Medellín agosto 2020
Perdidas de tensión, en el tensado de
vigas.
El primer elemento de pérdida de tensión es el efecto
del encogimiento del concreto, durante el proceso de fraguado. Una vez tensado
el cable, y fundido el concreto, la luz de la viga comienza a disminuir, por
efecto del fraguado, fenómeno denominado retracción. Se estima que el
acortamiento de la luz varía entre 0,4 y 1 mm por metro, εs entre 0,0004 y 0,001. (datos de cementos Argos)
El módulo de Young del acero es 2000000 kg/cm2; (29000
ksi)
Al tener el concreto una deformación unitaria εs=0,004, la contracción del cable tensado, imbuido en el concreto será
igual, lo que implica una pérdida de esfuerzo de 0,0004x29000000 psi=11600 psi
En el ejemplo del blog 2 Vigas pretensadas 2
Pi = 279 kips =279000 lb
En dos cables de5 torones de ½” , siendo el área de un
torón de ½” =0,153 pulg2.
Cada cable se
tensa con Pi/2 = 139500 lb y tiene un área de 5x0,153= 0,765 pulg2
El esfuerzo inicial del cable es 139500/0,765=182353
lb/pul2
Por efecto de la retracción el cable perdería 11600
lb/pulg2 (1)
Pérdidas por
fricción.
Las pérdidas por fricción se dividen en 2: 1º. Por
fricción de rozamiento y 2º. Por curvatura del cable.
La pérdida en tensión por fricción y curvatura viene
dada por la fórmula:
∆f=Pi –Pi e^(-(Kx+µα) donde
Pi es la carga de tensión que se aplica a cada cable
(en este caso 139500 lb)
e es la base de los logaritmos naturales (no
confundirlo con la excentricidad, que también la habíamos llamado e
K es un coeficiente lineal en unidades 1/long, en este
caso suponemos que es 0,00122 /pie
µ es un coeficiente adimensional para la fricción por
curvatura; µ = 0,25
α es la diferencia o la suma del ángulo
correspondiente a la pendiente de la parábola en x=0 y en un x cualquiera.
Como se ve en la gráfica para x<L/2 ; α=(αo – αx) y
si x>L/2, α=( αo + αx), donde ; αo es el ángulo de la pendiente en x=0 y αx,
en la abscisa x. (Ángulo en radianes)
La curva dela vaina o del cable según el caso.
Escogemos un sistema xy, como se indica en la figura 1
Fig 1
El eje x comienza en el centroide de los cables en el
origen y tiene dirección positiva hacia la derecha. El eje y tiene dirección
positiva hacia abajo.
La ecuación de la parábola es y= Ax^2+Bx+C
x=0, y= 0, por tanto, C=0
En x=L/2, la y = 9,07 pulg (se puede ver en la figura
1 del blog anterior.) = 0,7558 pie
0,7558 pie=A (20^2) +Bx10 = 400A+10B
(1-a)
En x=L
0=A (40^2) +40B = 1600A+40B
(1-b)
Resolviendo (1-a) y (1-b)
y = -0,00189x^2+0,07558x (1-1) ecuación de la parábola. (x e y en pies)
Su derivada
y’ = -0,00378x+0,07558 (1-2)
Ecuación de la pendiente m en x
Veamos las pérdidas en L/4
y=0,5668 pie
y’=0,03778
nos permite encontrar αx= arctang0,03778 = 2,1636 deg
*Recordemos
que para ángulos menores de 5 deg, el ángulo en radianes, el seno del ángulo y
la tangente del ángulo son prácticamente iguales, por lo tanto: αx=0,03778 rad
Kx+µα =0,00122x10+0,25α
La pendiente de la curva en L/4 m=-0,00378x10+0,07558 =0,03778 rad
m en x=0 = 0,07558 y por tango: αo = 0,07558 rad
Entonces
α= αo – αx = 0,07558
-0,03778=0,0378
La expresión
Kx+µα =0,00122x10+0,25α = Kx+µα =0,00122x10+0,25x0,0378 =0,02165
e^ (-0,02165) = 0,9785
Por, tanto Pe = 0,9785 Pi las pérdidas son(1 – 0,9785)Pi = 0,021Pi= 0,021x139500 lb 2930 lb
Cómo se puede ver, las pérdidas dependen de x. La
máxima pérdida o pérdida total ocurre en x=L
m = -0,00378x40+0,07558 =-0,07558 rad, pero se mide en
sentido contrario a las manecillas del reloj
α= αo + αl =0,07558-0,07558=0
La expresión Kx+µα = kL =0,00122x40=0,0408
e^ (-0,0408) = 0.96
∆Pi= 139500(1-0,96) =0,4x139500
= 5580 lb
∆f=5580
lb/0,765 pul2 =7294 lb/pulg2
(2)
Las pérdidas de tensión por cable son (1) + (2) 11600+7294=18894 lb/pulg^2
182353 – 18894 = 163459 lb/pulg2 (182353 psi era la tensión producida por 139500
lb
En porcentaje
163459/182353 = 0,896
Por consiguiente, Pe= 0,896 Pi; por tanto 0,896x139500=124992 lb
La fuerza se redujo de 139500 a 124992 lb por las
pérdidas por retracción y fricción.
Perdidas 10,4%
Juan Fernando Sanín E
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