Función Gamma de Euler II

Medellín, junio 2020

Función Gamma de z     Γ(z)

Relación entre Γ(n) y n!   Para todo n entero positivo >0

Como la función Γ(z) de la ecuación (1) está definida para todo z>0,

y dentro de estos, se encuentra el subconjunto (1, 2, 3, 4,……….n…)

Se cumple que para los n mencionados

Γ(n)=n Γ (n-1), que es la propiedad iterativa de la función Γ(z)

Si ahora aplicamos la expresión iterativa de Γ(z), para       

z= n+1,

Γ(n+1)=n(Γ(n)) = n(n-1) Γ(n-1))=n(n-1)(n-2) Γ(n -2)

Y así hasta:

Γ(n+1)=n(n-1)(n-2) …2Γ(2)= n(n-1)(n-2)…2x1

Concluimos que:

Γ(n+1)=n!                                                                                     (4)

Gráfico de la función

Si quisiéramos hacer el gráfico de Γ(z), el método tradicional de construir gráficas: “encontrar dominio, rango, interceptos, puntos críticos etc”. sería muy complicado. Incluso para la función Gamma incompleta definida por la ecuación (1, de la cual conocemos su derivada, encontrar interceptos y puntos críticos sería muy difícil.

Lo que vamos a hacer es una gráfica por medio de puntos, lo cual nos daría una idea de cómo se gráfica la función Γ(z)

En las tablas 1 y 2 hemos encontrado valores de Γ(z) para diferentes valores de z.

Como ya conocemos Γ(1/2)=√π, podemos aplicar la relación iterativa de Γ(z) = (z-1)Γ(z-1) para encontrar Γ(3/2), Γ(5/2), Γ(7/2) Γ(-1/2), Γ(-3/2 y Γ (-5/2).

Igualmente utilizamos la integración aproximada, ya sea con calculadora o con derive, para hallar Γ(0,001) y Γ(0,999), con la fórmula (1), y con esto, y la propiedad iterativa, hallaremos Γ(-0,001), Γ(-0,999), Γ(-1,001), Γ(-1,999),

Γ (-2,001) y Γ 2,999)

z	Γ (z)
0	∞
0,5	1,77245
1	1
1,5	0,8863
2	1
2,5	1,3293
3,	2
3,5	3,3233
4	6
5	24
6	120

Tabla 1

Recordar        Γ(1/2)=√π              Γ(z+1)=z Γ(z)       Γ(z)=(n-1)!

Un problema adicional es que la definición de Γ(z) definido por la ecuación (1) sólo es válida para z>0

Hay definiciones alternativas, que tratan de extender el dominio de Γ(z) a los reales negativos.

Una definición alternativa, cuyo dominio también incluye algunos z<0

Es la siguiente:

z	Γ(z)
0,999	1,0006
0,5	1,77245
0,001	14,85
-0,001	-1000
-0,5	-3,545
-0,999	-14,66
-1,001	999
-1,5	2,36
-1,999	7,42
-2,001	-497
-2,5	-0,994
-2,999	-2,47

Tabla 2

Los hemos calculado así:

Γ (0,5) = √π      calculado en forma exacta

Γ (0,001) y Γ (0,999) por integración aproximada entre 0 y 24

Luego aplicamos la fórmula funcional Γ(z+1) =z Γ(z), de la siguiente forma

Γ (z) = Γ(z+1) /z

Ejemplo calculemos Γ (-0,5)

Γ (-0,5) = Γ (-0,5+1) / (-0,5) = Γ (0,5) / (-0,5) =1,77245/ (-0,5) =-3,545

Con las duplas (z, Γ(z)), sacadas de las tablas 1 y 2 y ayudándonos de Excel, nos formamos una idea de cómo es la gráfica de Γ(z).

Dominio de Γ(z)         Reales, excepto los enteros negativos y el 0.

Gráfica de función Γ(z)

Se puede observar que los valores de las tablas 1 y 2 corresponden en valor y signo con los de la gráfica copiada de un texto de cálculo avanzado.

Γ (1/3) se encuentra por integración aproximada, para valores de n=1000.

No obstante, la integral (1), para z=1/3 y menores es algo imprecisa, por lo que mejor la calculamos para 4/3, utilizando límites entre 0 y 120, cuyo resultado es Γ (4/3)=0,892979

Γ (4/3) = (1/3) Γ (1/3)

Por tanto             Γ (1/3)=0,892979x3=2,67893

Ejercicios

No1

Juan Fernando Sanin Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com