Cual es mayor e^pi o pi^e; Raiz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

 Medellín, marzo 2025

Identidades sen(α+β) y cos(α+β); Cuál es mayor  o e^π o π^e; Raíz cuadrada de una matriz; Ecuación logarítmica y problema de áreas de triángulos y cuadrados.

1.    Cuál es mayor π^e o e^π

Podríamos chequear con la calculadora, pero no, lo vamos hacer a través de analizar la gráfica y = ln(x)/x

La gráfica de la función es la que se muestra en la figura (1)

Obtenemos el valor de su punto máximo

y’ = [x/x -ln(x)]/x² = (1 – ln(x))/x² )        en donde:    el punto crítico es el que resuelva la ecuación                1 – ln(x) = 0, o sea x = e

Se trata de un máximo, ya que para para valores <e la derivada es positiva y para valores > e la derivada es negativa. La derivada pasa de (+) a (–) en x = e

 

Fig. 1  Gráfica de y = ln(x)/x

El mayor valor de y es 1/e;      por tanto,  para todo y diferente;     ln(π)/π < 1/e

Se sigue que                                                        e*Ln(π) < π

                                                                             [Ln(π)^e] < π    (1)

Recordemos que e^Ln(x) = x     (2), y elevamos a la e ambos lados de la ecuación (1)

                                                                                      {e^[Ln(π)^e]} < e^π

                                                                                                 π^e <  e^π

1.    2.Demostrar gráficamente las fórmulas trigonométricas:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

 

Construyamos el ángulo α como se indica en la figura (2)

Luego, construyamos el ángulo β, como se indica en la figura (2)

Figura (2)

Sea α el ángulo <BAC         y β el ángulo <CAE      Para llegar a E trazamos la recta CE perpendicular a AC.

Suponemos que la longitud de la recta AE es 1 y completamos el rectángulo ABDF

Veamos algunas propiedades en la figura:    <BAC = <DCE = α (porque tienen sus lados perpendiculares entre sí)

El ángulo <AEF = <BAE         por alternos internos.

Veamos el triángulo rectángulo ACE

Si la hipotenusa AE es 1 entonces AC = cosβ      y CE = senβ

Veamos el triángulo ABC cuya hipotenusa es cosβ, por un razonamiento igual al anterior:

AB = cosαcosβ y BC es cosβsenα   Como se ve en la figura (3)

Figura (3) Desarrollo del problema gráfico.

De igual manera CD es senβcosα y DE es igual a senβsenα

Ahora viene lo mas interesante: AF sen(α+β)        y      EF = cos(α+β)

Mirando igualdades en el rectángulo AF= BD= BC + CD o lo que es lo mismo:

sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ              Quedó demostrada la primera identidad.

Ahora miramos EF = cos(α+β) = FD – DE y se ve claramente en la figura que es igual a

cosαcosβ- senαsenβ

Queda demostrado que:

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

3. Encontrar la raíz cuadrada de la siguiente matriz

Lo primero que se me viene a la cabeza, es que no tengo idea de como resolver este sistema de ecuaciones. Intenté con “DERIVE”y afortunadamente lo resolvió. Podía no haberlo resuelto.

La respuesta fue múltiple (4 matrices):

 

(x = 0  y = 1  z = 2  u = 1), (x = 0  y = -1  z = -2  u = -1), (x = 4/3  y = 1/3,  z = 2/3, u = 5/3), (x = -4/3  y = -1/3,  z = -2/3, u = -5/3)

 

Al hacer la prueba con las 4 matrices, vemos que todas cumplen que B^2 = A

 

1.   4.  Resolver la ecuación:

2^x*3^(x²) = 6

Todo parece indicar que se resuelve utilizando las propiedades de los logaritmos.

Dividiendo por 6 a ambos lados:

2^x-1*3^(x²-1) = 1

ln[(2^x-1)*3^(x²-1)] = ln1 = 0

ln(2^x-1) + ln3^(x²-1) = 0

(x-1)ln2 + (x²-1)ln3 = 0

(x-1)[ln2 + (x+1)ln3] = 0

Lo anterior me da las dos raíces para x. La primera es x-1 = 0      x = 1

La segunda me da que x = -ln2/ln3 – 1 = -1.630929753

La verificación con x= 1 es obvia. Con x = -1.630929753 hay que tener cuidado

(-1.630929753)^2 = 2.659931859

2^{(-1.630929753)*}3^{(2.659931859)} = 6

 

    5. En la siguiente figura, encontrar el área rayada.

AEGH y ABCD son cuadrados, cuyo lado no conocemos. Pero conocemos las áreas sombreadas.

Figura (4)

 

No conocemos el lado de ninguno de los dos cuadrados. No obstante, conocemos el área del cuadrado AEFG que es igual a 4 + 12 = 16, por lo que el lado de este cuadrado es 4.

Igualmente, conocemos el lado AE del triángulo rectángulo AEF y por consiguiente, conocemos el lado EF.    EF*4/2 = 4       EF = 2 y por lo tanto, FG = 2

Los triángulos AEF y FBG, son rectángulos y además, tienen igual el ángulo interior en F. La relación entre sus hipotenusas es: 1/√5   Ver figura (5)

Figura (5)

Sus catetos serán FB = 2/√5 y BG = 4/√5

El área de este triángulo FBG = (2/√5) (4/√5)/2 = 4/5 u2

El área pedida será igual a (2√5 + 2/√5)² - 4/5 -12 = 16 u2

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

La mayoría de los ejercicios, tomados de blogs de la web, de varios autores.

 

Inducción matemática – fracciones infinitas – Limites que incluyan la función de Lambert.

Medellín, enero 2025

 

Inducción matemática – fracciones infinitas – Limites que incluyan la función de Lambert.

 

1.    Inducción matemática

Antes de definir qué es la inducción matemática, hagamos una demostración de una propiedad de los números naturales.

Demostrar que el producto de tres números naturales consecutivos, es divisible por 3

Cualquier número natural se puede escribir de una de las tres siguientes formas:

n = 3q          q es otro número natural, en este caso n es divisible por 3

n = 3q+1      q es otro número natura, en este caso n no es divisible por 3l

n = 3q+2      q es otro número natural, en este caso n no es divisible por 3

Lo anterior, ya que cada tres números naturales consecutivos hay un múltiplo de 3

ej

24 = 8x3

37 = 3x12+1

35 = 3+11+2

n(n+1)(n+2)   tres números naturales consecutivos

Si n = 3q y q es también un natural, no hay duda de que n(n+1)(n+2) es divisible por 3

Si n = 3q+1              n(n+1)(n+2) = (3q+1)(3q+2)(3q +3)   y por el último factor, también es divisible por 3

Si n = 3q+2                   n(n+1)(n+2) = (3q+2)(3q+3)(3q+4)     y por el factor de la mitad, también es divisible por 3

 

Luego, el producto de tres números naturales consecutivos es divisible por 3 (Siempre)

Qué es inducción matemática?

La inducción matemática es una demostración que tiene dos pasos: 1. La base de la inducción: Mostrar que la afirmación es cierta en el primer caso, para un número específico. 2. El paso de inducción: Suponer que la afirmación es cierta en un caso general n, y mostrar que debe ser cierta en el número natural n+1, o el siguiente, según sea el caso. Si podemos demostrar que una afirmación es cierta, en un primer caso, y podemos demostrar que, siempre que sea cierta en un caso, también es cierta en el caso siguiente, entonces la proposición debe ser cierta en todos los casos.

Vamos a demostrar que el producto de 2 números naturales pares continuos es divisible por 8

n(n+2)   es divisible por 8

para n=2          2x4           divisible por 8

para n=4          4x6           divisible por 8

Suponemos que es cierto para un valor n.

n(n+2)      suponemos que es divisible por 8

Ahora, utilizando la proposición anterior, veremos si se cumple o no, para el natural par siguiente n+2 de este problema.

La fórmula es (n+2)(n+4),  no sabemos si es divisible por 8 o o no, organicemos

(n+2)n + (n+2)4

El primer sumando es divisible por 8 . Lo hemos utilizado como hipótesis

El segundo también, porque n+2 es par y está multiplicado por 4

Luego, si se cumple para n par, también se cumple para el siguiente par n+2

 

Otro ejemplo de inducción matemática:

Vamos a demostrar que (5n-1)(5n+1) es divisible por 8, si n es impar

Vemos que se cumple para n = 1, n = 3

El próximo impar después de n impar, es n+2

(5(n+2)-1)(5(n+2)+1)

Organicemos así:      ((5n-1)+10)((5n+1)+10)

(5n-1)(5n+1)+50n-10+50n+10+100

(5n-1)(5n+1)+50n+50n+100 =

 

(5n-1)(5n+1)+100n+100 = (5n-1)(5n+1)+100(n+1) el primero es, por hipótesis divisible por 8 y en el segundo,100 es divisible por 4 y n+1 tiene que ser par, ya que n es impar.

Queda demostrado que, si se cumple para un valor de n impar, se cumple para el siguiente impar n+2

Con lo que hemos aprendido, demostremos que:

n(n+2)(5n-1)(5n+1) es divisible por 24

Si n es par, este producto es divisible por 8 porque n(n+2) lo es también.

Si n es impar ese producto es divisible por por 8, ya que (5n-1)(5n+1) es divisible por 8, lo hemos demostrado.

Veamos si el n(n+2)(5n-1)(5n+1)

Es divisible por 3

Reescribamos el producto así:          n(n+2)/25n² -1)

n(n+2)[24n² +n²-1] = n(n+2)[24n² +(n+1)(n-1)]

n(n+2)(24n²) +n(n+2)(n-1)(n+1)

El primer sumando es divisible por 24 y por tanto, por 3

El segundo sumando contiene tres naturales consecutivos, y por tanto es divisible por 3.

Por consiguiente

n(n+2)(5n-1)(5n+1)   para todo n, es divisible por 3 y por 8 y por tanto es divisible por 24

 

2.    Resolver para x, si es que x existe.

 

x² = x + 1

x² – x – 1 = 0           aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado

x = (-b ±√ (b² -4*a*c)) /(2a)

x = (1 ±√ (1 +4*1)) /2

x = (1+√5) /2

Dado que la expresión original de x es positiva, el signo negativo no tiene sentido en el conjunto de los reales.

3.    Determinar los valores de a y b en el siguiente límite:

 

 

    4    Límite que contiene W(x)

Si comparamos las funciones Ln(x) y W₁(x). vemos que, de cierto valor de x en adelante función Ln(x) va siempre por encima de W₁(x) y crecen, relativamente despacio, pero al final, en el más infinito, son iguales.

Nota; Las gráficas 1 y 2 nos muestran la función f(x= = xe^x y de su inversa, la función de Lambert W. Realmente, como la función xe^x no es biyectiva, hay una inversa para la rama decreciente y otra para la rama creciente. (La inversa no es única)

Figura 1 gráfica de y = xe^x

Figura 2. Ramas de la función de Lambert Wo y W₁ . ( A veces las hemos llamado W_-1 y Wo)

 

1.    Resolver para a, b y c enteros (Método de demostración por reducción a lo absurdo.)

 

a! * b! = a! + b! + c!                            (1)

Recordemos que 0! = 1! = 1

Ensayemos para algunas duplas (a, b)

(1, 1)           1! * 1! = 1! + 1! * c!                   No hay ningún c entero que satisfaga

¡1, 2)           1! * 2! = 1! + 2! * c! = 3+ c!       No hay ningún c entero que satisfaga

(2, 2)           2! * 2! = 2! + 2! * c! = 4+ c!       No cumple, ni con c = 0, ya que 0! = 1

(2, 3)           2! * 3! = 12 = 2! + 3! + c! = 8 + c!     Ningún factorial da 4

(3, 3)           3! * 3! = 36 = 3! + 3! + c! = 12 + c!        y 4! = 24

O sea que la tripla (3, 3, 4) satisface la ecuación 1

Veamos el caso general:

a! * b! = a! + b! +c!

a! * b! – b! = a! + c!                                       (2)

a! * (b! – 1) ≈ a! + c!          →      a!*b! = a! + c!          (3)

La única forma de que se pueda dar esta “cuasi igualdad” es que b sea demasiado grande, digamos 100, ya que 100! ≈ 100! -1

Con la (3) hagamos lo mismo que hicimos con la (2)

a! * b! – a! = c!

b! * (a! -1) = c!                              b! * a! = c!         (4)   si la comparamos con la (1) observamos que:

a! * b! = a! + b! +c!      Esta era la (1)

La única forma de conciliar la (1) y la (4) es que a! + b! sea un numero muy pequeño, prácticamente, despreciable, lo que implica que a y b deben ser muy pequeños, lo cual está en contradicción con las hipótesis que utilizamos para hallar las ecuaciones (3) y (4), en las cuales dijimos que a y b deberían ser números naturales muy grandes.

Este absurdo o contradicción nos muestra que no hay tripla (a, b, c) que satisfaga la ecuación (1)

La única solución al problema es por lo tanto, la tripla (3, 3, 4)

Este método de demostración es muy antiguo y se ha llamado “reducción a lo absurdo”

Gracias al blog de PrimeNewton, que fue donde vi este hermoso problema.

 

 

Juan Fernando Sanín E

Juanfernando.sanin@gmail.com

Enviada 4/2/25