Medellín, septiembre 2025
Blog: Resolución de cúbicas por el método de Cardano y
problema de números imaginarios.
- Resolución de ecuaciones cúbicas, Método de Cardano
Cualquier cúbica
que nos encontremos, la debemos transformar a la forma (2), con el cambio de
variable indicado, para poder resolverla por el método de Cardano.
z = u + v (u + v)3 = u3 + v3 +3uv(u + v)
(u + v)3 - u3 - v3 -3uv (u + v) = 0 que comparándola con z3 + pz + q = 0 obtenemos
u3 + v3 = -q (3)
3uv = -p uv = -p/3 (4)
Donde la solución z = u + v Introducimos un cambio en la ecuación (4)
u3v3 = -p3/27 (5) y resolvemos el sistema:
u3 + v3 = -q (3)
u3v3
= -p3/27
(5)
Al transformar
(4) en (5), hemos introducido varias raíces extrañas a la solución de la
cúbica. 6 raíces para ser más precisos, que debemos evitarlas al encontrar la
solución final.
Si llamamos w1 y w2 las raíces cubicas imaginaria cúbica de 1, vemos
“x3 - 1 = 0 (x – 1)(x2 + x +1) “
Las raíces cubicas imaginarias de 1 son
w1 = (-1/2 + √ (-3)) /2 w2 = (-1/2 - √ (-3)) /2
Las soluciones a la ecuación:
t2 + qt – p3/27 = 0 (6) cuyas raíces son u3 y v3
t = (-q ±√ (q2 + 4p3/27) /2 = (-q ±√D)/2 D = discriminante = q2 + 4p3/27 (7)
Es fácil probarlo, basta resolverla y aplicar las relaciones que unen a u3, v3, p y q
u3 = (-q + √D) /2 (8)
v3 = (-q
- √D) /2 (9)
(Si se suma u3 + v3 obtenemos –q, si se multiplica u3v3 obtenemos –p3/27
Por tanto:
u = [(-q +√D) /2]^ (1/3) (10)
v = [(-q -√D)
/2]^ (1/3) (11)
Pero aquí aparecen raíces extrañas:
Como uv = -p/3 uv debe ser un número racional, sólo aceptaremos 3 respuestas que satisfagan esta última condición. Primero encontramos la solución real y luego factorizamos el resto de la cúbica, por tanteo, y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante, la cual nos dará las dos soluciones adicionales.
Las anteriores ecuaciones (10) y (11), necesitan varios comentarios:
1. Si D>= 0, (positivo o 0), no hay necesidad de utilizar números complejos para obtener los valores de z, ya que z = u + v, y x = z - b/ (3a).
2. Si D < 0 será necesario utilizar
números complejos y también, el teorema De Moivre. No obstante, el resultado
final, será 3 soluciones reales.
3. Si D >=0, obtenemos la x real, como
se ha explicado antes, y con ese valor se factoriza, por tanteo, sumamente
fácil, la ecuación cúbica inicia. Se resuelve esta ecuación y el resultado
final será el valor de las dos soluciones complejas.
4.
Cuando
D>= 0, la solución son una real y dos complejas.
Ejemplo 1
4x3 -12x2 + 5x +6 = 0 a = 4, b = -12, c = 5 y d= 6
El primer cambio de variable es x = z – b/(3a) = z – (-12)/(3*4) = z + 1
La ecuación se reduce a: x3 + px + q = 0 p = -1,75 q = 0,75
El discriminante D = q2 + 4p3/27 = -0,231481481
El resultado será tres soluciones reales.
|
D
discriminante |
q^2 +4p^3/27 |
||
|
D |
-0,231481481 |
<0 |
Si D>0 se pasa la hoja 2 |
|
Modulo D |
0,231481481 |
a |
bi |
|
u3 |
(-q+i√abs(D))/2 |
-0,375 |
0,24056261 |
|
v3 |
(-q-i√abs(D))/2 |
-0,375 |
-0,24056261 |
|
u |
[(-q+i√abs(D))/2]^(1/3) |
0,50001398 |
0,57733816 |
|
v |
[(-q-i√abs(D))/2]^(1/3) |
0,50001398 |
-0,57733816 |
|
z |
1,00002796 |
||
|
x |
2,000027964 |
x = 2
En el siguiente cuadro, aplicamos el teorema de Moivre, para sacar la raíz cúbica de u3 y v3
|
a |
bi |
abs |
teta rad 1* hay que ubicar el cuadrante para poder encontrarlo |
calculo real de teta radianes |
abs^(1/3) |
teta deg |
teta/3 |
|
-0,375 |
0,240 |
0,445528 |
0,570 |
2,571 |
0,763 |
147,319 |
0,857 |
|
-0,375 |
-0,240 |
0,445528 |
2,571 |
2,571 |
0,763 |
147,319 |
0,857 |
|
0,500 |
0,577 |
|
|
|
|
|
|
|
0,500 |
-0,577 |
|
|
|
|
|
|
Nota: Al
determinar el θ de
cada complejo, hay que ubicarlo en el cuadrante respectivo, ya que arcsen nos
entrega un resultado entre –π/2
y π
/2, arccos entre 0 y π
y arctan entre – π
/2 y π
/2. En la hoja de Excel hay que modificar ese cálculo para cada caso en particular.
Siguiendo con el
ejercicio vamos a factorizar la cúbica inicial, ya teniendo un valor real x = 2
4x3
-12x2 + 5x +6 = 0
x3 -3x2
+ (5/4) x +6/4 = 0
(x – 2) (x2………….
Para obtener -3x2,
el próximo término debe ser –x; y para obtener el termino independiente sigue
-3/4
(x – 2) (x2
– x - 3/4) = 0 chequeemos para
x -3/4 +2 = 5/4 la factorización
quedó resuelta. Ahora resolvamos la ecuación x2 – x - ¾ = 0, fórmula
general obtenemos x2 = 3/2 y x3 = -1/2
Nota: Si el
discriminante mencionado antes es menor que 0, el resultado son tres raíces
reales, aunque para descubrirlas hay que utilizar algebra de complejos y el
teorema de Moivre.
Ejercicio 2
x3 –
15x -126 = 0
En este caso ya
nos la entregan en forma reducida.
a =1
b=0
c=-15
d = -126
x = u + v p = -15 y q = -126 (ya nos entregan p y q)
Discriminante D =
q2 + 4p3/27 = (-126)2 + 4(-15)3/27
= 15376 >0 tiene una raiz real y dos complejas.
u3 =
(-q+√(abs(D)))
/2 ABS(D) = valor absoluto de
D, en este caso = D
v3 =
(-q-√(abs(D)))/2
u = 5
v = 1
x = u + v = 6 y con este dato factorizamos la ecuación
original
x3 –
15x -126 = 0
(x – 6)(x2
+6x+21) = 0
x2
+6x+21 = 0
Con esta ecuación
obtenemos las otras raíces:
x = (-6±√(36-4*21))/2
= (-6±√(-48))/2 = (-6±4√(-3))/2
= -3±2√3 i
Se proponen como
ejercicios
x3-15x2-33x+847
= 0 R_ 7, 11, 11
2x3+3x2+3x+1 =
0 R_ -1/2, -1/2 ±√3
i/2
2.Problema de imaginarios
Encontrar z, si :
z2 = i +
z o
z2- i – z = 0 Resolvemos esta ecuación de
segundo grado
z =(1±√(1+4i))/2
Apliquemos el teorema de Moivre a √(1+4i)
Complejo 1 + 4i Módulo = √17 θ = arctan(4/1) = 75,963757 deg
(1+4i) =(√17)) (cos75,963757 +i sen75,963757)
√(1+4i) =(√17^(1/2)) (cos(75,963757 + 2πk/2) +i sen (75,963757 + 2πk/2)
1,60048429 + 1,24962064 i
z
= 1 ± (1,60048429
+ 1,24962064 i)
z = 2,60048429 + 1,24962064 i
z
= -0,60048429 - 1,24962064 i
3.Cardano
y los números imaginarios.
Gerolamo Cardano
Matemático y Médico (1501
Pavía, ducado de Milán, 1576 Roma, actual Italia)
Cardano nació el 24
de septiembre de 1501 en Pavía, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de
septiembre de 1576. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Su
padre matemático, lo que hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de
Geometría. Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia.
Cardano comenzó como
asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Cardano ingresó a la
Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en
la Universidad de Padua por la guerra. Cardano se graduó de médico en 1525.
Una vez acabados sus
estudios ejerció la medicina en Milán, pero debido a su mala reputación fue
rechazado continuamente por el colegio de médicos.
Buscando un cambio en
su suerte, se mudó a Milán, pero te fue peor y entró en la pobreza. En 1539,
Cardano publicó sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La práctica de
Aritmética y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolífica carrera
literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, y Matemáticas.
En ese año Cardano conociò
a Tartaglia, que se había hecho famoso por ganar un duelo matemático, al
resolver ecuaciones de tercer grado, y trató de que te explicara el método.
Tartaglia aceptó, con la promesa bajo juramento de Cardano, de que no iba a
publicarlo hasta que el mismo Tartaglia lo publicara. Durante los siguientes 6
años Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado sin ningún
resultado En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En esta obra da
los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hoy día
sabemos que los resultados publicados y muchas de las ideas contenidos no eran
suyos.
Su Ars Magna sin
embargo tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. Para resolver
cúbicas se requiere de conocimiento de números complejos, que, hasta la fecha,
nadie los había mencionado. No sólo esto, se requería conocer el teorema de
Moivre, quien nació varios siglos después, lo cual indica que Cardano y
Tartalglia, intuitivamente descubrieron los números imaginarios y complejos
Aunque, en varias
ocasiones, Cardano había sido profesor de matemáticas de las universidades de
Milán, Pavia y Bolonia, teniendo que dimitir de todas ellas por algún
escándalo. Al regresar de Escocia era un importante profesor de Medicina en la
Universidad de Pavia y con muchos pacientes adinerados, se transformó en un
hombre rico y afortunado.
También publicó Liber
de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre teoría de probabilidades;
el 20 de septiembre de 1576, se suicidó en Roma.
Juan Fernando
Sanin E
Medellín Colombia
