viernes, 29 de abril de 2016




 1.    Límite de una función escalar z=f(x,y)

Sea Q(xo,yo) un punto de R2, no necesariamente en el dominio de f

En una bola abierta con centro en Q (En este caso una circunferencia, tal como se muestra en la figura 1), tomamos un punto Q1(x,y) en el dominio de f, y en las cercanías de Q(x,y)=(xo+h,yo+k)


Si al acercarnos con el punto Q1 al punto Q, todo lo que queramos, pero sin llegar a que coincidan, el valor de f(x,y) siempre es cercano a un valor real L, entonces decimos que:
Lim f(x,y) = L
(x,y)→(xo,yo)

2. Continuidad de la función z=f(x,y)

Decimos que la función f(x, y) es continua en el punto Q(xo,yo) si se dan las siguientes tres condiciones:
i)              Lim f(x,y)              Existe
                     (x,y)→(xo,yo)
ii)             f(xo,yo) = L
iii)            Lim f(x,y) = f(xo,yo) = L
                     (x,y)→(xo,yo)

Ejemplos

1.Calcular lim (x+2y)
                   (x,y)→(1,2)

Basta reemplazar la x por 1 y la y por 2 y el resultado del límite es  lim (x+2y)=5
                                                                                                           (x,y)→(1,2)
2.Calcular lim (cosx+1/y) cuando (x,y) → (0,0)

Al reemplazar encontramos lo siguiente cos0 + 1/0
Como 1/y cuando y→0 no existe, entonces el límite no existe.
En el ejemplo 1 se concluye además, que la función es continua en (1,2)
Mientras que en el ejemplo 2 se concluye que la función es discontinua en (0,0)

      3. Límite de la función escalar z=f(x1, x2,……….xn)

Se trata de una función de Rn en R, en la cual, a cada vector x=(x1, x2,…,xn) le corresponde un valor único z real en R.

Aquí ya no es posible hacer un gráfico del problema.

Tomemos un punto Q(xo1,xo2,….,xon), no necesariamente en el dominio de f, este punto es el vector xo

Ahora tomamos otro punto Q1, este si en el dominio de f y en las cercanías de Q.

x=(x1,x2,…..,xn) = (xo1+h1, xo2+h2,…..,xon+hn)

Ahora bien, acercamos el vector x al vector xo, lo cual se logra haciendo que las componentes del vector h = (h1, h2, ….,hn) se hagan tan pequeñas como queramos, pero no 0.

Es decir, arrimamos el punto Q1 hasta el punto Q todo lo que queramos, pero sin hacerlos coincidir.

Si al hacer esto, el valor de la función f(x1,x2,….,xn) toma valores cercanos a L y más cercanos mientras mas acerquemos Q1 a Q, decimos de manera intuitiva que:

Lim f(x1. x2, …,xn) = L
         xxo

4. Continuidad dela función escalar   z=f(x1, x2,……….xn)

Para que una función f(x1,x2, …..,xn) sea continua en punto (xo1,xo2,      ,xon) se requiere que se cumplan tres condiciones:

i)lim f(x1,x2,….,xn) Existe
         xxo
ii)f(xo1, xo2,….,xon) = L
iii)lim f(x1,x2,….,xn) =f(xo1, xo2,….,xon)
           xxo

Ejemplo

Calcular el límite de la función f(x, y, z) =x2+y+cosz, cuando (x, y, z) →(1, 2, 0)

Basta reemplazar

Lim x2+y+cosz = 12+2+cos0=4
(x, y, z) →(1, 2, 0)

En este caso también podemos concluir que la función es continua en (1, 2, 0)

     5. Funciones vectoriales

Una función vectorial generalizada es una función que toma un vector x en Rn y lo convierte en otro vector f(x) en en Rm

f:Rn→Rm
xf(x)

x=(x1, x2,….,xn)
f(x) = (f1(x), f2(x),      , fm(x))

La función vectorial f es un vector cuyas componentes son (f1, f2,….,fm)

Para que la función vectorial f sea continua es necesario que todas sus funciones componentes lo sean.

Igualmente, si el dominio de f1 es D1, el de f2 es D2, y el de fm es Dm
El dominio de la función vectorial f será la intersección de todos los dominios D1ПD2П……..ПDm

Para que la función vectorial sea derivable en un vector xo, es necesario que todas las funciones f1, f2,…fm lo sean y tengan todas las derivadas parciales posibles.

Construyamos una matrix en la que las filas correspondan a las funciones fi y las columnas a las componentes xi del vector


Ejemplo

Calcular el límite de la siguiente función vectorial:

Lim (sen(πt/2) /t,( t2-1)/(1-t), e-1/abs(t-1))
t→1
Lim (sen(πt/2) /t,-(t+1)(t-1)/(t-1), e-1/abs(t-1))
t→1
=(1, -2, 0)

Ejemplo

Calcular el límite de la siguiente función vectorial:

Lim (xarctang xy, ln x/y, (x2-2xy+y2)/(x2y-y2))
rro
ro=(1, 1)
Lim (xarctang xy, ln x/y, (x2-2xy+y2)/(x2y-y3))
rro
Lim (xarctang xy, ln x/y, (x-y)2/(y(x+y)(x-y))
rro

Reemplazando obtenemos

=(π/4, 0, 0)

Ejemplo

Dada la siguiente función vectorial

F(x,y,z) =( exyz, xyln(xyz), tan-1x2y2z2)

Encontrar la matriz Jacobiana.

En ro=(1,1,1), encontrar el incremento df si dr=(0,01,0,01,0,01)

Para encontrar la matriz Jacobiana debemos encontrar una matriz en que las filas son las derivadas parciales de f1, f2 y f3 respecto de x, y y z.


Ejemplo

V(xy, yz, xz) es una función vectorial que representa el flujo de un líquido.
v│ en m/seg
Calcular la rapidez de crecimiento del flujo en el punto (4,2,2)
En la dirección de un vector espacial que forma un ángulo de 60o con el eje x y 45o con el eje y.

Primero encontremos el vector anterior.

u=(u1, u2, u3) unitario, forma un ángulo de 60º con el eje x y de 45º con el eje y.
u.i =│u│. │i│. cos 60o = u1            Siendo u e i unitarios, la componente u1= ½
u.j = │u│j│. cos 45º = u2 , por tanto        u2=√2/2
ui2+u22+u32 = 1       Por tanto u3= ½

El vector u unitario para la derivada direccional es u = (1/2, √2/2, 1/2)

El próximo paso es encontrar la matriz Jacoviana de V 





miércoles, 23 de marzo de 2016

Medellín, Marzo de 2016

Construir un triángulo conociendo las alturas.

En el blog anterior se abordó este problema.La dama Teresa Hernandez ha sugerido un método diferente, el cual considera mas sencillo que el que yo plantee anteriormente. Como el método sugerido es realmente sencillo y bonito, lo voy a anexar en el blog.

Suponemos el problema resuelto, triángulo  (1) ABC, en el cual trazamos las alturas ha, hb y hc, que son los datos conocidos y vemos que se cumple la siguiente relación:




ΔABE es semejante al triángulo ΔACF, ya que son triángulos rectángulos y tienen igual los ángulos agudos, por la perpendicularidad de sus lados.

c/hb=b/hc

c/b= hb/hc    (1)

De igual manera

c/a=ha/hc    (2)

a/b=hb/ha    (3)

Ahora construimos el triángulo (2), cuyos lados son las alturas ha, hb y hc que son conocidas.
En el triángulo (2) trazamos las tres alturas que llamaremos xa, xb y xc  (evidentemente también se conocen estas tres alturas del triángulo 2)

Con el mismo razonamiento del triángulo (1)

hb/ha= xa/xb   (4)

ha/hc= xc/xa    (5)

hb/hc= xc/xb    (6)

Uniendo las ecuaciones (1) al (6)

a/xa=b/xb=c/xc

Lo anterior nos dice que si construimos un tercer triángulo de lados xa, xb y xc, A"B"C" será semejante al triángulo ABC y los lados homólogos serán a y xa, b y xb y c y xc.

La construcción del triángulo ABC se obtiene por medio de su triángulo semejante A"B"C", cuyos lados son xa, xb y xc.

Hacemos coincidir los vértices C" y C y la recta B"C" es parte de la base BC del triángulo ABC.
Por C (C") trazamos la altura del triángulo (3), la cual cae en en el punto R. Prolongamos esta recta CR  hasta que un punto F,  tal que CF = hc.

Por F trazamos la perpendicular a la altura CF y así llegamos a los puntos B y A.
Nuestro triángulo ABC quedó construido y sus alturas son ha, hb y hc.


Juan Fernando Sanin E