función de Lambert 1

Medellín, julio 2020

La función W de Lambert y ecuaciones con exponentes variables.

y=f(x)=xe^x

La función W de Lambert es la inversa de la función xe^x

No obstante, para que xe^x tenga inversa, se requiere que sea una función 1 a 1. Como se ve en la gráfica (cuyo trazado discutiremos más adelante), la función xe^x no es inyectiva (uno a uno). En su dominio, que son todos los números Reales, hay un mínimo relativo en (-1,-1/e) y realmente la función tiene dos ramas; la primera, desde -∞, hasta x=-1, es decreciente y entre -1 y + ∞ es creciente. 

Más adelante, cuando hagamos un proceso para dibujar la gráfica de xe^x, veremos que el mínimo relativo (que en este caso será también mínimo absoluto) ocurre en el punto (-1,-1/e); estrictamente, la función no tiene inversa en su dominio, pero si limitamos el dominio de la función a (-1/e, ∞), la rama creciente, si podemos obtener una inversa que llamaremos Wo, o W, y esa es la función de Lambert.

Igualmente, si limitamos el dominio de f a (-∞, -1), también tendríamos una función inversa que llamaremos W_-1

A título informativo presentamos la gráfica de la función f(x)=xe^x

Fig 1

f(x)=xe^x                                          (1)

y=f(x)=xe^x

Supongamos que f(x) tenga inversa, la cual llamaremos W:

W(y)=f^-1(y)=x

W(xe^x) = x                                      (2)

La inversa de f(x) es f^-1(x)=W(x); no es posible hallarla por medio de despejar la x en términos de y, y luego intercambiar las x e y. Más aun, hoy no se sabe cuál es la fórmula de W(x).

De acuerdo con lo dicho en la introducción, W(x) existe (Wo(x)) y veamos su aplicación:

Resolver la ecuación:

x^x=5

Saquemos ln a ambos lados de la ecuación.

Ln(x^x) =ln5;                                                     (ln5=1,609438)

Cambiamos la x del exponente por e^lnx

Ln(x^(e^lnx) )= ln5

Por propiedades de los logaritmos

(e^lnx) Lnx= ln5                                                      (3)

Si pensamos que u=lnx, la ecuación (3) quedará así:

ue^u = ln5                                  Vemos que la expresión se vuelve igual a la (1)

Por tanto, W(ue^u)=W(ln5) y de acuerdo con la ecuación (2)

W(ue^e^u)=u=lnx=W(ln5); y

x=e^(W(ln5))

y la ecuación quedó resuelta.

El problema es que no sabemos cuánto vale W(ln5) y antes de la entrada de los computadores, los softwares de matemáticas y las calculadoras programables, era muy difícil evaluar W(ln5). Hoy no es así; por tablas, o por programas de computador o por calculadoras programables, es sencillo encontrar W(ln5)

Voy a mi calculadora programable y encuentro      W(ln5) =0,755827

x=e^0,755827 =2,129372

Y chequeamos la ecuación original, a ver si el valor encontrado de x es correcto.

2,129372 ^2,129372=4,9999957 aprox = 5 y vemos que la solución es correcta.

La inversa de la función xe^x, en dominio (-1, ∞), es la función de Lamber =W y esta función W de Lambert, cuya principal propiedad es que W(xe^x)=x, es útil para resolver ecuaciones con exponenciales variables, como el ejemplo anterior.

Otro ejemplo. Resolvamos la ecuación:

xe^(x/2) = 3

Dividamos por 2 ambos lados de la ecuación.

(x/2)e^(x/2)=3/2

Como en el ejercicio anterior

W((x/2)e^(x/2) )= x/2 = W(3/2)

Voy a mi calculadora y busco el valor de W(3/2) =

W(3/2)=0,725861=x/2

x=1,451722

Chequeemos la solución:

1,451722 e^0,725861=2,999907≈3 , que es la ecuación propuesta.

Para terminar, en el próximo blog, dibujaremos la función xe^x y las ramas W-1 y Wo y enseñaremos a calcular W(a) para cualquier valor. Igualmente, dibujaremos la función          f ^-1(x), porque para determinar el valor W(k), vamos a la gráfica de Wo y escogemos un valor cercano, ya que el método para hallar W(k) se utiliza un proceso iterativo.

Juan Fernando Sanín E