Jardín, julio 2025

 

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1º Problema de geometría del espacio – 2º Problema de circunferencias 3º Problema de trigonometría

 

1.    Problema de geometría del espacio.

 Sean dos planos P y Q perpendiculares y dos cuadrados de lado igual a 8, que se intersecan en la línea común a los dos planos.

Solución:

 

Trazamos la recta RF y obtenemos M, punto medio de RF. Luego unimos a M y a N.

Por R, en el plano P, trazamos la recta perpendicular RT, por T trazamos la recta TF.

En el plano del triángulo RTF, trazamos la recta MH, paralela a RT. Por ser MH paralela RT también es perpendicular al plano Q y a la recta TF.

H igualmente, es el punto medio de TF

Por triángulos semejantes RTF y MHF, concluimos que MH es igual a 4 u.

Ahora analizamos el trapecio DTFE. (DT = 4 u y EF = 8), la recta MH, que es la línea recta que une los puntos medios de los lados no paralelos será igual a:

(4 + 8) /2 = 6

Figura 1 Solución del problema de geometría del espacio

Aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo MHN, (Al ser MH Perpendicular al plano Q, también es perpendicular a todas las rectas contenidas en este plano Q, incluida NH)

MN² = NH² + HM² = 6² + 4² = 52   MN = √ (52) = 2√ (13) u

2.    Sean las circunferencias C1 y C2, de radios R y r arbitrarios, las cuales se intersecan en los puntos C y D. Trazamos una recta arbitraria ACF que corte las circunferencias C1 y C2 y otra BDF, que corte también, las circunferencias C1 y C2.

 Demostrar que la recta AB, cuerda de C1 es paralela a la recta EF, de C1

Figura 2 Circunferencias que se intersecan

Solución

Trazamos la recta CD

Por las leyes de los ángulos inscritos      < ABD = <x =arco ACD /2

 

<ACD = arco ABD /2 = <180 – x

Ver figura (3)

 

Figura (3)

Ahora, en la circunferencia C1, <DCE es suplementario del <ACD de C2, y por tanto, vale < x

Aplicando lo mismo en la circunferencia C1

<x = <DCE = arco DFE/2       y        <DFE = arco DCE = <180 – x

El ángulo <EFR es suplementario del <EFD y por tanto, <EFR = <x

Si observamos las rectas AB y EF, tienen dos ángulos correspondientes iguales.

 

<ABD = <EFR, lo cual implica que las rectas AB y EF son paralelas.

 

3.Problema de trigonometría

 Hallar la suma de sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) .. .+sen²(45) + sen²(46)+....     sen²(89) + sen² (90)                 (1)

Ángulos en grados (deg)    

Solución:

Escribamos la suma S así:

S = sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) +                          +sen²(45) +

      sen²(46) + sen²(47) + sen²(48)             + sen²(88) + sen²(89) + sen²(90)     

Recordemos que sen(x) = cos (90 - x)   y reemplacemos en la (2)

S = sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) +                         sen²(44) +sen²(45) +

      cos²(44) + cos²(43) + cos²(42) +           cos²(2) +cos²(1) + sen²(90)

Recordando que sen²(x) + cos²(x) = 1

Organizando:

S = sen²(1) + cos²(1) + sen²(2) + cos²(2) +   + sen²(43) +cos²(43) + sen²(44) + cos²(44) + sen ²(45) + sen²(90)

S = 44*1 + sen ²(45 )+ sen²(90) = 44 + ½ + 1 = 45 + ½ = 91/2

 

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com