Matemáticas en las espirales de carreteras

Medellín, Septiembre de 2012

Elementos matemáticos de las curvas de carretera espiralizadas

Tal como se había mencionado en el blog anterior, en esta entrada vamos a realizar las demostraciones matemáticas y geométricas, relacionadas con las fórmulas que se utilizaron en el desarrollo del tema de las curvas de carreteras espiralizadas.

1.    θ en términos de L y ecuaciones paramétricas de la clotoide, en términos del parámetro θ

En primer lugar consideremos la figura 1

Sea el punto P(x, y), sobre la clotoide. En este punto la clotoide ha avanzado una longitud L, el radio de curvatura es R y el ángulo que hace este radio de curvatura con la perpendicular a la tangente en TE (eje y) es θ.

Sabemos que las variables L y r, están relacionadas por la fórmula  LR = A²

Donde A es la constante de la clotoide.

Además sabemos del cálculo  que dθ = dL/R       (1)  y que

Si L = A²/R    dL =( -A²/R²) dR                                    (2)

dθ= =( -A²/R³) dR                                                        (3)   integrar obtenemos:

θ= A²/2R²                                                                   (4), cuando  θ1 tiende a 0, h tiende a infinito, y si   θ = θ, entonces R = R                                                                                         

Debemos integrar entre los siguientes límites, así:

θ = θ1, cuando R = h

θ = θ,   cuando R= R

Luego llevamos la expresión (4) al límite,  cuando h tiende a infinito y obtenemos el valor de θ

θ = A²/(2R²)                                                                        (5)

θ = A²/(2(A²/L)^2) = L²/2A²                                             (6)

Vamos a calcular las coordenadas (x, y) del Punto P

Volvemos a la figura 1, especialmente al detalle que está a la derecha.

Figura 1

Recordemos la expansión de las funciones sen y cos en series de potencias.

cosθ = 1 – θ²/2! + θ⁴/4! –θ⁶/6!+..............                   (-1)ⁿ θ²ⁿ/(2n)! +…

senθ = θ – θ³/3! + θ⁵/5! -...............                             (-1)ⁿ θ^(2n+1)/(2n+1)!+….

θ en radianes. Estas series son convergentes para todo θ

dx= cosθ dL                                                              (7)

dy = senθ dL                                                            (8)

dx= cosθ dL= (1 – θ²/2! + θ⁴/4! –θ⁶/6!+..)dL         (9)

Cambiamos θ por L²/2A²      (fórmula 6)

dx= ( 1 – L⁴/8A⁴ + L⁸/(24x16A⁸)+   )dL

x=(L – L⁵/40A⁴ + L⁹/9x384A⁸ -       ), 

x = L( 1 – (L²/2A²)^2/10 + (L²/2A²)^4/216 -..  

Como θ = (L²/2A²)^2

x = L( 1 – θ²/10 + θ⁴/216 -.....   )                           (10)

De igual forma hallamos el valor de la coordenada y

y= L(θ/3 – θ³/42 + θ⁵/1320+…)                            (11)

Como las  series infinitas para sen y cos son convergentes para todo θ, pero convergen más rápidamente para valores de θ pequeños < 1radian, la experiencia ha mostrado que las fórmulas (10) y (11) requieren pocos términos para obtener muy buenas aproximaciones en el caso de las clotoides en las carreteras.

La fórmula (10) se debe trabajar con 3 términos, mientras que la (11) es suficiente con 2 términos.

1.    Determinación de k y p

k es la distancia, sobre la tangente, entre él TE y el PC (De la curva circular, en el caso de que no se hubiera hecho la transición espiralizada) y p es el disloque, es decir la distancia perpendicular a la tangente entre el PC y el PC’, siendo el PC’ otro punto ficticio, en la prolongación de la curva circular dislocada. Ver figura 2.

En la gráfica 2, analicemos el triángulo rectángulo sombreado en verde. El ángulo θe, es el ángulo total de la espiral, el que hace el radio de curvatura con el eje y (de la figura 2), que por correspondiente es también el ángulo que hace el Radio con la prolongación de la recta PC – PC’  (Por la propiedad de los ángulos correspondientes).

Figura 2

senθe=(Xc – k)/Rc                                                                                (12)

Despejamos k y obtenemos   k = xc – Rc senθe                            (13)

cos θe = (Rc + p – yc)/Rc                                                                    (14)

Despejamos p   y obtenemos     p = yc – Rc(1 – cosθe)               (15)

1.    Cálculo de la tangente máxima y de la externa.

Lo único que nos queda faltando para tener la curva espiralizada completa, es averiguar el valor de la externa Ext y la Tangente larga Te = TE - PI

Veamos la figura 3

∆ es el ángulo que hacen las tangentes (ángulo de deflexión), ∆c es el ángulo al centro de la curva circular de la curva espiralizada.

Te la tangente máxima de la curva espiralizada

Ext es la externa de la curva espiralizada.

Figura 3

Te = k + PC-PI

Te = k + (Rc + p)tan(∆/2)                                      (16)

Además:

Cos(∆/2) = (Rc + p)/Rc + Ext)

Ext = (Rc + p)/cos(∆/2) – Rc                                  (17)

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

CURVAS EN CARRETERAS UTILIZANDO ESPIRALES

Agosto 23 de 2012

CURVAS DE CARRETERAS: ESPIRAL – CIRCULAR - ESPIRAL

(Aplicación de la espiral de Euler)

Los ferrocarriles existieron mucho antes que los automóviles y por tanto, los rieles fueron primero que las carreteras modernas. (Antes existían caminos empedrados para diligencias y coches, que también requerían algo de ingeniería).

Las curvas circulares en los ferrocarriles, muy probablemente fueron las primeras que se ensayaron. Pronto, se dieron cuenta los ingenieros, de que las curvas circulares, no sólo hacían vibrar mucho el ferrocarril, sino que era la causa de muchos descarrilamientos. Desde esa época, existen las curvas espirales de transición para dar un peralte en forma progresiva y suave.

La curva de transición usada más frecuentemente para dar la transición en el peralte es la clotoide de Euler, cuya fórmula es:

A² = RL

Donde A es una constante, R es el radio de curvatura de un punto cualquiera (x, y)

y L es la longitud de la curva, medida desde el origen de coordenadas (0, 0), en donde se supone que para L= 0  el radio es infinito.

La constante A se denomina parámetro de la espiral y permite hallar el radio de la curva en un punto cualquiera de esta con la expresión:

R = A²/L

Por ejemplo en una curva espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la longitud  final L = Le = 40, el valor de A² es 3600 se tienen los siguientes valores de R a lo largo de la curva:

Figura 1  Valores de L y R para A = 3600

En el caso de la clotoide, los centros de curvatura de los radios, no coinciden en un punto o una recta, sino que describen una curva, llamada la evoluta de la clotoide.

Figura 2, Evoluta de la clotoide.

Lugar geométrico de los centros de curvatura de la clotoide de Euler.

Para un valor L (medido desde 0, 0 ), el ángulo θ, que hacen el radio infinito Ro y el radio en el punto (x, y) viene dado por la fórmula:

θ =l²/2A²                (1)

(Lo demostraremos en el siguiente blog)

El ángulo θe, total de la espiral, será por consiguiente:

θe= le²/2A² =le²/2leRc = le/2Rc.....      θe = El ángulo de la espiral en radianes

Las coordenadas, medidas desde el inicio de la clotoide (0,0), eje x sobre la tangente que va al PI y eje y la dirección de Ro, perpendicular a la tangente, vienen dadas por las fórmulas:

x=l(1 – θ²/10 + θ⁴/216 – θ⁶/9360 +...)      (2) 

l es la longitud de la espiral hasta el punto P(x, y)

y=l(θ/3 – θ³/42 + θ⁵/1320 -…)                  (3)

La demostración la haremos en el siguiente blog

Las coordenadas del punto donde termina la espiral y comienza la curva circular (xc, yc), se obtienen:

xc=l(1 – θe²/10 + θe⁴/216 – θe⁶/9360 +...)   (4)

yc=l(θe/3 – θe³/42 + θe⁵/1320 -…)               (5)

Basta con los dos primeros sumandos para obtener una buena aproximación.

Utilizaremos la siguiente notación sobre los puntos principales:

De las curvas circulares rescatamos los conceptos de:

PI  punto donde se encuentran las tangente

∆ Deflexión, derecha o izquierda que hacen las rectas tangentes en el PI

PC punto donde comenzaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.

PT punto donde terminaría la curva circular, en caso de no utilizar espirales.

El PC y PT no aparecen en la curva espiral – circular – espiral, pero son referentes importantes y absolutamente necesarios para determinar:

TE  punto donde inicia la espiral de entrada

EC punto donde inicia la curva circular.

CT punto donde inicia la espiral de salida.

ET punto donde vuelve la carretera a estar en tangente.

El disloque p es la distancia en la dirección perpendicular a la tangente entre el PC teórico y  el PC' que se obtendría al prolongar la curva circular, que realmente se construirá. Es la distancia entre las dos circunferencias. En el próximo blog se explicará mejor.

p = yc –Rc(1 – cosθe)                (6)

De hecho, si p es muy pequeño, es posible que no tenga mucho sentido hacer la curva espiral y bastaría con conocer el valor de Le, y ubicar el punto de inicio de la transición del peralte, antes del PC, que se encontraría con el valor de k, medido desde el PC (teórico de la curva circular)

Para ubicar él TE, ubicamos el PC y nos vamos hacia atrás una distancia k, calculada con la expresión:

k= xc – Rc sen θe                   (7)

En el próximo blog veremos cómo se deducen las fórmulas (6) y (7)

De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales de transición. El valor límite del disloque fue inicialmente 0.30 m y luego  0.09 m, por debajo de estos valores se recomienda no usar transiciones; los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.

Cómo se trabaja en la práctica una curva espiral – circular – espiral?

Los datos son:

∆ Ángulo de deflexión de las tangentes.

Vd : velocidad de diseño

Hay que escoger una Le para la clotoide. Hay fórmulas y recomendaciones par le, de acuerdo con la velocidad de diseño.

Le> = Vd/1,8      Vd km/h y  le en m     AASHTO                    (8)

Otras fórmulas

Le>= V/1,8(V²/Rc – 127e)   Smirnoff                                         (9)

e= peralte máximo

Le>=V³/46,66CR     Shortt                                                         (10)

        

C factor de comodidad entre 0,3 y 0,9,  Preferiblemente C=0,6)                                                            

Le>= V³/28Rc         Barneett                                                         (11)

Es bueno escoger un valor redondo, múltiplo de 10 para le

Las abscisas de los puntos de la curva espiral circular espiral  se pueden obtener así:

TE = PC – k

EC = TE + Le

CE = CE + Lc ,…………………….Lc es la longitud de la curva circular.

ET = CE + k  

k  distancia desde TE hasta el PC, sobre la tangente principal que va al PI

Figura 3

Gráfica de una curva espiral – circular - espiral

Con el dato de la velocidad de diseño encontramos dos valores básicos: el Rc radio de la curva circular, que es el mismo que se utilizaría, en caso de no utilizar transiciones en espiral y con las fórmulas el de Le (longitud de la espiral), con las tablas que se indicarán mas adelante, o de acuerdo con el manual del INVÏAS.

Fig 4

Peralte máximo y radio Rc redondeado, para diferentes tipos de Vd y uso de la carretera.

De todas formas, utilícese o no la curva circular, es necesario encontrar el PC y el PT de ésta. Se calcula k y ubicamos él TE (punto donde inicia la curva clotoide).

Figura 5

Tabla para la longitud mínima de la espiral en función de la velocidad de diseño en km/h

Ejemplo de cálculo

Vd= 80km/h

Rc= 230 m

∆=63º 12’ 15” = 63,204167º

Le = 80/1,8 = 44m, con la fórmula de Barnet obtenemos 79m y conla tabla de la figura 5, obtenemos le= 45.

Si fuera un problema de medicina, deberíamos escoger 80m, pero teniendo en cuenta que las fórmulas no arrojan los mismos resultados, vamos a escoger Le= 50m.

A² = 50x230 = 11500

θe =50 2/(2x11500) = 0,108696 rad = 6,227802º

 ∆c= ∆-2θe = 50,7485730º = 0,885730 rad

PI = km 2+ 316,20

e max= peralte máximo = 8%

Lc , longitud de la curva circular interior = Rc θe, pero θe tiene que estar expresado en radianes. En este caso: 230mx0,885730 rad = 203,7179m

Hallamos xc y yc con las fórmulas

xc=Le(1 –θe²/10 + θe⁴/216)

yc=Le(θe/3 – θe³/42)

En estas fórmulas hay que utilizar el ángulo θe en radianes. Remplazando por

  θe = 0,108696 rad  y Le = 50m   obtenemos xc = 49,940959  y   yc = 1,810071

Calculamos k= xc – Rc sen θe = 49,940959 – 230sen 6,227802º  (Nos tenemos que asegurar que la calculadora este en el modo deg y no en el modo rad, porque si está en el modo rad la operación correcta sería   k = 49,940959 – 230sen 0,108696)

El resultado es k = 24,990078 

(Normalmente da un valor muy cercano a xc/2 y para efectos prácticos siempre será posible utilizar k = xc/2

p es el disloque, es decir lo que se desplaza la curva circular hacia atrás.

p = yc –Rc(1 – cos θe)

Remplazando apropiadamente (teniendo certeza si utilizamos grados o radianes en la calculadora) obtenemos:

p= 1,810071 – 230 (1 - cos 6,227802º ) = 0,4527m

Ahora ubiquemos los puntos TE, EC, CE y ET

La tangente de la curva circular sería 230 tan ∆/2 = 141,5085, por tanto el PC teórico,  estaría ubicado en: 2316,20 – 141,5084 = 2174,6916

Él TE estará ubicado en PC – k = 2174,6916 - 24,990078= 2149,70

El EC estará en la abscisa de la carretera 2149,70 + 50 = 2199,70

El CE estará en la abscisa EC + Lc = 2199,70 + 203,7179 = 2403.4194

El ET estará a CE + 50 =2453,42

Detalle del desarrollo del peralte, desde -2% en ambos carriles en el TE, hasta 8% en el carril izquierdo y – 8% en el derecho en el EC

El ancho de la vía es de 8m y cada carril mide 4m. Hacemos el ejercicio manteniendo fijo el eje de la vía. La curva es derecha, por tanto el borde izquierdo va subiendo y el derecho va bajando (figura).

Para replantear la clotoide, basta encontrar las coordenadas x e y, en las longitudes 10, 20, 30m 40 y 50m, con las fórmulas (2) y (3)

L(m)	θ(radianes)	x(m)	y(m)
10	0,004347826	9,9999811	0,01449273
20	0,017391304	19,9993951	0,11593952
20	0,017391304	19,9993951	0,11593952
40	0,069565217	39,9806471	0,92721561
50	0,108695652	49,9409586	1,81006538

Figura 6

Detalle del desarrollo del peralte en toda la curva. Abscisas en m y peraltes en % y cm.

Conclusiones

La obligatoriedad de utilizar curvas de transición para el desarrollo del peralte, es una moda. Se argumenta que se mejora la comodidad y la seguridad al utilizar las vías, especialmente por el aumento en la potencia en los camiones y en la velocidad en los automóviles. No obstante, si el disloque es pequeño, el esfuerzo adicional que hay que hacer, que vale dinero, podría ser inocuo, sobretodo, porque la precisión de la topografía de campo y replanteo, no siempre es la mejor y porque en muchos casos está influenciada por fenómenos climáticos. Esa es mi opinión pero mientras sea norma del INVIAS, hay que cumplir con este requisito y por consiguiente los ingenieros de vías, tanto los de diseño como los interventores deben conocer el tema y no dejarlo bajo la responsabilidad exclusiva de los topógrafos.

El Excel, es una herramienta magnífica, que facilita la realización de los cálculos. Por otra parte, el diseñador, sea ingeniero o topógrafo debe tener muy buen manejo de los conceptos de radian y grado.

Finalmente, mi blog está orientado a las matemáticas y lo expuesto arriba está mas en el que hacer de los ingenieros de vías. En el próximo blog haré las demostraciones del caso, que implican la utilización de series infinitas de potencias y un manejo familiar de los conceptos de derivación e integración.

Juan Fernando Sanin

juanfernando.sanin@gmail.com