Medellín,
junio 2023
Números complejos
A. Unidad imaginaria
Se
llama así al número √(-1) y se designa por la letra i
√(-1)
= i
Ejs
√(-5)
= √5 i
√(-3)
= √3 i
Al
número z = a + bi se le llama número
complejo en forma binómica o binomial. En general, cualquier número complejo
se denota por la letra z.
Al
número a se llama parte real del número
complejo y se denota por a ∈ R, mientras que al número bi se llama parte imaginaria del número complejo y se
denota por bi ∈ Im.
Si
la parte imaginaria
de un número complejo vale cero,
se reduce a un número real
a, ya que z= a + 0i = a.
Si
la parte real
de un número complejo vale cero,
esto es, el número complejo se reduce a bi,
y se dice que es un número imaginario puro.
Ejemplo
Hallar
(1) (1/3) = 1
Pues
es 1. Si pero no, todo real tiene 2 raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, etc.
O sea que esperamos tres raíces cúbicas de 1. Encontrémosla:
x3
- 1 = 0 (x - 1)(x2
+ x +1) y aplicando la fórmula de la
ecuación de segundo grado obtenemos:
x2
+ x + 1= 0 x = (-1 ±
√(1 – 4))/2 = (-1±√(3) i)/2 y a estas
dos raíces complejas le agregamos la real 1 para un total de 3 raíces.
B. Números complejos
Con
esta introducción, veamos la fórmula de Euler.
La serie de Taylor de una función real o
compleja, infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o
complejo a que pertenece a su
dominio. La serie de Taylor es la siguiente serie de potencias:
f(x)
= f(a)) + f’(a)(x – a)/1! + f”(a)(x – a)2/2!+ fn(a)(x – a)n/n!
+…..
Si
a= 0 y 0 es del dominio de f, entonces la serie anterior se convierte en:
f(x)
= f(0) + f’(0)x /1! + f”(0)x2/2!+ fn(0)xn/n!
+…………. Serie Maclaurin
ex,
sen(x) y cos(x) pueden ser representadas por series de Maclaurin convergentes,
ya que tienen infinitas derivadas en todo su dominio. Estas series son:
ex
= 1 +x/1! + x2/2! + x3/3! + xn/n!+…… (1)
cos(x)
= 1 – x2/2! +x4/4 – x6/6! +…………. (2)
sen(x)
= x – x3/3! +x5/5! – x7/7! +……………. (3)
si
aplicamos la fórmula (1) para ix
eix = 1 +ix/1! + (ix)2/2! + (ix)3/3/ + (ix)4/4!
+(ix)5/5! + (ix)6/6! (ix)n/n!+……
eix = 1 +ix/1! - x2/2! -ix3/3! +x4/4! +ix5/5! -x6/6!
(ix)n/n!+……
Si
agrupamos los términos que no tienen i y los que tienen i obtendremos:
eix = 1 – x2/2!+ x4/4!-x6/6!
+ +i(x – x3/3!+x5/5! )
Sin
mucho esfuerzo vemos que:
eix = cos(x) + isen(x) (4) que es la fórmula de Euler y la que le
da entrada a la matemática compleja.
Antes
de pasar a la representación de un número complejo veamos la fórmula (4) cuando
x = π
eiπ = cos(π) = -1 que equivale a que: eiπ +1 = 0 (5)
C. Representación de números complejos
En
general, al conjunto de todos números complejos, se le designa por el símbolo C. De una manera más formal, utilizando
notación de conjuntos, se le denota como:
C
= a + bi , donde a y b ∈R e i∈ Im (Im = imaginarios)
Los complejos a + bi y –a –bi se
denominan contrarios
Los complejos a + bi y a – bi se
denominan conjugados
Representación de los
números complejos.
La representación es similar a la de un vector (a, b) donde a es la parte
real y b es la parte real del imaginario.
Binómica z = a + bi
Polar z = rα donde r es el módulo y α
el argumento, siempre en radianes. Enseguida definimos módulo y argumento.
Trigonométrica z = r (cos
α + i sen α) donde r es el módulo y α
es el argumento. El argumento se puede expresar en grados o en radianes, pero se
producen más errores en cálculos con complejos, cuando lo expresamos en grados
(deg).
El vector z = a + bi , tiene un módulo r>0 = √(a2 + b2),
donde a y b pertenecen a los reales y pueden ser positivos o negativos y cuando
se expresan genéricamente, el signo está implícito.
Ejemplos de complejos en forma binómica
3 + 2i
-5 + 3i
-4 – 4i
1 – 5i
D. Operaciones entre complejos:
Primero veamos cuánto vale i*i = √(-1)*√(-1) = -1 i*i = -1
Suma
La
suma de un complejo es clausurativa, es decir, da como resultado un complejo.
El procedimiento es sumar las componentes reales por aparte y las componentes
imaginarias por aparte. Si en la suma desaparece el imaginario, recordar que R está
contenido en C.
(3
+ 2i) + (2 – 5i) = 5 – 3i
La
suma, tal cual se definió es asociativa.
Resta
La
resta de complejos, viene definida por el conocimiento que tenemos de la resta
de los reales y la suma de los complejos.
(a
+ bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
La resta es clausurativa, pero el orden en que se presentan es muy
importante. No es conmutativa.
Multiplicación
La
multiplicación de complejos se hace tal cual se hace el producto en algebra
elemental. La multiplicación es clausurativa, aunque ocasionalmente el producto
de dos complejos pudiera resultar en un real puro, pero debemos recordar que el
conjunto R está contenido en el conjunto C.
(a
+ bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + (ad + bc)i –
bd = (ac – bd) + (ad + bc) i
División
La división
entre complejos está definida, pero para tener un resultado, hay que
multiplicar y dividir la fracción, por el conjugado del denominador.
(a + bi)/ (c +
di)
[(a + bi) (c
–di)] / [(c + di)(c – di)] = ac –adi +
bci +bd)/(c2 – (di)2)
= (ac – (ad
– bc)i + bd) /(c2 + d2) Que es la división de un complejo por
un real, que obviamente es evidente. La división entre complejos, también es
clausurativa, es decir pertenece a los complejos.
E. Modulo y argumento.
Como vimos,
el módulo de un vector a + bi siempre será r = √(a2 + b2)
> 0
Pero el
argumento depende del cuadrante donde se encuentre el número complejo, que se
representa en un plano cartesiano, en donde los reales se definen sobre el eje
x y la parte real del imaginario en el eje y.
Veamos esto
en un gráfico
Fig 1 Módulo y argumento de un número complejo
La
gráfica explica muy bien los conceptos de módulo y argumento.
Ejercicio
Escribir
el complejo -3 + 4i en forma
trigonométrica y polar
r
= módulo r = √((-3)2
+ 42) = √(9 + 16) = 5
Argumento
α Está en el segundo cuadrante, el
argumento principal es 180 - α
Entonces
α = arctang abs(4/(-3)) = 53,13010235
Argumento
principal 126,869898 deg =
2,21 rad
Argumento
general 126,869898 + 360k, k=1, 2, 3, numero de vueltas que le demos al
ángulo.
En
radianes el argumento general sería: 2,21 + 2πk
cosx
= -0,6
senx
= 0,8
El
Complejo en forma trigonométrica será:
5(cos(126,869898)
+ i sen(126,869898)
5(-0,6
+ i 0,8)
En
forma polar
z=
5 126,869898 deg cualquier
operación posterior hay que realizarla con el argumento en radianes 126,869898 deg = 2,21 radianes
Aunque
esta notación es usada, podría ser mejor si utilizáramos la fórmula de Euler:
z = rexi =
re (x + 2πk)i
Z = 5e2,21i =
5(cos2,21 + isen2,21)
ahora el argumento es 2,21 rad
F. Potencias y raíces de
números complejos – Teorema de De Moivre
z
= a + bi
En
forma trigonométrica
z=
r(cos(x) + i sen(x)
x es el argumento del complejo y r el módulo
Veamos
esta curiosidad:
i^i
= i i
πi/2 =
1(cos(π/2
+ isen(π/2) de acuerdo con el teorema de Euler y
argumento π/2 radianes
eπi/2 =
i ya que cos(π/2) = 0 sen(π/2) = 1
(eπi/2)^i = i^i en el lado derecho, por
propiedades de exponentes, entramos
a
multiplicar el i y obtenemos e [(i)^2*(π/2])=i^i = e-π/2
Por
lo que i^1 nos da un número real que contiene a e
y a π
Más
aun, nos da infinitas soluciones, cuando el número de vueltas para llegar a π/2
sea 1, 2, 3, ……….
El teorema de De Moivre
Sean z, w ∈ C, no nulos. Entonces
arg(z.w) = arg(z)+arg(w)−2kπ para algún k ∈ Z, Z conjunto de los enteros.
Demostración:
Sea α = arg(z) y sea β = arg(w). Limitemos estos
argumentos a α<2π y β<2π
Entonces z = |z|(cos α + isen α); w = |w|(cos β + isen β); |z|, |w| módulos de z y w
Luego, z.w = |z|(cos α + isen α)|w|(cos β + isen β)
= |z|.|w| ((cos α cos β − sen α sen β) + i(cos α sen β + sen α cos β))
=
|z.w|(cos(α + β) + i(sen (α + β)) (6)
α + β
= es el argumento de z.w
Qué pasa si α + β >2π y < 4π, el argumento de z.w será:
arg(z.w) = arg(z) + arg(w) − 2π, para que nos dé un argumento <2π
Corolario 1. Sea z ∈ C, z diferente de 0, y
sea n ∈ N (naturales). Entonces arg(z n) = n
arg(z) − 2kπ, para algún k ∈ Z, tal que el argumento de (z n) sea <2πk.
Corolario 2. Sea z ∈ C, z diferente de 0.
Entonces arg(z −1 ) = − arg(z) - 2kπ para algún k ∈ Z.
Corolario 3. Sea z ∈ C, z m= w y
sea m ∈ Z (Enteros). Entonces arg(z m) = m arg(z)
− 2kπ, para algún k ∈ Z y que arg(z m)
sea < 2πk. Luego, si α = arg(z), entonces:
z m = |z| m (cos (mα) + isen (mα) válido y demostrable para m entero
y
extensible a m cualquier número real.
G. Demostración, por
inducción matemática, del Corolario 3
(a + bi) n
= r n((cos(nx) + i sen(nx))
Por
ejemplo para n =1 (a + bi)1
= r1(cos(1x) + isen(1x))
Vemos
que para n = 1, se cumple. Ahora supongamos que se cumple para un valor n y
demostramos que se cumple también para n + 1, con lo cual queda demostrado que
cumple para todo n.
A
continuación, consideramos los casos con n y n + 1
zn
= (r(cos(x) + isen(x))n = rn (cos(nx) + isen(nx)), para
algún valor de n, que pertenece a los enteros. Suponemos que esto es cierto
porque sabemos que para n= 1 cumple.
Veamos
qué pasa con n + 1
zn+1
= rn+1(cos(x) + i sen(x))n+1 Esta expresión es igual a:
zn+1 = rn+1
( cos((n+1)x) + isen(n+1)x)) (7)
Y también debe ser una
proposición verdadera.
Analicemos
zn+1 = rn
(cos(nx) + i sen(nx))n r1 (cos(x) + i sen(x)) = zn*z1
Es
verdadera, porque hemos supuesto que para n es verdadera y sabemos que para n=1
también se cumple
Haciendo
el producto:
=rnr1(cos(nx)cos(x)
+ i(cos(nx)sen(x) + isen(nx)cos(x)) – sen(nx)sen(x))
Y
agrupando
=r
n+1 (cos(nx)cos(x) – sen(nx)sen(x)) + i(cos(nx)sen(x) +
sen(nx)cos(x))
= rn+1(cos(nx+x)
+ i sen(nx+x))
zn+1 = rn+1(cos((n+1)
x) + i sen(n+1) x) (8)
También
resultó verdadera, luego cumple para n y para n+1.
Como
cumple para 1, también cumple para 0, ±1, ±2 y todos los enteros.
Más
difícil es demostrar esta proposición si n no se limita a los enteros, sino que
se extiende a todos los reales. Lo vamos a aceptar. Y eso nos permitirá elevar
a cualquier potencia o sacar cualquier raíz.
Ejemplo
Sacar
la raíz cúbica del complejo: z = -3
+ 4i
Lo
debemos escribir en forma trigonométrica:
z = 5(cos 126,869898 +
i sen 126,869898)
z(1/3) = 5(1/3)
( cos((126,869898) +360k)/3 + i sen ((126,869898+360k)/3))
z(1/3) =
1,709976 (cos(42,289966 + 120k)+ sen (42,289966 + 120k))
k = 0
z(1/3) =
1,709966 (0,739749) + 0,672828 i)
otra
con k=1
z(1/3) =
1,709976 (cos (42,289966 + 120)+ i sen (42,289966 + 120))
z(1/3) =
1,709976 (cos (162,289966)+ i sen (162,289966)i)
z(1/3) =
1,709976 (-0,952608+ 0,304199 i)
otra
con k = 2
z(1/3)
= 1,709976 (cos (42,289966 + 240)+ sen (42,709976 + 240)
z(1/3) =
1,709976 (0,212859 - 0,977082 i)
Utilizando
DERIVE elevé cada una de estas raíces a la potencia 3 y siempre encontré
z=
-3 + 4i
Ejemplo
8
(1/3) raíz cúbica de 8.
Sabemos
que una de ellas es 2. Las otras dos las sacamos de aplicar De Moivre al Complejo
z=8
+ 0i cuyo
módulo es 8 y cuyo argumento es 0- deg
z(1/3) =
(8) (1/3) (cos (0 +360k)/3) +i sen(0 +360k)/3)) k =0, 1, 2,
k = 0 z(1/3)
= 2
k = 1 z(1/3) = 2 (cos
120 + i sen 120) = 2 (-1/2 + i √(3) /2)
= -1 + √(3) i
k = 2 z(1/3) = 2 (cos
240 + i sen 240) = 2 (-1/2 – i √(3)
/2) = -1 - √(3) i
Para
el mismo caso, no utilicemos la fórmula de De Moivre, sino la ecuación x3 =
8
x3
– 8 = (x - 2)(x2 +2x +4)
ya tenemos una raíz x1 = 2
Resolvamos
la ecuación de segundo grado x2
+ 2x + 4= 0
Fórmula
de segundo grado
x=
(- 2 ± √ (4 -16)) /2 = (- 2 ± √ (-12)) /2 = (- 2 ± 2√ (3) i))/2
x2
= -1 + √ (3) i x3
= -1 -√ (3) i que coinciden a las
obtenidas aplicando DeMoivre.
Raíces
chequeadas con DERIVE y que efectivamente, a elevarlas a 3 nos da 8
Ejemplo
z=
3+4i hallar z-1
r=
5
n
= -1
z^(-1)
= 5-1(0.6+0.8i)-1, argumento = tan-1 0.8/0.6
=53,130102 deg = 0,927295 rad
5-1
= 1/5 = 0,2
Recordemos
la fórmula de De Moivre zn
= rn(cosnx+2πk) + sen(nx+2πk)
k entero. Si el ángulo lo estamos trabajando en radianes, la fórmula
lleva 2π, si estuviéramos trabajando en deg utilizaríamos 360 deg
z-1 = (5 -1)(cos(0,922795(-1)+2πk) +i sen(0,927295*(-1)+2πk))
Para
k= 0
z-1
= 0,2(0,6-0,8i) con DERIVE
hagamos la operación z-1
0,2(0,6-0,8i)-1
= 0,12+0,16i
y
podríamos encontrar k respuestas, para valores diferentes de k -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
La
que encontramos es para k = 0
Ejemplo
z
= -6 – 8i
Hallas
z8
El
complejo en representación trigonométrica
argumento = 360 – 53,130102
=
306,869898 deg y el argumento general es 306,869898+360k k pertenece a Z
=
tan -1 ABS [(-8)/(-6]) = α = 53,130102 deg, argumento = 360 - α
r = 10
z
= 10 (cos (306,869898 +360k) + isen (306,869898 + 360k )
z8
= 10 8 ((cos 8(306,869898 +360k) + isen 8(306,869898) +360k)))
z8 = 108 ((cos2454,959184+2880k
)+ sen(2454,959184+2880k)i))
Como
estamos utilizando deg, la fórmula es con 360k. Es indiferente utilizar deg o
rad, siempre y cuando sepamos en que unidades se valora el argumento y seamos
consecuentes, ya que estamos trabajando con seno y coseno. Pero si en alguna
parte utilizáramos el argumento (no en una función trigonométrica),
obligatoriamente tenemos que trabajar en radianes.
k
= 0
z8
= 108 (cos 2454,959184 + isen 2454,959184)))
=
108 (0,421972 - i 0,906609)
Esta
es la respuesta para k= 0, hay una respuesta diferente para cada entero.
Para
terminar, encontremos el número complejo igual a z = -6 – 8i
expresado
con el número e
reix
= r (cos(x) + i sen(x)), x = argumento
en radianes.
306,869898
deg = 5,35589 rad
El
complejo se escribiría así: 10e5,35589 i r=10
En
este problema no podemos utilizar el argumento en deg = 306,869898 deg, sino el
argumento en radianes
Juan Fernando Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com
