Integrales con diferencial exponencial

Medellín, enero 2026

En realidad, no se trata de la integral exponencial, sino de una integral en la que el diferencial aparece como un exponente.

De hecho, no he visto esta integral en ningún libro de cálculo, sólo en YouTube. Tiene su lógica, aunque no he visto ninguna aplicación de esta integral en la física, ni en matemáticas financieras o estadísticas. Mas aun, es probable que tenga un nombre diferente al que le acabo de dar.

 

Recordemos la suma de Riemann

Tenemos una función f(x), continua en el intervalo [a, b]

Dibujamos la función f(x), continua en el intervalo [a, b]

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos, no necesariamente iguales, que llamamos Δxi

En cada subintervalo i (xi, xi+1], tomamos un valor arbitrario xk, no necesariamente xi, ni xi+1

Fig. 1 f(x) entre [a, b]; n intervalos i   xi+1 – xi = Δxi,   i     varía de 1 a n y cubre la totalidad del intervalo [a, b], los xk escogidos en cada intervalo i son arbitrarios, no necesariamente coinciden con xi o xi+1

 

La suma de Riemann es la siguiente expresión matemática:

Tomemos Ln a ambos lados de (5)

Ejercicio 1

Integramos por partes:

Primero, un cambio de variable       t = 2x + 3       dt = 2dx

∫ln(t) dt/2 = (1/2) ∫ln(t) dt

u = ln(t)            dv = dt

du = (1/t)dt        v = t

(1/2) ∫ln(t) dt = (1/2) [tln(t) - ∫dt] = (1/2) [tln(t)- t + C]

Remplazamos

(1/2) [(2x+3) ln(2x+3) – (2x+3) + C] en la (9)

Integramos por Partes

u = ln(cos(x))                    dv = (-sen(x))dx

du= (1/cos(x)) (-sen(x)dx    v = cos(x)

Ejercicio 3

Donde A es una constante

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com