Julio 2026

 

Blog problemas de geometría plana – Teorema de Herón – Circunferencias   circunscritas e inscritas

 

1.    1.Teorema de Herón

 

Sea el triángulo general ABC, cuyos vértices son A, B y C y sus lados, a, b y c

El área del triángulo viene dada por la fórmula     Área = √(s(s-a) (s-b) (s-c)), donde

S = (a + b +c) /2   semiperímetro

S – a = = (a + b -a) /2

S –b = = (a + c -a)/2

S – c = = (a + b -c)/2

Demostración

Figura 1. Área del triángulo por el teorema de Herón

 

Área = ah/2= ab.sen(γ)/2                                            (1)

Sen(γ) = √ (1 – cos² (γ))

Cos(γ) = (a² + b² -c²) /2ab                                          (2) Por el teorema del coseno

La (1) queda así:

 

Área = ab√ {(1 - (a² + b² -c²)² /4a²b²} /2

 

Área =ab √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²) /4a²b²)} /2 = √ {(4a²b² - (a² + b² -c²)²} /4

Factoricemos por diferencia de cuadrados:

Área = √ {2ab + a² + b²-c²) (2ab -a² -b² + c^2})} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b)² -c²) (c² – (a – b)²)} /4

Área = √ {(a + b +c) (a + b -c) (c +a - b) (c – a + b) (c + a – b)} /4            (3)

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Reemplazando en la (3)

 

Área = √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]/4 = (4/4) √[(2s(2(s-a)2(s-b)2(s-c)]

= √ [s (s – a) (s – b) (s – c)]

 

Ejemplo 1:  Hallar el área del triángulo cuyos lados son:3, 5 y 6

S = (3 + 5 +6) /2 = 7

S -3 = (5+6 -3) /2 =4

S – 5 = (3 + 6 – 5) /2 = 2

S – 6 = (3 + 5 -6) /2 =1

Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

1.   2.  Circunferencia circunscrita a un triángulo

Una circunferencia circunscrita a un triángulo, es aquella en la cual, los tres vértices del triángulo, son puntos de la circunferencia.

Sea R el radio de esa circunferencia.

Dado un triángulo cualquiera, se trazan las mediatrices de cada uno de los lados,las cuales concurren en un punto llamado circuncentro. El radio de la circunferencia es R y corresponde a la distancia del circuncentro a uno de los vértices.

 

Dado un triángulo ABC, cualquiera, calcular el valor del radio R, de la circunferencia circunscrita, en función de los tres lados.

Circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera ABC

Solución

El ángulo<ACB = γ tiene como medida el arco AB/2

El ángulo AOB, tiene como medida el arco AB, por tanto, es igual a 2γ

El triángulo AOB es isósceles, por tano OD es mediana, mediatriz y bisectriz y el ángulo <AOD = γ

En el triángulo AOD, senγ= (c/2) /R          y R =(c/2) /senγ

R=c/(2senγ) = c / [2√ (1 – (a²+b² -c²/2ab)²)]

R = c /2√ [(1 – (a²+b² -c²)²/4a²b²)²)]

R = c / [(2/2ab) √ (4a²b²– (a²+b² -c²)²)]

R =ab c / √ ([4a²b²– (a²+b² -c²)²)] cuya factorización, es idéntica a la vista en el primer tema de este blog

R =[(abc)/ [4 Área del triángulo]

Ejemplo2:

Calcular el Radio de la circunferencia circunscrita al triangulo del ejemplo 1

R =(3x5x6) X7,48/4 = 3u

Nota: La ley del seno en triángulos, también nos da una expresiópn para calcular el radio de la circunferencia circunscrita a ese triángulo

a/senA = b/senB = c/senC = 2R

3. Circunferencia inscrita. Cálculo del radio r de este en función de sus lados.

Radio de la circunferencia inscrita en función de sus lados a, b y c

El centro de esta circunferencia, es el punto donde confluyen las bisectrices delos ángulos internos A, B y C. Sea O ese centro, que llamaremos incentro.

El área del triángulo ABC es la suma de las áreas de los triángulos ABO, BOC y COA

Cuyas bases son los lados c, a y b y cuya altura relativa a esos lados es r, por tanto:

 

Área = área AOB +área BOC + área COA

Área = cr/2 +ar/2 + br/2 = (r/2) (a +b + c)

Por 3l teorema de Herón

R = 2Área/ (a + b + c) =2

Área =√[s(s-a) (s-b) (s-c)] = (r/2) (a +b + c)

r = 2√[s(s-a) (s-b) (s-c)]/ (a + b + c)   radio de la circumferencia inscrita

Recordar:

s = (a + b +c)/2    s – a = (c + b -a)/2    s – b = a + c – b)/2     s – c = (a + b -c)/2

Ejemplo 3

Calcular r en el triángulo cuyos lados son 3, 5 y 6

Del ejercicio 1 sabemos qué Área = √ (7*4*2*1) = √56 = 7,48 u2

Por tanto      r =2*7,48/14 = 1,07 u

4.    Lugar geométrico

Sea una circunferencia de radio R. Trazamos otra circunferencia que sea tangente a la circunferencia inicial y al diámetro de esta. (Ver figura). Hallar el lugar geométrico de los puntos P, centros de las circunferencias interiores, inscritas en la circunferencia mayor y el diámetro de esta.

Solución

Evidentemente hay dos puntos de ese lugar. El primero es el punto B(5, 0) y el punto (0, R/2)

Si tomamos un punto P(x, y) general, de ese lugar geométrico, el radio de este será r = y.

Una tangente a la circunferencia grande en Q(xo, yo) tiene una pendiente m1 y es igual a la derivada de y = √(R^2-x^2) es decir         y’ = -x/√(R^2-x^2)

Que en el pnto Q es igual a m1 = -xo/√(R^2-xo^2)

Si m2 es la pendiente de la recta PQ, entonces m1 m2 = -1   y m2

m2 = √(R^2-xo^2) /xo

 

m2 =(y-yo) /(x-xo) = √(R^2-xo^2) /xo

       y    yo = √(R^2-xo^2)                       obtenemos la ecuación (1)

 (y-yo) /(x-xo) =yo/xo

y = yo (x – xo) yo/xo                                                   (1)

Otra ecuación que relaciona a P y Q es el radio r de la circunferencia interior

Ese radio r = y             y² = (x – xo)² + (y – yo)²     (2)

Combinándolas obtenemos         xo = yox/y                (3)

Reemplazando (3) en (2)

(y – yo)² [x² + y²] = y4

y – yo = y²/√ [x² + y²]

yo = y - y²/√ [x² + y²]                                                 (4)

[1-y]/√(R^²-x^²)²(x² + y²)

xo en términos sólo de x e y se convierte en

xo = (x/y) √ [x² + y²]                                                 (5)

xo, yo satisfacen la ecuación de la circunferencia grande x² + y² = R²

Reemplazando (4) y (5) en la ecuación principal

Terminamos en

√ [x² + y²]-y = ±R

Y simplificando

y = (x² – y²) /2R)        o         y = -(x² – y²)/2R)

Para la semi circunferencia superior, el lugar geométrico es la parábola encerrada en el cuadro.

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com